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GIS – methodische und technische Grundlagen / VO Arbeitsunterlagen / 2010 Einheit 5 Problem: wie werden die λ i bestimmt? Ziel: ˆ 0 Bestimmung der λi so, dass der Schätzwert z ( x ) unverzerrt sein und eine minimale Varianz aufweisen soll – d.h. ˆ σ 2 e = ∑ i= 1, n λ γ ( x , x ) + φ = min i i 0 γ ( x i , x0) Semivarianz zwischen den Datenpunkten x i und x 0 - wird über das Variogramm mittels Abstand (h) ermittelt φ Lagranscher Faktor Optimierung: die einzelnen Gewichte ergeben sich aus der Gleichung −1 A .b = ⎡ λ ⎤ ⎢⎣ φ ⎥⎦ A Matrix der Semivarianzen zwischen Stützpunktpaaren b Vektor der Semivarianzen zwischen den Stützpunkten und dem zu schätzenden Punkt λ Gewichte φ Lagranscher Faktor (vgl. [Bill, 1996]) Erklärung zu A und b: Die Semivarianzen für die vorhandenen Stützpunkte ergeben sich (wie in Abb. 39 dargestellt) durch Einsetzen der Abstände d i,j in die Formel zur Berechnung von γ (h) . Für den zu schätzenden Punkt (Gitterpunkt) kann die Berechnung der Semivarianzen auf analoge Weise durchgeführt werden, da dessen Position koordinativ bekannt ist und somit die Distanz des Gitterpunktes zu allen Punkten der Stichprobe ermittelt werden kann. Auf die Optimierungsmethode soll hier nicht näher eingegangen werden! 2 Ergebnis: Über die Interpolationsformeln z ˆ( x0 ) und ˆ σ e (siehe weiter oben) werden durch Einsetzen der Gewichtsfaktoren λ i der Schätzwert und dessen Varianz (bzw. die Standardabweichung) ermittelt. Für jeden geschätzten Standort kann also ein Schätzwert und eine Aussage über die Qualität der Schätzung ermittelt und dargestellt werden. Inst. f. Stadt- und Regionalforschung Seite 38 / 52 Kalasek, Reinberg / 27.04.10
GIS – methodische und technische Grundlagen / VO Arbeitsunterlagen / 2010 Einheit 5 Point kriging of untransformed zinc: (a) predictions, (b) kriging standard deviation Abb. 43: Kriging – Anwendungsbeispiel Quelle: [Burrough, 1998] Ergänzende Literatur - Interpolation [Bill, 1996]; [Burrough, 1986]; [Burrough, 1998; S.98ff., S.132ff.]; [Ingram, 1998] 5.2 Analyse digitaler Höhenmodelle 5.2.1 Digitale Höhenmodelle (DHM) – Einführung DHM im engeren Sinn: digitales Modell der Geländeoberfläche eines Ausschnittes der Erdoberfläche ⇒ Bezeichnung: Digitales Höhenmodell (DHM) DHM im weiteren Sinn: „a DTM [Anm.: Digital Terrain Model] may be used as a digital model of any single-valued surface“ [Weibel, Heller, 1991] Inst. f. Stadt- und Regionalforschung Seite 39 / 52 Kalasek, Reinberg / 27.04.10
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