50 Aufgaben zur Spieltheorie

Holmes verlässt in „the Final Problem“ den Zug in Canterbury und Moriarty dampft
davon nach Dover. Doch die Rettung währt kurzfristig. Denn Holmes flieht - natürlich
in die Schweiz - und wird nahe Bern von Moriarty in eine Falle gelockt. Kämpfend
stürzen beide bei Meiringen in eine Schlucht. Weder Holmes noch Moriarty überleben
den Sturz – „the final problem!“
Holmes erste Präferenz ist, unbeschadet nach Dover zu kommen, um von dort auf den
Kontinent überzusetzen. Nehmen wir an, die Auszahlung entspricht +80. Canterbury
lebend zu erreichen ist nicht ganz so gut, sagen wir +60. Die tödliche Begegnung mit
Moriarty, ob in Dover oder Canterbury, gibt -100. Für Moriarty gelten die Werte mit
umgekehrtem Vorzeichen.
Sherlock Holmes ist Zeilenspieler. Das Nullsummenspiel hat – wie Sie leicht
feststellen werden – keinen Sattelpunkt. Berechnen Sie den Wert der gemischten
Gleichgewichtsstrategie für Holmes und Moriarty.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p wird Holmes „Dover“ wählen?
b) Wie hoch ist die erwartete Auszahlung?
(Dies Beispiel wurde von Oskar Morgenstern 1928, 1935 behandelt. Siehe die dazu
die Artikel von Morgenstern auf dieser Web-Seite. Die formale Darstellung als 2 x 2-
Matrixspiel findet sich bei Neumann und Morgenstern, 1947: 176-178.
18. Gehen Sie von einem 2 x 2 – Nullsummenspiel ohne Sattelpunkt aus. Gemäß dem
grundlegenden Theorem für Nullsummenspiele gilt, dass im gemischten
Gleichgewicht der Zeilenspieler die Wahrscheinlichkeit für eine Zeile so wählt, dass
der Spaltenspieler bezüglich der Wahl der Spalten indifferent ist. Ebenso adjustiert der
Spaltenspieler die Wahrscheinlichkeit für die Wahl einer Spalte derart, dass der
Zeilenspieler bezüglich der Wahl der Zeilen indifferent ist. Leiten Sie aus dem
Theorem eine allgemeine Formel für die gemischte Gleichgewichtsstrategie in 2 x 2 –
Nullsummenspielen ohne Sattelpunkt ab.
19. „Stein, Schere, Papier“. Stein „schlägt“ Schere, Schere „schlägt“ Papier, Papier
„schlägt“ Stein. Die Auszahlung beträgt 1 für den Gewinner und -1 für den Verlierer.
Bei Patt (z.B. Schere versus Schere) ist die Auszahlung für beide 0.
a) Stellen Sie das Nullsummenspiel in Matrixform dar.
b) Hat das Spiel einen Sattelpunkt?
c) Zeilenspieler wählt eine gemischte Strategie (p 1 , p 2 , 1-p 1 -p 2 ), Spaltenspieler
die gemischte Strategie (q 1 , q 2 , 1-q 1 -q 2 ). Berechnen Sie das Gleichgewicht in
gemischten Strategien.
d) Wie hoch ist die Auszahlung im Gleichgewicht?
Hinweis: Es gibt mehrere Wege zur Berechnung. Man kann z.B. allgemein einen
Ausdruck für den Erwartungswert E schreiben. Man ermittle sodann die (partiellen)
Ableitungen von E nach p 1 und p 2 . Da im gemischten Gleichgewicht durch eine
einseitige Änderung der Strategie kein Vorteil (aber auch kein Nachteil) erzielt wird,
erhält man nach Auflösung von ∂E/ p 1 = 0 und ∂E/ p 2 = 0 die (Nash-)
Gleichgewichtsstrategie des Zeilenspielers.
20. Zwei Eisverkäufer suchen den besten Standort an einem 1 km langen Strandabschnitt.
Kunden kaufen immer bei demjenigen Eisverkäufer, zu dem die Distanz am
geringsten ist.
a) Wo werden die Eisverkäufer im Nash-Gleichgewicht stehen?
b) Gibt es ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien bei drei Eisverkäufern
(Gintis 2009)?
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