Kleines Lexikon der Begriffe*

Kleines Lexikon der Begriffe*
Auszahlungsfunktion (payoff function)
Eine Funktion, die jedem → Strategienprofil einen Auszahlungsvektor
zuweist. Der Auszahlungsvektor enthält für jeden Spieler einen Wert
(Auszahlung, Nutzen). Beispiel (Normalform 1b): Wird das Strategienprofil
(C, DC) realisiert, erhält Spieler 1 zwei und Spieler 2 vier Auszahlungseinheiten
(Auszahlungsvektor (2, 4)). Die Auszahlungen sind in der
Regel ordinale oder kardinale Nutzenwerte.
Beste Antwortstrategie (best response strategy)
Die → Strategie eines Spielers, die unter den für ihn verfügbaren Strategien
die höchste Auszahlung ergibt, gegeben ein → Strategienprofil der
Mitspieler. In Beispiel 1a) wählt Spieler 1 z. B. C. Dann ist die Strategie DC
von Spieler 2 eine «beste Antwort».
Common Knowledge
Die Informationen über Spielregeln und Auszahlungen, über die die
Spieler vor Beginn des Spiels verfügen. Dazu zählen auch Kenntnisse
über die Informationen, die die Mitspieler haben.
Dominierende Strategie (dominant strategy)
Ergibt für jedes → Strategienprofil der Mitspieler immer eine höhere oder
mindestens gleich hohe Auszahlung im Vergleich zu allen alternativen
Strategien des Spielers. Ist die Auszahlung immer höher, ist die Strategie
strikt dominierend. Im Beispiel 1 hat Spieler 1 keine dominierende Strategie.
Spieler 2 hat eine dominierende Strategie, nämlich DC. Diese ist
allerdings nicht strikt dominierend (siehe Normalform 1b). Im Beispiel 2
hat keiner der Spieler eine dominierende Strategie.
* Die Beispiele, auf die in einigen Begriffserklärungen Bezug genommen wird, finden
sich am Ende des «Kleinen Lexikons».
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Effizienz
→ Pareto-Optimum
Evolutionär stabile Strategie (evolutionary stable strategy, ESS)
Von Maynard-Smith und Price vorgeschlagenes Kriterium, das bei der
Anwendung der Spieltheorie auf evolutionäre Prozesse grundlegend ist.
Eine Strategie ist evolutionär stabil, wenn sie nicht von einer anderen
Strategie (einer Mutante) unterwandert werden kann. Dafür muss eine
von zwei Bedingungen erfüllt sein. 1. Die «Einheimischen» (I) erhalten
bei einer Begegnung untereinander im Durchschnitt mehr als eine
Mutanten-Strategie (J) gegen eine einheimische Strategie. 2. Falls die Einheimischen
untereinander genau so viel erhalten wie eine Mutanten-Strategie
gegen eine einheimische Strategie, muss gelten: Die einheimische
Strategie bekommt bei einer Interaktion mit einem Eindringling (einer
Mutante) mehr, als die eindringenden Strategien untereinander erhalten.
Formal: 1. E (I, I) > E (J, I). 2. Falls E (I, I) = E (J, I) soll gelten: E (I, J) > E (J, J).
Gemischte Strategie (mixed strategy)
Ein Spieler verfügt über m (reine) Strategien. Jeder Strategie wird eine
Wahrscheinlichkeit p (0 ≤ p ≤ 1 und ∑ p = 1) zugewiesen. Die Entscheidung
über die Auswahl der Strategie wird mit Hilfe des gewählten Zufallsmechanismus
getroffen. Beispiel: Spieler 1 wählt C mit Wahrscheinlichkeit
0,75 und D mit Wahrscheinlichkeit 0,25. Eine reine Strategie ist der
Spezialfall einer gemischten Strategie, bei der eine Alternative mit Wahrscheinlichkeit
eins gewählt wird.
