Übungsklausur zur Spieltheorie-Vorlesung von A. Diekmann, FS 2011

Übungsklausur zur Spieltheorie-Vorlesung von A. Diekmann, FS 2011
Hinweis: In der Klausur sind sechs Aufgaben zu bearbeiten. Die erreichte Punktzahl entspricht der
Note.
1. Stein (a), Schere (b), Papier (c). Zur Erinnerung: a schlägt b, b schlägt c und c schlägt a. Ein
Gewinner erhält +1, der Verlierer –1. Trifft gleiches aufeinander, ist die Auszahlung an beide 0.
Anders als üblich wird sequentiell bei perfekter Information gespielt. Spieler 1 ist zuerst am Zug,
dann Spieler 2.
a) Geben Sie die Extensivform des Spiels an. (½ Punkt)
b) Wie viele Strategien hat Spieler 2? (½ Punkt)
2. a) Geben Sie die Nash-Gleichgewichte (Strategienprofile) zum sequentiellen Stein-Schere-Papier-
Spiel in Aufgabe 1 an. (½ Punkt)
b) Wie viele sind teilspielperfekt? (½ P.) 0
1
2
3
3. Im Film „Beautiful Mind“ über John Nash betreten fünf Schönheiten ein Lokal. Wir vereinfachen
die Situation hier. Es kommen drei Frauen A, B, C und es warten zwei männliche Kandidaten.
A ist besonders begehrt (4 Einheiten), B, C sind etwas weniger begehrt (3 Einheiten). Wir gehen
von der Annahme aus, dass auch die beiden Männer begehrt sind, dass sie zuerst entscheiden –
die Filmszene spielt Ende der 40er Jahre – und niemand zweite Wahl sein möchte. D.h. die
beiden männlichen Kandidaten haben nur eine Chance; wählen beide A, kann keiner
nachträglich doch noch B oder C wählen. Entscheiden sie sich beide für A, entscheidet der Zufall
(p=0,5), welcher der beiden die Gunst von A gewinnt (Auszahlung 2 = 0,5 ∙ 4). Die
Entscheidungen erfolgen simultan. Dann ergibt sich folgendes Spiel in Normalform:
Spieler 2
B, C wählen A wählen
Spieler 1
B, C wählen 3, 3 3, 4
A wählen 4, 3 2, 2
Im Film wurde die wechselseitige Wahl von B, C als Nash-Gleichgewicht angegeben. Das ist
jedoch falsch.

In dem Spiel gibt es drei Nash-Gleichgewichte: Zwei in reinen Strategien, eines in gemischten
Strategien. (jede Teillösung ¼ Punkt)
a) Geben Sie die Maximin-Strategie(n) an.
b) Geben Sie die beiden Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien an.
c) Berechnen Sie das Gleichgewicht in gemischten Strategien.
d) Wie hoch ist der Erwartungswert der Auszahlung? Ist diese Pareto-optimal?
4. Charakterisieren Sie die folgenden Strategien im Ultimatumspiel. Die aufzuteilende Summe
beträgt 100 Franken (die erste Zahl ist das Angebot des Vorschlagenden, danach folgt die
Strategie des Veto-Spielers). (Jede Teilaufgabe 0,2 Punkte)
a) 80; Angebote ≥ 50
annehmen, sonst ablehnen
b) 80; Angebote ≥ 80
annehmen, sonst ablehnen
c) 10; Angebote ≥ 10
annehmen, sonst ablehnen
d) 50; Angebote ≥ 50
annehmen, sonst ablehnen
e) 1 Rappen; Angebote > 0
annehmen, sonst ablehnen
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
ja
nein
Nash-Gleichgewicht Pareto-optimal teilspielperfekt
5. Im Vertrauensspiel mit unvollständiger Information gibt es zwei Arten von Treuhändern. Für
ehrliche Treuhänder gilt: R = 50, T = 40, P = 10, unehrliche Treuhänder erhalten R = 50, S = 0, T =
100, P = 10. Für Treugeber sind die Auszahlungen: R = 50, S = 0, P = 10. Der Anteil ehrlicher
Treuhänder beträgt α.
a) Stellen Sie das Spiel in der Extensivform dar. (½ Punkt)
b) Wie hoch muss α mindestens sein, damit ein Treugeber immer kooperiert? (½ Punkt)
6. Im unendlich oft wiederholten 2-Personen-Gefangenendilemma gilt für die Auszahlungen
T > R > P > S und R > (T + S)/2. Der Diskontfaktor ist 0 < w < 1.
a) Wie hoch ist die Auszahlung bei der Begegnung von zwei „freundlichen“ Strategien (eine
freundliche Strategie wählt nie als erste Defektion)? (½ Punkt)
b) Wie hoch ist die Auszahlung für „Immer D“ gegen „Tit-for-Tat“ (TFT)? (½ Punkt)

