Zentralabitur 2013 Grundlegendes ... - STARK Verlag

Hamburg Kernfach Mathematik – Zentralabitur 2013
Grundlegendes Anforderungsniveau – Analysis 1
Halbinsel
Eine in einen See ragende künstlich
angelegte Halbinsel soll neu gestaltet
werden. Die Halbinsel ist in Ost-West-
Richtung 30 m breit, auf der westlichen
Seite ragt die Halbinsel in Nordrichtung
15 m (Punkt C), auf der östlichen Seite
10 m (Punkt D) in den See (siehe Abbildung
in der Anlage).
Ein neuer Praktikant erstellt für den
Verlauf der nördlichen Strandlinie
die Funktionsgleichung g(x) =− 7 x 2 + 13 x + 15 für 0 ≤ x ≤ 30.
90 6
Der Projektleiter zweifelt dieses Ergebnis an und fordert seinen Praktikanten auf,
exemplarisch für drei Punkte mit x-Werten aus dem Intervall [5; 25] zu überprüfen,
ob der Funktionsgraph von g mit der Strandlinie übereinstimmt. Eine Abweichung
der Funktionswerte von den gemessenen Werten (siehe Abbildung in der Anlage)
von maximal 1 m soll akzeptiert werden.
Punkte
a) • Bestätigen Sie durch Rechnung, dass der Zweifel des Projektleiters berechtigt
ist.
• Begründen Sie, warum die nördliche Strandlinie nicht auf dem Graphen
einer quadratischen Funktion (Parabel) liegen kann (siehe Abbildung in
der Anlage). 20
Die Planungsabteilung geht davon aus, dass die Strandlinie durch eine Funktion
f dritten Grades modelliert werden kann. Zur Erstellung der Funktionsgleichung
werden an den beiden Punkten C(0 | 15) und D(30 | 10) noch Winkelpeilungen
vorgenommen: Am Punkt C hat die Strandlinie einen Winkel
von 45° zur Ost-West-Achse, am Punkt D einen Winkel von 116,57° (siehe
Abbildung in der Anlage).
b) • Bestätigen Sie mithilfe des gegebenen Winkels, dass die Steigung der
Strandlinie im Punkt D den Wert –2 aufweist.
• Zeigen Sie, dass die Koordinaten von D und die Steigung der Strandlinie
in diesem Punkt zur Funktion f mit der folgenden Gleichung passen:
1 3 1
f (x) =− x − x 2+ x + 15 für 0 ≤ x ≤ 30 15
1350 60
5
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Im Folgenden wird die in Aufgabenteil b genannte Funktion f genutzt.
c) Berechnen Sie, wie weit die Halbinsel in Nordrichtung in den See ragt. 20
Ein Plan sieht vor, dass auf dem Gebiet
der Halbinsel eine Fläche in Form eines
rechtwinkligen Dreiecks abgeteilt und
bepflanzt werden soll, die im Punkt V
auf die Strandlinie trifft. Die abgeteilte
Dreiecksfläche soll maximal werden.
d) Bestimmen Sie den maximalen Inhalt
der Dreiecksfläche und die Koordinaten
des zugehörigen Punktes V.
20
Die von der durch den Graphen der Funktion f gegebenen Strandlinie und der
Hypotenuse CV des Dreiecks eingeschlossene Fläche soll 40 cm hoch mit
Spielsand bedeckt werden.
e) Ermitteln Sie das Volumen des benötigten Sandes.
Hinweis: Wenn Sie Teilaufgebe d nicht gelöst haben, rechnen Sie für den
Punkt V mit dem unzutreffenden Ersatzwert V E (19,57 | f(19,57)). 25
Anlage zur Aufgabe „Halbinsel“
100
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Hinweise und Tipps
Teilaufgabe a
Überprüfung Graph und Standlinie
r Wählen Sie drei Punkte aus dem Intervall [5; 25] aus, beispielsweise den Anfangsund
Endpunkt des Intervalls und einen dritten Punkt dazwischen.
r Lesen die Ordinaten (y-Werte) dieser Punkte ab.
r Beachten Sie den Maßstab des Koordinatensystems.
r Ermitteln Sie rechnerisch die Ordinaten, indem Sie die x-Koordinate in die Funktionsgleichung
einsetzen.
r Bilden Sie jeweils die Differenz der Ordinaten.
r Zur Bestätigung des Zweifels vom Objektleiter beachten Sie, dass die Abweichungen
maximal 1 m betragen dürfen.
Begründung, dass nördliche Strandlinie keine Parabel ist
r Beurteilen Sie den Graphen bezüglich Achsensymmetrie.
r Durch welchen Punkt muss die Symmetrieachse bei einer Parabel gehen?
r Achsensymmetrie bedeutet Spiegelung an der Symmetrieachse.
r Stellen Sie fest, ob eine Spiegelung an einer Achse vorliegt.