Information, perfekte (perfect information)
Bei einem Spiel mit perfekter Information enthält jeder → Informationsbezirk
genau einen Entscheidungsknoten. Ein Spieler, der am Zug ist,
kennt immer den vorangehenden Zug des Mitspielers. Schach, Dame,
Mühle sind Spiele mit perfekter Information. Beispiel 1 ist ein Spiel mit
perfekter Information, nicht dagegen Beispiel 2.
Information, unvollständige (incomplete information)
Bei unvollständiger Information hat mindestens ein Spieler keine voll-
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ständige Kenntnis der Auszahlungen. Ein typischer Fall ist asymmetrische
Information. Der Spieler kennt seine Auszahlungen, aber nicht die
Präferenzen der Mitspieler. Die Analyse von Spielen mit unvollständiger
Information wird gemäß einem Vorschlag von John C. Harsanyi möglich,
indem man Typen von Spielern mit unterschiedlichen Auszahlungen
einführt. Die Auszahlungen für jeden Spieler-Typus sind bekannt. Ein
Spieler weiß aber nicht, welchen Typ sein Spielpartner aufweist. Er kennt
nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Typen, aus der die «Natur»
einen Typus als Mitspieler auswählt. Aus dem Spielverhalten erhält der
Spieler Hinweise. Durch «Bayesianisches Updating» werden die Schätzungen
der Wahrscheinlichkeiten aktualisiert. Lösung des Spiels ist das
«perfekte Bayesianische Gleichgewicht».
Information, vollständige (complete information)
Bei vollständiger Information kennt jeder Spieler die Auszahlungen an
sich selbst und an die Mitspieler. Ein Spiel weist vollständige, aber nicht
perfekte Information auf, wenn alle Spieler die Auszahlungen kennen
und mindestens ein → Informationsbezirk mehr als einen Entscheidungsknoten
enthält.
Informationsbezirk (information set)
Ein Informationsbezirk umfasst eine Menge von Knoten auf einer Entscheidungsebene.
Der Spieler, der am Zug ist, hat Kenntnis davon, welcher
Informationsbezirk im vorhergehenden Zug des Mitspielers erreicht
wurde. Er weiß aber nicht, zu welchem Knoten innerhalb des Informationsbezirks
der vorhergehende Zug geführt hat. Knoten, die zu einem
Informationsbezirk gehören, werden in der graphischen Darstellung des
Spielbaums mit einer gestrichelten Linie verbunden (Beispiel 2a).
Kooperative Spieltheorie (cooperative game theory)
Die Spieler können bindende Verträge abschließen. Die kooperative
Theorie befasst sich mit Verhandlungen, der Aufteilung von Ressourcen,
Koalitionsbildung u. a. m. Die grundlegende Annahme der nichtkooperativen
Spieltheorie lautet, dass einklagbare, sanktionierbare Verträge
nicht vorausgesetzt werden können.
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Maximin-Strategie (Maximin strategy)
Ein Spieler ermittelt für jede verfügbare Strategie und jedes → Strategienprofil
der Mitspieler die minimale Auszahlung. Die Strategie, bei der die
minimale Auszahlung den höchsten Wert hat, ist die Maximin-Strategie.
In Beispiel 1 ist die Maximin-Strategie von Spieler 1 C. Spieler 2 hat die
Maximin-Strategien CC und DC (siehe Normalform 1b).
Nash-Gleichgewicht (Nash equilibrium)
Eine Kombination von Strategien der Spieler, bei der kein Spieler einen
Anreiz hat, einseitig von der Wahl seiner Strategie abzuweichen. Die
Strategien, die ein Gleichgewicht ergeben, heißen Nash-Gleichgewichtsstrategien.
