50 Aufgaben zur Spieltheorie

Zeigen Sie, dass ein Nash-Gleichgewicht nicht existiert. Wie ist diese Tatsache mit
dem fundamentalen Satz von Nash über die Existenz von mindestens einem
Gleichgewicht vereinbar? Welche Zahl würden Sie einsenden?
36. Die folgende Entscheidungssituation wurde von Van Huyick, Battalio, Beil (1990,
Gintis 2009) vorgeschlagen und experimentell untersucht: Sie können eine ganze Zahl
x von 1 bis 7 auswählen. Die Auszahlung beträgt: 0,60 + 0,10x – 0,20(x – y). Dabei ist
y die kleinste Zahl, die irgendein Spieler wählt, Sie eingeschlossen.
a) Bestimmen Sie das oder die Nash-Gleichgewichte.
b) Welches Gleichgewicht ist auszahlungsdominant, welches ist risikodominant?
c) Welche Strategie würden Sie wählen?
37. Im Volunteer’s Dilemma können N Akteure (N > 1) zwischen Kooperation (C) und
Defektion (D) wählen. Kooperative Personen erhalten U – K und defektive Akteure
erhalten U, vorausgesetzt mindestens eine Person verhält sich kooperativ. Wählen alle
Personen D, gehen alle leer aus. Es gilt U > K > 0. In dieser Entscheidungssituation
genügt also bereits eine Person, um das Kollektivgut U herzustellen.
a) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
b) Berechnen Sie das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.
c) Welchen Einfluss haben die Gruppengröße N und die Kosten/Nutzen-Relation
auf die Kooperationswahrscheinlichkeit gemäß der Lösung von b)?
d) Wie hoch ist die Auszahlung im gemischten Gleichgewicht und wie hoch ist
sie bei der Maximin-Strategie?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Herstellung des Kollektivguts, d.h.
dass mindestens eine Person kooperativ handelt, wenn sich alle Akteure die
gemischte Gleichgewichtsstrategie zu eigen machen?
f) In italienischen Kirchen konnte man früher ein wertvolles Gemälde
beleuchten, indem man 50 Lire in eine Box einwarf. Mehrere Touristen
versammeln sich vor dem Bild. Beschreiben Sie die strategische Situation.
g) „Stevia“ ist ein pflanzlicher Süßstoff, der herkömmlichen Süßstoffen überlegen
ist. Für eine Zulassung in der EU als Nahrungsmittel sind aber noch
wissenschaftliche Studien erforderlich, die mehrere Millionen Euro kosten.
Eine Firma, die diese Kosten trägt hat das Nachsehen, da die anderen Firmen
dann als Trittbrettfahrer profitieren können. Stellen Sie die Situation im
spieltheoretischen Modell dar. Welche Regelungen würden Sie vorschlagen,
um zu einem effizienten Ergebnis zu kommen?
h) Überlegen Sie, welche weiteren realen Anwendungen durch das Volunteer’s
Dilemma beschrieben werden können.
i) In Äsops Fabel beschließt das Parlament der Mäuse, der Katze eine Schelle
umzuhängen, damit die Mäuse gewarnt sind, wenn sich die Katze nähert.
Leider scheitert die Exekution des Beschlusses, da keine Maus die
selbstmörderische Aktion, der Katze eine Glocke umzuhängen ausführen
möchte. Die Situation wird durch eine Variante des Volunteer’s Dilemma
beschrieben, dass als „Missing-Hero-Dilemma“ bezeichnet wird. Stellen Sie
das spiel dar. Gibt es eine dominierende Strategie?
38. Ein evolutionäres Spiel hat die Auszahlungsstruktur des Gefangenendilemmas. Bei
einer Begegnung von zwei Spielern können diese C mit Wahrscheinlichkeit p und D
mit Wahrscheinlichkeit q = 1 – p „wählen“. Zeigen Sie, dass q = 1 eine ESS ist.
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