Teilaufgabe b
Steigung der Strandlinie
r Die Steigung einer Funktion f an einer bestimmten Stelle x 0 ist gleich dem Anstieg m
der Tangente an die Kurve mit m = tan α.
Gleichung für die Funktion f der Strandlinie
r Bestätigen Sie durch Punktprobe (Einsetzen der Koordinaten des Punktes D in die
Funktionsgleichung), dass der Punkt auf der Strandlinie liegt.
r Überlegen Sie, was die erste Ableitung an einer Stelle der Funktion angibt.
Teilaufgabe c
r Die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung liegt beim Hochpunkt der
Funktion f(x).
r Notwendige Bedingung für einen Hochpunkt ist, dass f '(x) = 0 ist.
r Zum Nachweis, dass ein Maximum vorliegt, benötigen Sie die zweite Ableitung –
hinreichende Bedingung ist, dass f ''(x) < 0 ist.
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Teilaufgabe d
r Es liegt eine Extremwertaufgabe vor.
r Das Gesuchte stellt die Hauptbedingung (Extremalbedingung) und das Gegebene die
Nebenbedingung dar.
r Umformen und Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die
Zielfunktion, die genau eine Variable enthält.
r Stellen Sie mithilfe der Haupt- und Nebenbedingung die Gleichung der Zielfunktion
auf.
r Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung.
r Beachten Sie die notwendige Bedingung A'(v) = 0 für ein Extremum und die hinreichende
Bedingung A''(v) < 0 für ein Maximum.
r Berechnen Sie mögliche Extrema und beachten Sie den Definitionsbereich von v.
r Wenn Sie den Extremalwert v E in die Zielfunktion einsetzen, dann erhalten Sie die
maximale Fläche.
r Für den Punkt V gilt: V(v E | f(v E )).
Teilaufgabe e
r Die Fläche, die der Spielsand bedeckt, wird durch den Graphen der Funktionen f(x)
und der Hypotenuse CV des Dreiecks begrenzt.
r Die Hypotenuse ist Teil einer Geraden durch die beiden Punkte C und V.
r Stellen Sie die Geradengleichung auf.
r Beachten Sie, dass Sie die Differenz der Begrenzungsfunktionen für das bestimmte
Integral verwenden.
r Bestimmen Sie die Stammfunktion, die Integralgrenzen und berechnen Sie die vom
Spielsand bedeckte Fläche.
r Nun können Sie auch das Volumen des Spielsandes berechnen.
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Lösung
a) Zur Überprüfung werden die drei Punkte P 1 (5 | g(5)), P 2 (15 | g(15)) und
P 3 (25 | g(25)) gewählt.
7 2 13
90 6
g(5) = 23,88 ≈ 23,9
g(15) = 30
g(25) = 20,55 ≈ 20,6
Mit g(x) =− x + x + 15 ist
Ablesen der Ordinaten (y-Werte) aus der Grafik: Maßstab 10 mm 5 m
39⋅5
P 1: 39 mm m ≈19,5 m
10
48⋅5
P 2: 48 mm m = 24 m
10
36⋅5
P 3: 36 mm m = 18 m
10
Abweichungen:
für Punkt P 1: 23,9 − 19,5 = 4,4
P 2: 30,0 − 24 = 6
P : 20,6 − 18 = 2,6
3
Da in allen Fällen die Abweichung größer als 1 m ist, besteht die Anzweiflung
des Projektleiters zu Recht.
Jede Parabel als Graph einer quadratischen Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich
der Parallelen zur y-Achse durch ihren Scheitelpunkt. Dies ist hier jedoch
nicht der Fall.
b) tan 116,57° ≈ –2
Punktprobe d. h.: Koordinaten von D(30 | 10) in f(x) einsetzen:
1 3 1
f (30) =− ⋅30 − ⋅ 302+ 30 + 15 = 10
1350 60
10 = 10 w. A.
Anstieg → 1. Ableitung
1 2 1
f '(x) =− x − x+
1
450 30
1 2 1 900
f'(30) =− ⋅30 − ⋅ 30 + 1 =−
450 30 450
f '(30) = −2
Beide Werte passen zur Funktion f(x).
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c) Die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung liegt beim Hochpunkt der
Funktion f(x). Notwendige und hinreichende Bedingungen für einen Hochpunkt
sind f '(x E ) = 0 ∧ f ''(x E ) < 0.
1 2 1
f '(x) =− x − x + 1
450 30
1 1
f ''(x) =− x −
225 30
Mit f '(x) = 0 ⇒
⇔
1 2 1
− x − x + 1 = 0
450 30
x 2 + 15x − 450 = 0
⏐⋅ ( − 450)
x =− 7,5 ± 56,25 + 450
1, 2
x1, 2 =− 7,5 ± 506,25
x1, 2 =− 7,5±
22,5
x1
= 15
x 2 =−30 keine Lösung, da ∉D
Prüfen, ob x = 15 ein Hochpunkt ist:
1 1
f ''(15) =− ⋅15
−
225 30
1
=− < 0 ⇒ H(15 | f (15))
10
Für die größte Ausdehnung der Halbinsel in Nordrichtung gilt f(15) = 23,75.
