Spieltheorie

Anmerkung: Gescannte Objekte
entstammen: Christian Rieck (2006);
Spieltheorie – Eine Einführung; Christian
Rieck Verlag; Eschborn
Zahlreiche weitere Textelemente
entstammen WIKIPEDIA
http://de.wikipedia.org/wiki/Spieltheorie
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Die Spieltheorie kann als Spezialfall einer allgemeinen
Entscheidungstheorie angesehen werden
Konstitutive Merkmale einer Entscheidungssituation
Spielsituation)
Akteure (ein, zwei, mehrere)
Entscheidungsalternativen (Spielzüge, Strategien)
(Spiel-) Regeln
Ergebnisse (Auszahlungen)
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Die klassische Entscheidungstheorie betrachtet ausschließlich
Situationen, in denen gegen die Natur (Welt) gespielt wird
Entscheidungen bei Sicherheit
Entscheidungen bei Unsicherheit
(Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zustände der Natur
(Welt)
Entscheidungen bei unvollständiger Information
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Der Begriff Spieltheorie beruht darauf, dass am Anfang der
mathematischen Spieltheorie den Gesellschaftsspielen wie
Schach, Mühle, Dame etc. große Aufmerksamkeit gewidmet
wurde.
Weder ist der Gegenstand der Spieltheorie auf Spiele im
gängigen Wortgebrauch beschränkt, noch kann man mit ihrer
Hilfe alles, was als Spiel bezeichnet wird, analysieren.
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Ein Spiel im Sinne der Spieltheorie ist eine
Entscheidungssituation mit mehreren Beteiligten, die einander
mit ihren Entscheidungen gegenseitig beeinflussen.
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Unterscheidung von Spielen
(Spielsituationen)
Kooperative Spieltheorie – Nichtkooperative Spieltheorie
2-Personenspiele - N-Personenspiele
Endliche Spiele – Unendliche Spiele
Informationsstand: vollständige und perfekte Information
Gegenstand der Lehrveranstaltung
Nichtkooperative, endliche 2-Personenspiele mit vollständiger
und perfekter Information
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Kooperative Spieltheorie
Kooperative Spiele sind Spiele , in denen die Spieler
Informationen austauschen und bindende Vereinbarungen
treffen können.
Bei kooperativen Spielen kommen keine Spielausgänge zu
Stande, bei denen man einen Beteiligten besser stellen
könnte, ohne einen Anderen zu verschlechtern (Pareto-
Effizienz).
Beispiel: Andere Lösung bei Gefangenen Dilemma (siehe
Folie)
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Die Spieltheorie ist weniger eine zusammenhängende Theorie
als mehr ein Satz von Analyseinstrumenten.
Anwendungen findet die Spieltheorie vor allem
im Operations Research,
in den Wirtschaftswissenschaften,
in der ökonomischen Analyse des Rechts
in der Politikwissenschaft,
in der Soziologie,
in der Psychologie,
in der Informatik und seit den 1980ern auch
in der Biologie.
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Darstellungsformen von Spielen
Spiele werden meist entweder in strategischer (Normal-)Form
oder in extensiver Form beschrieben.
Da es Spiele gibt, denen keine dieser Formen gerecht wird,
muss bisweilen auf allgemeinere mathematische oder
sprachliche Beschreibung zurückgegriffen werden.
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Ein Spiel in Extensivform ist ein Tupel, das aus folgenden
Elementen besteht:
einem Spielbaum,
einer Menge von Spielern,
einem Auswahlsystem für den Spielbaum und die Menge der Spieler,
Auszahlungen für alle Endknoten des Spielbaums.