In Beispiel 1 (Normalform 1b) existieren drei Nash-Gleichgewichte:
(D, CC), (D, DC) und (C, DD). In Beispiel 2 (Normalform 2b) sind
die Nash-Gleichgewichte: (C, D) und (D, C). Man kann ein Nash-Gleichgewicht
auch so definieren: ein Strategienprofil, bei dem jede Strategie eine
→ beste Antwortstrategie auf das Strategienprofil der Mitspieler darstellt
(«wechselseitig beste Antwort»). Nach dem Satz von Nash existiert für
jedes Spiel mit endlicher Anzahl reiner Strategien mindestens ein Nash-
Gleichgewicht in reinen oder → gemischten Strategien.
Nullsummenspiele (zero-sum games)
Eine Klasse von Spielen, bei denen die Spieler vollständig entgegengesetzte
Interessen haben. Bei endlicher Anzahl von Strategien kann das
Spiel in Matrixform dargestellt werden. Die Summe der Nutzenwerte von
Zeilen- und Spaltenspieler ist in jeder Zelle konstant. Subtrahiert man die
Konstante, erhält man die Standardform. Die Summe der Nutzenwerte in
jeder Zelle ist null und es genügt daher, nur die Werte des Zeilenspielers
einzutragen. Hat das Spiel einen Sattelpunkt, so findet man die Lösung
in einem Zeilenminimum, das zugleich ein Spaltenmaximum ist. Spiele
ohne Sattelpunkt haben eine Lösung in gemischten Strategien. Nach
dem Minimax-Theorem von John von Neumann hat jedes Nullsummenspiel
mit endlicher Anzahl von Strategien eine (Gleichgewichts-)Lösung
in reinen oder gemischten Strategien. Bei mehreren Gleichgewichten
sind die Gleichgewichtsstrategien austauschbar, und die Werte der
Gleichgewichte stimmen überein.
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Pareto-Optimum
Ein → Strategienprofil der Art, dass kein anderes Strategienprofil eine
Pareto-Verbesserung erbringt. Bei einer Pareto-Verbesserung würde mindestens
ein Spieler eine höhere Auszahlung erhalten, ohne dass die Auszahlung
eines anderen Spielers vermindert wird. Ein Pareto-optimales
Strategienprofil wird als «effizient» bezeichnet. In Beispiel 1 sind die
Strategienprofile (D, CD) und (D, DD) nicht Pareto-optimal. Alle anderen
führen zu Pareto-optimalen Auszahlungen.
Signalspiele (signaling games)
Eine spezielle Klasse von Spielen mit → unvollständiger Information.
Ein Spieler interagiert mit Mitspielern, deren Typus er nicht kennt. Die
Spieler können aber Signale senden, die für den Sender mit Kosten verbunden
sind. Anhand der Signale kann der Empfänger durch Bayesianisches
Updating die Schätzung der Wahrscheinlichkeit für den Spielpartner-Typus
aktualisieren. Von besonderem Interesse ist der Fall eines
vollständig separierenden Gleichgewichts. Angenommen, es existieren
zwei Typen A und B. Im separierenden Gleichgewicht sendet A ein Signal
(weil es sich für Typ A lohnt, die Kosten zu tragen), während B darauf verzichtet.
Der Spieler, der das Signal empfängt, kann mit Sicherheit den
Typus des Spielers erkennen und seine Strategie darauf abstimmen. Ein
vollständig separierendes Gleichgewicht liegt vor, wenn A und B durch
das Signal unterschieden werden können und kein Spieler einen Anreiz
hat, seine Strategie einseitig zu ändern. Ein Gleichgewicht im Signalspiel,
bei dem die Unterscheidung der Typen nicht möglich ist, wird
als «pooling equilibrium» bezeichnet. Investitionen in Ausbildung in
«Arbeitgeber-Arbeitnehmer-Spielen», die Entstehung sozialer Normen,
Investitionen einer Firma in Werbung u. a. m. werden mit Signalspielen
zu erklären versucht.
