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4 Messfehler in der Multiple Regression In der multiplen Regression sind die Auswirkungen der Messfehler komplizierter als in der linearen Regression. Wenn auch nur bei einer Variable Messfehler vorhanden sind, können sich diese sogar auf die Schätzungen der messfehlerfreien Kovariablen auswirken. Wir betrachten nun folgendes klassisches, additives Modell: Y = β 0 + β X X + β t ZZ + ɛ X ist skalar mit Messfehler und Z ist der Vektor der messfehlerfreien Kovariablen. Für X ∗ ergibt sich als KQ-Schätzer mit σX|Z 2 und σ2 X ∗ |Z als Residualvarianzen: λ 1 β x mit λ 1 = σ2 X|Z σ 2 X ∗ |Z = σ 2 X|Z σ 2 X|Z + σ2 U Hierbei muss X ∗ unverzerrt für X sein und U unabhängig von X,Z und ɛ. Solange Z unabhängig von X ist, hat der Messfehler keinen Einfluss, wenn aber Z von X abhängt (was bei den allermeisten Datensätzen der Fall sein sollte), ergibt die einfache KQ-Schätzung nicht β Z , sondern β Z ∗, welche von β X abhängt und somit auch verzerrt ist. Das bedeutet, dass die Meßfehler der Variable X auch einen Effekt auf die Variablen ohne Messfehler haben kann. β Z ∗ = β Z + β X (1 − λ 1 )Γ Z 2 Das bedeutet, dass die Meßfehler der Variable X auch einen Effekt auf die Variablen ohne Messfehler haben kann. Wenn nun ein Behandlungseffekt anhand einer zwei Gruppen Analyse untersucht werden soll, stellt sich solange kein Problem, solang das Design der zwei Gruppen ausgeglichen ist (d. h. wenn die Mittelwerte gleich und unabhängig von der Behandlung sind). Sobald dies aber nicht mehr der Fall ist, kann durch den Messfehler in der Variable X der Eindruck erweckt werden, dass es zum einen einen Behandlungseffekt gibt, wo überhaupt keiner vorliegt, und zum anderen, dass der Effekt positiv ist obwohl er eigentlich negativ wäre (bzw andersherum). 2 Γ t Z ist der Koeffizient der Regression von von X auf Z. E(X|Z) = Γ 0 + Γ t Z Z 10
Abbildung 4: Darstellung der Effekte bei Meßfehlern bei einem unausgeglichenen Design. Links sieht man die eigentlichen gefitteten Geraden, bei denen kein Behandlungseffekt zu sehen ist. Rechts werden die Effekte von Meßfehlern in einer Kovariable gezeigt. Man würde hier einen großen Behandlungseffekt vermuten. Auf beiden Grafiken sind unten die Dichtefunktionen mitabgetragen 5 Zwei Möglichkeiten um eine Verzerrung zu korrigieren 5.1 Momentenmethode Der Schätzer von β kann, wenn der Reliability Ratio bekannt ist, sehr leicht berechnet werden: ̂β X = ̂β X ∗ Da λ aber nur selten bekannt ist, muss er meist λ durch ̂β X = ̂β X ∗ geschätzt werden, mit ̂λ = σ2 X ∗ −σU 2 ̂λ σX 2 Dabei tritt nun leider bei kleineren Datensätzen ∗ das Problem auf, dass diese Verteilung sehr schief sein kann. Abhilfe versucht hier die von Fuller modifizierte Momentenmethode zu schaffen. Algorithmus mit α = 2 3 : 3 Die Methode hängt von einem α ab, über dessen Wahl Fuller keine genauen Anweisung gibt. Bei alpha = 2 liefert die Methode bessere Werte für die Schätzer als der unmodifizierte Schätzer. 11
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Seite 15 und 16: 7 Fazit Messfehler lassen sich kaum

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