Ein Spiel in Extensivform wird häufig mittels eines graphentheoretsichen
Baumes dargestellt. Ein Spielbaum ist eine partiell geordnete Menge, die die
folgenden Eigenschaften erfüllt:
es gibt ein Element, das vor allen anderen kommt, genannt Ursprung
(Wurzel)
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Für ein Spiel in Extensivform bedarf es noch eines Auswahlsystems. Ein
Auswahlsystem für einen Spielbaum und eine Menge von Spielern ist ein
Paar, das aus einer Menge von Entscheidungsknoten und einer Menge
von Auswahlmöglichkeiten für jeden Spieler besteht, wobei diese
Mengen folgende Eigenschaften erfüllen:
die Menge von Entscheidungsknoten besteht aus den Knoten an denen
ein Spieler zwischen Alternativen wählen muss
die Menge der Auswahlmöglichkeiten ist eine Partition der Knoten, die
auf die Entscheidungsknoten folgen
wenn zwei verschiedene Knoten gleichzeitig zur Auswahl stehen, dann
müssen sie immer gleichzeitig zur Auswahl stehen
für jeden Knoten, der zur Auswahl steht, gibt es einen eindeutigen
Namen
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Die Normalform bezeichnet in der Spieltheorie eine Darstellungsform
von Spielen, die sich im wesentlichen auf die A-Priori-Strategiemengen
der einzelnen Spieler und eine Auszahlungsfunktion als Funktion der
gewählten Strategiekombinationen beschränkt. Gerecht wird diese
Darstellungsform am ehesten solchen Spielen, bei denen alle Spieler ihre
Strategien zeitgleich und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler
festlegen.
Wesentliche Alternative ist die Darstellung von Spielen in Extensivform,
deren Stärke in der anschaulichen Darstellung zeitlicher oder logischer
Abfolgen liegt. “Simultane” Spiele können aber nicht dargestellt werden.
Die Normalform für Spiele wurde erstmals von Émile Borel (1921) und
John von Neumann (1928) beschrieben, die erkannten, dass im Prinzip
jedes Strategiespiel in eine solche Form transformiert werden kann.
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Beispiel für ein Bimatrix-Spiel in Normalform
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Lösung eines Spiels
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Dominanz als Beispiel einer Lösungsstrategie
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Beispiel
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Beispiel
A hat eine (schwach) dominierende Strategie (oben)
B orientiert sich danach und wählt daher links
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Nash-Gleichgewicht (Cournotspiel)
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Defintion
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Wie findet man ein Nash-Gleichgewicht ?
Betrachten Sie nacheinander alle Spalten:
Markieren Sie die beste Erwiderung des Zeilenspielers auf die jeweilige Spalte
durch ein Kreuz. Falls die höchste Auszahlung mehrfach vorkommt gibt es
mehrere beste Erwiderungen. Markieren sie alle !
Betrachten Sie anschließend nacheinander alle Zeilen:
Markieren Sie die beste Erwiderung des Spaltenspielers auf die jeweilige Zeile
durch einen Kreis. Falls die höchste Auszahlung mehrfach vorkommt gibt es
mehrere beste Erwiderungen. Markieren sie alle !
Alle Felder, die sowohl einen Kreis als auch ein Kreuz enthalten sind Nash-
Gleichgewichte. Falls in der Zeile kein weiterer Kreis ist und in der Spalte kein
weiteres Kreuz, so handelt es sich um ein striktes Gleichgewicht.
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Striktes /Nicht striktes Gleichgewicht
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Gefangenendilemma
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Variation
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A. Univ. Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr
Spieltheorie - 2 x 2 – Bimatrix-Spiele
WS 2009/2010
Beispiel aus der Planung
2 Industrieanlagen
Alternative 1: Einbau eines Filters: Kosten 3
Alternative 2: Abgase emittieren: Kosten 2
B
Filter
Ausstoß
A Filter (-3,-3) (-5,-2)
Ausstoß (-2,-5) (-4,-4)
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Das Prisoners‘s Dilemma ist die wohl einfachste Form des
sozialen Dilemmas und tritt in dieser reinen Form selten auf.