Die Halbinsel ragt in Nordrichtung 23,75 m in den See.
d) Extremwertberechung:
Mit den gegebenen Angaben gilt für die Fläche des Dreiecks CBV
A(v) = 0,5 ⋅ v ⋅ (f(v) – 15)
Hauptbedingung (HB)
1 3 1
f (v) =− v − v2+ v + 15 Nebenbedingung (NB)
1350 60
NB in HB einsetzen ⇒ Zielfunktion (ZF):
1 3 1
A(v) = 0,5v ⋅
⎛
v v2
v 15 15
⎞
⎜− − + + −
1350 60
⎟
⎝
⎠
1 4 1 3 1
A(v) =− v − v + v2
2 700 120 2
Notwendige Bedingung für ein Extremum ist
A'(v) = 0
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1
Mit 3 1
A'(v) =− v − v2+ v gilt:
675 40
1 3 1
− v − v2+ v = 0
675 40
⏐⋅ ( − 675)
⇔ 3 135
v + v2− 675v = 0
8
⏐v ausklammern
2 135
( )
⇔ v⋅ v + v − 675 = 0
8
⇒ v 1 = 0
⇒ 2 135
v + v − 675 = 0
8
2
135 135
v2, 3 =− ± ( ) + 675
16 16
135
v2, 3 ≈− ± 746,19
16
≈ 135 − ± 27,316
16
v2≈18,8785 ; v3≈−35,7535
Die Lösungen v 1 = 0 und v 3 = –35,7535 scheiden aus, da für v 1 = 0 und für v 3 < 0
kein Dreieck vorhanden ist. Damit kann nur bei v 2 ≈ 18,8785 ein Extremum
vorliegen.
Art des Extremums prüfen:
1 2 1
A''(v) =− v − v + 1
225 20
1 2 1
A''(18,8785) =− ⋅18,8785 − ⋅ 18,8785 + 1 ≈−1,5279
225 20
Da A''(18,8785) < 0 ⇒ An der Stelle v ≈ 18,8785 existiert ein Maximum.
Somit ergibt sich für den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks CBV
(18,8785 in ZF einsetzen):
1 4 1 3 1
A(18,8785) =− ⋅18,8785 − ⋅ 18,8785 + ⋅18,87852
2 700 120 2
A(18,8785) ≈ 75,1
Die maximale rechtwinklige Dreiecksfläche beträgt etwa 75 m 2 .
Koordinaten des Punktes V:
1 3 1
f (18,8785) =− ⋅18,8785 − ⋅ 18,87852+ 18,8785 + 15
1350 60
f (18,8785) ≈ 22,95
Der Punkt V hat näherungsweise die Koordinaten V(18,88 | 22,95).
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e) Fläche zwischen dem Graphen von f und der Hypotenuse CV (Gerade CV)
Geradengleichung g 1
(x) aufstellen mit C(0 | 15) und V(18,88 | 22,95) (siehe
Teilaufgabe d)
g 1
(x) = m ⋅ x + b
Da die Gerade durch (0 | 15) geht.
⇒ b = 15
Koordinaten von V in g 1
(x) einsetzen
7,95 795
795
22,95 = m ⋅ 18,88 + 15 ⇒ m = = , also g 1(x) = x + 15
18,88 1888
1888
Für die Fläche zwischen den Graphen von f und g 1
gilt dann
18,88
A = (f(x) − g (x)) dx
∫
0
1
und für das Volumen des benötigten Sandes:
18,88
V = 0,4⋅A ≈0,4 ⋅ (f (x) −g (x)) dx
∫
1
0
18,88
1 3 1 2
795
≈0,4⋅ ⎡⎛ x x x 15
⎞ ⎛
x 15
⎞⎤
∫ ⎢⎜− − + + dx
1350 60
⎟− ⎜ +
1888
⎟⎥
0 ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
18,88
1 4 1 3 1 2 1 795
≈0,4⋅ ⎡
− x − x + x + 15x − ⋅ x 2 −15x
⎤
⎢
⎣ 5 400 180 2 2 1888 ⎥
⎦0
⎛ 1 4 1 3 1093
0,4 18,88 18,88 18,882⎞
≈ ⋅⎜− ⋅ − ⋅ + ⋅
5 400 180 3 776
⎟
⎝
⎠
≈16,91
Es werden etwa 16,9 m 3 Spielsand benötigt.
Hinweis: Mit den Koordinaten des Ersatzpunktes erhält man 19,2 m 3 Spielsand.
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