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GIS – methodische und technische Grundlagen / VO Arbeitsunterlagen / 2010 Einheit 5 Unterscheidung nach Interpolationsfunktionen - Nearest neighbours (siehe Thiessen-Polygone) - Inverse distance weighting (IDW) - Splines (Minimum Curvature) und andere nicht lineare Funktionen - „Optimale Funktionen“ auf der Grundlage räumlicher Kovarianz Abb. 34: Serveral possibilities for interpolation Quelle: [Laurini / Thompson, 1992] Unterscheidung nach Verfahrensansatz - exakte Interpolationsverfahren: Schätzwerte für Stützpunkte entsprechen den gemessenen/beobachteten Werten auf den Stützpunkten - approximative Interpolationsverfahren: die ermittelte Oberfläche verläuft möglichst exakt durch die Stützpunkte Inverse Distanzgewichtung (IDW) z n ∑ i= 1 j = n ∑ i= 1 z d i α ij 1 d Abb. 35: Interpolation: Inverse Distanzgewichtung vgl. [Burrough, 1998] α ij Berechnung des zu schätzenden Gitterpunktes ausgehend von Werten der umgebenden bekannten Stützpunkte unter Berücksichtigung der Distanz als Gewichtungsfaktor – d.h. je weiter der bekannte Punkt entfernt ist, desto geringer ist dessen Einfluß auf den Schätzwert („... close things are more related than distant things“ !). - Verfahren entspricht der Berechnung des gewichteten Mittelwertes – Gewicht ist - zj ist der über die Distanz gewichtete Mittelwert - α Gewichtungsfaktor: je größer, desto geringer der Einfluß weit entfernter Informat. - d ij Distanz zwischen Stützpunkt i und dem Gitterpunkt j - α lineare Abnahme des Einflusses, α > 1 unruhige Oberfläche, stärkerer Einfluß der nächsten Nachbarn Inst. f. Stadt- und Regionalforschung Seite 32 / 52 Kalasek, Reinberg / 27.04.10
GIS – methodische und technische Grundlagen / VO Arbeitsunterlagen / 2010 Einheit 5 - grundsätzlich werden alle Stützpunkte in das Verfahren mit einbezogen (⇒ eigentlich α globales Interpolationsverfahren) bedingt durch das Gewicht 1/ d ist der Einfluß sehr weit entfernter Punkte allerdings vernachlässigbar ⇒ quasi lokales Verfahren Definition der Umgebung - isotrop richtungsunabhängige Gewichtung, d.h. Gewichtung bekannter Werte erfolgt nur über die Distanz zum Schätzwert - anisotrop richtungsabhängige Gewichtung, d.h. als Faktoren geht neben der Distanz auch die Richtung ein Implementierung richtungsabhängiger Interpolation - Quadrantenverfahren: ausgehend vom Gitterpunkt (zu schätzender Wert) wird die Umgebung in Quadranten geteilt. Interpoliert wird wie beim IDW mittels inverser Distanzgewichtung. Dabei wird je Quadrant der Suchradius so lange erweitert, bis die Anzahl an Stützpunkten einen Geforderten Wert erreicht ⇒ verschieden große Suchradien je Quadrant. Splines Begriff: kommt ursprünglich aus dem Schiffsbau, wo für die Konstruktion von Kurven aus mehreren Punkten elastische Leisten verwendet wurden. „When one point is displaced, four intervals must be recomputed for a quadratic spline“ [Burrough, 1986] Abb. 36: The Local Nature of Splines Quelle: [Burrough, 1986] Zweck: Interpolation von Punkten mittels „biegsamer Kurven“ Implementierung: Für kurze Abschnitte wird mittels Polynomen eine kleine Zahl von Stützstellen verbunden. An den Nahtstellen werden diese Abschnitte mittels Übergangsbedingungen aneinander gesetzt und zwar so, daß die Gesamtkrümmung minimal ist [vgl. Streit, 1998]. Spline: Abschnittsweise definiertes Polynom, d.h. für k Teilintervalle einer Punktfolge werden k Polynome m-ten Grades berechnet, zwischen den so ermittelten Abschnitten entstehen Übergänge = Nahtstellen – für diese werden „Glattheitsbedingungen“ [vgl. Bartelme, 1988] vorgeschrieben, so daß die Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung (r-1) links und rechts des Überganges übereinstimmen. Generelle Definition des abschnittsweisen Polynoms p(x) p( x) p ( x) x x < x i = 0,1,..., k −1 = i i < i+ 1 ( j) p i i i+ 1 i ( j) ( x ) = p ( x ) j = 0,1,..., r −1 i = 0,1,..., k −1 Inst. f. Stadt- und Regionalforschung Seite 33 / 52 Kalasek, Reinberg / 27.04.10
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