Reale Situationen unterscheiden sich von dieser einfachen
Form oft in folgenden Punkten:
Es sind meistens mehr als nur 2 Personen beteiligt
Die Beteiligten sind häufig nicht gleichstark, das heißt die
Auszahlungsmatrix ist nicht symmetrisch bezüglich der
Spieler
Fast immer ist die Darstellung als Einmalspiel zu kurzfristig
Meist gibt es mehr als nur zwei Verhaltensweisen und es ist
nicht eindeutig, welches Verhalten kooperativ und welches
defektiv ist
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Wiederholtes Gefangenendilemma
Ändert sich dieses Gleichgewicht, wenn das Spiel wiederholt wird? Diese
Frage soll zunächst für eine bekannte Anzahl von Runden untersucht werden,
d.h. jeder Spieler weiß im voraus, welche Runde die letzte ist. In dieser
letzten Runde gilt auf jeden Fall die oben erarbeitete dominante Strategie,
denn die Möglichkeit der "Rache" seitens des anderen Spielers für ein
mögliches Hereinlegen gibt es hier nicht mehr. In der letzen Runde werden
also beide Spieler defektieren. Also gibt es auch in der vorletzten Runde
keinen Grund, Vergeltung zu fürchten und somit keine Veranlassung von der
dominanten Strategie abzuweichen. Analog zu dem oben beschriebenen
"Paradoxon des unmöglichen Besuchs" ist bei einer bekannten Anzahl von
Runden defektieren die rationalerweise zu wählende Strategie. Das führt bei
n Runden zu einer Punktzahl von n*2 Punkten statt der bei beiderseitiger
Kooperation möglichen Zahl von n*3 Punkten.
Defektieren ist die einzige rationale Strategie beim einfachen
Gefangenendilemma bzw. einer bekannten Anzahl von Runden.
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Das iterierte Gefangenendilemma
http://www.tobiasthelen.de/ipd/gesamt.html#pd5
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Beispiele aus Politik und Wirtschaft
Das Gefangenendilemma lässt sich auf viele Sachverhalte in der Praxis übertragen.
Vereinbaren beispielsweise zwei Länder eine Rüstungskontrolle, so wird es immer
individuell besser sein, heimlich doch aufzurüsten. Keines der Länder hält sich an
sein Versprechen und beide sind durch die Aufrüstung schlechter gestellt (höheres
Gefahrenpotential, höhere ökonomische Kosten), allerdings besser, als wenn nur
der jeweils andere aufrüstete (Gefahr einer Aggression durch den anderen).
Auch in der Wirtschaft finden sich Beispiele für das Gefangenendilemma, etwa bei
Absprachen in Kartellen oder Oligopolen: Zwei Unternehmen vereinbaren eine
Outputquote (zum Beispiel bei der Ölförderung), aber individuell lohnt es sich, die
eigene Quote gegenüber der vereinbarten zu erhöhen. Beide Unternehmen werden
mehr produzieren. Das Kartell platzt. Die Unternehmen im Oligopol sind aufgrund
der erhöhten Produktion gezwungen, die Preise zu senken, wodurch sich ihr
Monopolgewinn schmälert.
Konkurrieren mehrere Firmen auf einem Markt, erhöhen sich die Werbeausgaben
immer weiter, da jeder die anderen ein wenig übertreffen möchte. Diese Theorie
konnte 1971 in den USA bestätigt werden, als ein Gesetz zum Werbeverbot für
Zigaretten im Fernsehen verabschiedet wurde. Es gab kaum Proteste aus den
Reihen der Zigarettenhersteller. Das Gefangenendilemma, in das die
Zigarettenindustrie geraten war, wurde durch dieses Gesetz gelöst.
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Aus der Kriminalistik
Die sogenannte „Omertà” (Schweig oder stirb!) der Mafia
versucht das Schweigen (Kooperieren) dadurch sicherzustellen,
dass ein Verstoß mit besonders drastischen Sanktionen bedroht
wird. Damit wird die Kooperation gefestigt, während gleichzeitig
ein einseitiges Geständnis durch extremen Verlust demotiviert
wird. Dies wäre eine Internalisierung eines negativen externen
Effektes („negativ” in rein spieltheoretischem Sinn).
Omertà versucht die Spieler zu gegenseitigem Vertrauen
anzuhalten, kann aber das grundsätzliche Dilemma nicht
auflösen. Als Gegenmittel kann die Justiz z. B. eine neue
Identität und Straffreiheit für Verräter ins Spiel bringen, um das
Vertrauen der Komplizen zu untergraben (Kronzeugenregelung).
Eine einfache (wenngleich in Deutschland nach § 136a StPO
unzulässige) Verhörstrategie der Polizei kann darin bestehen,
den Verdächtigten zu verunsichern, indem behauptet wird, der
Komplize hätte bereits gestanden.
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Degeneriertes Prisoner‘s Dilemma
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Reine Koordination
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Nullsummenspiel
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