7. a) 50 Spieler wählen (unabhängig voneinander) eine Zahl zwischen 0 und 100. Die Zahl gewinnt,
die 2/3 des arithmetischen Mittelwerts aller gewählten Zahlen am nächsten kommt.
Gibt es eines oder mehrere Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien?
Wenn ja, geben Sie die Gleichgewichtsstrategie an. (½ Punkt)
b) Das Spiel wird von N = 2 Personen gespielt. Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht. Ist die
strategische Struktur anders als in der vorhergehenden Teilaufgabe a? (½ Punkt)
8. Im unendlich oft wiederholten 2-Personen-Gefangenendilemma mit Auszahlungen
T > R > P > S und R > (T + S)/2 ist „Tit-for-Tat“ (TFT) bei einem genügend großen „Schatten der
Zukunft“ (hinreichend großer Diskontfaktor) eine Nash-Gleichgewichtsstrategie.
Wenn TFT eine Nash-Gleichgewichtsstrategie ist, gilt dann, dass TFT evolutionär stabil ist, d.h. ist
TFT auch eine ESS? (1 Punkt)
9. Psychologische oder „behavioral game theory“: Fehr und Schmidt (1999) haben eine Theorie der
Ungleichheitsaversion entwickelt. Für 2 Spieler lautet die Nutzenfunktion:
u i (x i ) = x i – α i ∙max{x j – x i ; 0} – β i ∙max{x i – x j ; 0}.
u i ist der Nutzen der Auszahlung x i an Akteur i. α i und β i sind Personenparameter, wobei gilt:
0 ≤ β i < 1 und β i < α i . Der erste Term auf der rechten Seite bezeichnet die materiellen
Auszahlungen x i , der zweite Term bezieht sich auf die „Neidkomponente“ einer Auszahlung und
der dritte Term auf die Unfairness der Auszahlung.
a) Kann man aus der Theorie ableiten, dass ein Spieler unter bestimmten Bedingungen im
Diktatorspiel mehr als 50 % abgibt? (½ Punkt)
b) Kann man aus dem Modell ableiten, dass im Gefangenendilemma unter bestimmten
Bedingungen wechselseitige Kooperation ein Nash-Gleichgewicht ergibt? Wenn ja, geben Sie
die Bedingungen an. (½ Punkt)

10. Milinski (2008) hat ein Klimaspiel entwickelt, bei dem ein Schwellenwert für ein kollektives Gut
erreicht werden muss. Wird der Schwellenwert verfehlt, werden alle Ressourcen mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit vernichtet. Das über mehrere Runden laufende Spiel stellt den
Konflikt zwischen Individual- und Gruppeninteressen (Kollektivgutproblem) und zwischen kurzund
langfristigen Interessen dar. Die Regeln sind wie folgt:
Das Experiment geht über 10 Runden: Die Ausstattung jedes Spielers beträgt 40 €.
Gespielt wird in Gruppen mit n = 6 Personen. In jeder Runde muss jeder Spieler die
Entscheidung fällen, 0, 2 oder 4 € für Klimaschutz zu investieren. Nach 10 Runden müssen
mindestens 120 € im “Topf” sein. In jeder Runde werden die Personen über die Einzahlungen
der anderen Spieler in der Vorrunde informiert.
Die Personen bekommen am Ende nur das nicht investierte Geld, sofern mindestens 120 € im
Topf sind. Wurden weniger als 120 € investiert, gehen die privaten Ersparnisse mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit verloren. Diese beträgt:
90 % Verlustrisiko in der Bedingung “hohes Risiko”,
50 % Verlustrisiko in der Bedingung “mittleres Risiko”,
10 % Verlustrisiko in der Bedingung “geringes Risiko”.
Die Spieler wissen vor Beginn des Spiels, unter welcher Risiko-Bedingung sie spielen.
Das Experiment wurde mit 180 Versuchspersonen, je 10 Gruppen in jeder Bedingung,
durchgeführt.
Bestimmen Sie mindestens ein Nash-Gleichgewicht für jede der drei Bedingungen. (1 Punkt)