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4 Messfehler in der Multiple Regression
In der multiplen Regression sind die Auswirkungen der Messfehler komplizierter
als in der linearen Regression. Wenn auch nur bei einer Variable Messfehler
vorhanden sind, können sich diese sogar auf die Schätzungen der messfehlerfreien
Kovariablen auswirken.
Wir betrachten nun folgendes klassisches, additives Modell:
Y = β 0 + β X X + β t ZZ + ɛ
X ist skalar mit Messfehler und Z ist der Vektor der messfehlerfreien Kovariablen.
Für X ∗ ergibt sich als KQ-Schätzer mit σX|Z 2 und σ2 X ∗ |Z
als Residualvarianzen:
λ 1 β x mit λ 1 = σ2 X|Z
σ 2 X ∗ |Z
=
σ 2 X|Z
σ 2 X|Z + σ2 U
Hierbei muss X ∗ unverzerrt für X sein und U unabhängig von X,Z und
ɛ. Solange Z unabhängig von X ist, hat der Messfehler keinen Einfluss, wenn
aber Z von X abhängt (was bei den allermeisten Datensätzen der Fall sein
sollte), ergibt die einfache KQ-Schätzung nicht β Z , sondern β Z ∗, welche von
β X abhängt und somit auch verzerrt ist. Das bedeutet, dass die Meßfehler
der Variable X auch einen Effekt auf die Variablen ohne Messfehler haben
kann.
β Z ∗ = β Z + β X (1 − λ 1 )Γ Z
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Das bedeutet, dass die Meßfehler der Variable X auch einen Effekt auf
die Variablen ohne Messfehler haben kann. Wenn nun ein Behandlungseffekt
anhand einer zwei Gruppen Analyse untersucht werden soll, stellt sich solange
kein Problem, solang das Design der zwei Gruppen ausgeglichen ist (d.
h. wenn die Mittelwerte gleich und unabhängig von der Behandlung sind).
Sobald dies aber nicht mehr der Fall ist, kann durch den Messfehler in der
Variable X der Eindruck erweckt werden, dass es zum einen einen Behandlungseffekt
gibt, wo überhaupt keiner vorliegt, und zum anderen, dass der
Effekt positiv ist obwohl er eigentlich negativ wäre (bzw andersherum).
2 Γ t Z ist der Koeffizient der Regression von von X auf Z. E(X|Z) = Γ 0 + Γ t Z Z
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