methodische und technische Grundlagen Vorlesung / 266.772 ...

GIS – methodische und technische Grundlagen / VO Arbeitsunterlagen / 2010 Einheit 5
Problem: wie werden die λ i
bestimmt?
Ziel:
ˆ
0
Bestimmung der λi
so, dass der Schätzwert z ( x ) unverzerrt sein und eine
minimale Varianz aufweisen soll – d.h.
ˆ σ
2
e
=
∑
i=
1, n
λ γ ( x , x ) + φ = min
i
i
0
γ ( x i
, x0)
Semivarianz zwischen den Datenpunkten x
i
und x
0
- wird über das
Variogramm mittels Abstand (h) ermittelt
φ Lagranscher Faktor
Optimierung: die einzelnen Gewichte ergeben sich aus der Gleichung
−1
A .b =
⎡ λ ⎤
⎢⎣ φ ⎥⎦
A Matrix der Semivarianzen zwischen Stützpunktpaaren
b Vektor der Semivarianzen zwischen den Stützpunkten und dem zu
schätzenden Punkt
λ Gewichte
φ Lagranscher Faktor
(vgl. [Bill, 1996])
Erklärung zu A und b: Die Semivarianzen für die vorhandenen Stützpunkte ergeben sich
(wie in Abb. 39 dargestellt) durch Einsetzen der Abstände d i,j in die Formel zur
Berechnung von γ (h)
. Für den zu schätzenden Punkt (Gitterpunkt) kann die
Berechnung der Semivarianzen auf analoge Weise durchgeführt werden, da
dessen Position koordinativ bekannt ist und somit die Distanz des
Gitterpunktes zu allen Punkten der Stichprobe ermittelt werden kann.
Auf die Optimierungsmethode soll hier nicht näher eingegangen werden!
2
Ergebnis: Über die Interpolationsformeln z ˆ(
x0
) und ˆ σ e
(siehe weiter oben) werden
durch Einsetzen der Gewichtsfaktoren λ
i
der Schätzwert und dessen Varianz
(bzw. die Standardabweichung) ermittelt.
Für jeden geschätzten Standort kann also ein Schätzwert und eine Aussage
über die Qualität der Schätzung ermittelt und dargestellt werden.
Inst. f. Stadt- und Regionalforschung Seite 38 / 52
Kalasek, Reinberg / 27.04.10