Soziales Dilemma (social dilemma)
Ein Spiel, dessen Lösung → ineffizient ist. Beispiele sind das Gefangenendilemma,
das Chickenspiel, das Freiwilligendilemma, Öffentliche-
Güter-Spiele u. a. In einem sozialen Dilemma kann es vorkommen, dass
zwar genau ein Nash-Gleichgewicht existiert, dieses Gleichgewicht aber
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ineffizient ist (Gefangenendilemma). Oder es kann vorkommen, dass
mehrere effiziente Nash-Gleichgewichte vorliegen und die Spieler mit
einem Koordinationsproblem konfrontiert sind (Chickenspiel). In einem
sozialen Dilemma bringt individuell-rationales Handeln schlechtere
Ergebnisse hervor als die theoretische Möglichkeit eines einklagbaren
Vertrags unter rational handelnden Akteuren.
Spiel in Extensivform (extensive form game)
Besteht aus 1. n Spielern, 2. dem Spielbaum und 3. den Auszahlungen an
den Endknoten des Spielbaums (Beispiele 1a und 2a).
Spiel in Normalform (normal form game)
Ein Spiel in Normalform (Strategieform) besteht aus: 1. n Spielern. 2. Eine
Strategienmenge für jeden Spieler. 3. Eine Auszahlungsfunktion, die
jedem → Strategienprofil und jedem Spieler eine Auszahlung zuweist.
Bei zwei Spielern (und endlicher Zahl von Strategien) kann man das
Spiel in einer Matrix darstellen (Beispiele 1b und 2b).
Strategie
Ein Spielplan, der festlegt, welche Wahl ein Spieler in jeder denkbaren
Situation des Spielablaufs treffen wird. Im Beispiel 1a) haben Spieler 1
und 2 je die zwei Optionen C und D. Im sequenziellen Spiel 1a) mit →
perfekter Information hat Spieler 1 zwei Strategien C und D, Spieler 2
hat vier Strategien, z. B. die Strategie DC (auf C mit D und auf D mit C
antworten). Ein weiteres Beispiel: Bei einem zweizügigen, sequenziellen
Spiel mit perfekter Information hat Spieler 1 drei Optionen A, B und C
und Spieler 2 vier Optionen a, b, c und d. Spieler 1 hat drei Strategien,
Spieler 2 hat 4 3 = 64 Strategien, z. B. bba, d. h., bei A wird b, bei B wird b
und bei C wird a gewählt. Im Beispiel 2a) handelt es sich dagegen um
ein simultanes Spiel. Die beiden Knoten für Spieler 2 liegen in einem →
Informationsbezirk. Spieler 2 weiß vor seinem Zug nicht, welche Strategie
Spieler 1 gewählt hat, und kann somit auch nicht auf die Strategie
von Spieler 1 reagieren. Auch Spieler 2 hat jetzt nur die zwei Strategien
C und D.
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Strategienprofil (strategy profile)
Das Strategienprofil ist die Kombination der Strategien aller Spieler,
wobei jeder Spieler eine bestimmte, verfügbare Strategie gewählt hat.
Ein Strategienprofil im Beispiel 1 (siehe 1b) ist: s = (C, CC). (Streicht man
im Strategienprofil die Strategie von Spieler i, erhält man das Strategienprofil
der Mitspieler aus Sicht von Spieler i.)
Teilspiel (subgame)
Von einem beliebigen Knoten des Spielbaums werden alle Pfade bis zu
den Endknoten markiert. (Gehört der Knoten zu einem → Informationsbezirk
mit mehreren Knoten, werden alle Pfade berücksichtigt, die von
den Knoten im Informationsbezirk zu den Endknoten verlaufen.) Der
markierte Ausschnitt des Spielbaums ist ein Teilspiel. In Beispiel 1 mit
Extensivform 1a) sind H 1 und H 2 Teilspiele. In Beispiel 2 gibt es kein echtes
Teilspiel. Das Teilspiel für Spieler 2 in 2a) ist das vollständige Spiel.
Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht (subgame perfect Nash
equilibrium = spe)
Ein → Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn das → Strategienprofil
für die → Teilspiele an allen Knoten, die mit einer Wahrscheinlichkeit
größer als null erreicht werden können, ebenfalls die Nash-Bedingung
erfüllt. In Beispiel 1 gibt es drei Nash-Gleichgewichte. Die beiden
Nash-Gleichgewichte (C, DD) und (D, CC) sind nicht teilspielperfekt. Bei
ersterem Gleichgewicht müsste Spieler 2 in H 2 Strategie D spielen mit
Auszahlung 1. Bei C erhält er dagegen 2 Punkte. Die Nash-Bedingung ist
im Teilspiel H 2 nicht erfüllt. Entsprechendes gilt für das Strategienprofil
(D, CC). Hier wird die Nash-Bedingung in H 1 verletzt. Dagegen ist das
Nash-Gleichgewicht (D, DC) teilspielperfekt. Für H 1 sieht die Strategie
die Wahl von D, für H 2 die Wahl von C vor. In beiden Teilspielen wird
das Nash-Kriterium erfüllt. Man beachte, dass für das Kriterium der Teilspielperfektheit
auch die Teilspiele abseits des Gleichgewichtspfads von
Bedeutung sind. Der Grund ist, dass die im Gleichgewicht nicht erreichten
Teilspiele den Gleichgewichtspfad häufig erst erzwingen. Teilspielperfektheit
ist eng verknüpft mit der Glaubwürdigkeit von Drohungen.
Spieler 2 könnte im Beispiel drohen, ein D von Spieler 1 mit D zu ver-
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gelten, um mit dieser Drohung das für ihn günstigere Gleichgewicht (C,
DD) durchzusetzen. Die Drohung ist aber nicht glaubwürdig, da Spieler
2 beim Vollzug der Drohung im Teilspiel H 2 das Nash-Kriterium und
damit sein Eigeninteresse verletzen würde. Das Kriterium der Teilspielperfektheit
wurde von Reinhard Selten in die Literatur eingeführt.
Wiederholte Spiele (repeated games)
Gegenüber dem einmaligen («one-shot game») verändert sich die strategische
Situation, wenn ein Spiel (Basisspiel, «stage game») mehrfach
wiederholt (iteriert) wird. Unterschieden werden endlich und unendlich
oft wiederholte Spiele. Bei endlich oft wiederholten Spielen ist
das Ende einer Spielsequenz vorab bekannt. Werden bei unendlich oft
wiederholten Spielen zukünftige Erträge diskontiert, dann summieren
sich die Auszahlungen unter üblichen Anforderungen an die Diskontparameter
zu einem endlichen Betrag. In der Theorie wiederholter Spiele
untersucht man insbesondere, unter welchen Bedingungen kooperative
Strategien ein Nash-Gleichgewicht bilden (und weiteren Anforderungen
genügen), auch wenn diese Strategien im Basisspiel nicht zu einem
Gleichgewicht führen. Mit der Analyse wiederholter Spiele sowie Computersimulationen
wird u. a. der Frage nach der «Evolution von Kooperation»
nachgegangen.
Beispiele für die Begriffserklärungen (sequenzielles und simultanes Chickenspiel):
1a) Extensivform von Spiel 1 2a) Extensivform von Spiel 2
Spieler 1
D
Spieler 1
C
C
D
Spieler 2
C D C D C D C D
H 1 H 2
3, 3 2, 4 4, 2 1, 1 3, 3 2, 4 4, 2 1, 1
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1b) Normalform von Spiel 1 2b) Normalform von Spiel 2
Spieler 2 Spieler 2
CC CD DC DD C D
Spieler 1
C 3, 3 3, 3 2, 4 2, 4
C 3, 3 2, 4
Spieler 1
D 4, 2 1, 1 4, 2 1, 1 D 4, 2 1, 1