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1. σ̂ Y X ∗ und ̂σ Y sind die Varianzen zwischen Y und X ∗ bzw von Y. 2. Definiere ˆκ = ( σ2 X ∗ −σY 2 X ∗ ) : σ 2 σY 2 U 3. { σ σx 2 2 = x ∗ − σU 2 falls ˆκ ≥ 1 + (n − 1) −1 σX 2 − ∗ σ2 U {ˆκ − (n − 1)−1 } sonst 4. Fuller’s korrigierter Schätzer für β ist dann ̂β ∗ X σ2 X ∗ (̂σ 2 X +2ˆσ2 U ) (n−1) Abbildung 5: Im oberen Bild wird die Verteilung eines Momentenmethoden - Schätzers gezeigt, unten die Verteilung mit der Fuller Korrektur 12
5.2 Orthogonale Regression Wir betrachten nun das Modell: Y = β 0 + β X X + ɛ X ∗ = X + U ɛ,U sind unkorreliert Bei der Orthogonalen Regression minimiert man nun die kürzesten Abstände zur Gerade, gewichtet mit einem Faktor η = σ2 ɛ , also 4 : σU 2 n∑ {(Y i − β 0 − β x x i ) 2 + η(Xi ∗ − x i ) 2 )} i=1 Abbildung 6: Hier ist der Unterschied der Abstandsdefinition bei einer normalen und der orthogonalen Regression veranschaulicht Vorteil gegenüber der Momentenmethode ist, dass nur das Verhältnis η der Fehlervarianzen bekannt sein muss. Doch das ist auch eher selten möglich und ein großes Problem bei der Anwendung der Orthogonalen Regression besteht darin, dass es durch die ungenaue Schätzung von η, häufig zu einer ” Überkorrektur “kommt. Das kommt daher, dass der Regressionsfehler eigentlich aus 2 Teilen besteht: Y = β 0 + β X X + ɛ Li 5 + ɛ Mij 6 In der normen Varianzanalyse wird der ’ Gleichungsfehler‘nicht beachtet und somit η unterschätzt, was die Überkorrektur hervorbringt. 4 Eigentlich gilt das nur für η = 1, trotzdem benutzt man den Ausdruck Orthogonale Regression für alle Werte von η < ∞. 5 ɛ Li entspricht dem Messfehler zum Response 6 ɛ Mij entspricht dem dem Gleichungsfehler‘, welcher der Abweichung der wahren Werte ’ von der Regressionsgerade entspricht, wenn es keine Messfehler gäbe 13
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- Seite 11: Abbildung 4: Darstellung der Effekt
- Seite 15 und 16: 7 Fazit Messfehler lassen sich kaum
1. σ̂<br />
Y X ∗ und ̂σ Y sind die Varianzen zwischen Y und X ∗ bzw von Y.<br />
2. Definiere ˆκ = ( σ2 X ∗ −σY 2 X ∗<br />
) : σ 2 σY<br />
2 U<br />
3.<br />
{ σ<br />
σx 2 2<br />
= x ∗ − σU 2 falls ˆκ ≥ 1 + (n − 1) −1<br />
σX 2 − ∗ σ2 U {ˆκ − (n − 1)−1 } sonst<br />
4. Fuller’s korrigierter Schätzer für β ist dann<br />
̂β ∗ X σ2 X ∗<br />
(̂σ 2 X +2ˆσ2 U )<br />
(n−1)<br />
Abbildung 5: Im oberen Bild wird die Verteilung eines Momentenmethoden -<br />
Schätzers gezeigt, unten die Verteilung mit der Fuller Korrektur<br />
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