50 Aufgaben zur Spieltheorie

ekommen in jeder Runde eine Ausstattung E, die sie in Firma A und Firma B
investieren können. Investitionen eines Akteurs i in Firma A werden mit x i bezeichnet,
Investitionen in B sind dann E-x i . Die Auszahlung U i ist:
U i = (1 + a) x i + (1 + b) (E – x i ) - pΣx i
p > 0 ist der Schadensparameter. Summiert wird über die Investitionen aller N Spieler
in Firma A. Wir betrachten nur eine Runde. Es gilt a – p > b.
a) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht und die Auszahlungen an die Spieler im
Gleichgewicht.
b) Wie viel würden die Spieler verdienen, wenn alle ausschließlich in die Firma B
investierten?
45. Im Vertrauensspiel mit unvollkommener Information gibt es zwei Typen von
Treuhändern. Der „unehrliche“ Typ B hat die üblichen Präferenzen des
Vertrauensspiels, nämlich T > R > P > S. der „ehrliche“ Typ A hat die Präferenzen R
> T – c > P > S. Ist Typ A am Zug, wird er defektieren, während Typ B kooperiert.
Der Anteil von Typ A ist α, der Anteil von Typ B ist 1 – α.
a) Stellen Sie das Vertrauensspiel mit den Typen A und B in der Extensivform
dar.
b) Wie hoch ist der Erwartungswert des Treugebers bei Kooperation und bei
Defektion?
c) Wie groß muss α sein, damit ein Treugeber immer kooperiert?
46. Im vorhergehend beschriebenen Vertrauensspiel mit unvollkommener Information
wird die Möglichkeit kostspieliger Signale eingeführt. Typ A hat Signalkosten von a
und Typ B von b. Unter welchen Bedingungen bezüglich der Signalkosten der
Treuhänder existiert ein separierendes Gleichgewicht? Welche Auszahlungen erhalten
Typ A, Typ B und der Treugeber im separierenden Gleichgewicht?
47. Zeigen Sie mit der Formel von Bayes, dass der Treugeber nach „Bayesianischem
Updating“ mit Wahrscheinlichkeit eins schließen kann, dass er (unter den in der
vorhergehenden Aufgabe ermittelten Bedingungen für ein separierendes
Gleichgewicht) bei einem Signal mit Typ A interagiert, während das Ausbleiben eines
Signals mit Sicherheit auf Typ B schließen lässt (Kap.9, S. 191, bei der zweiten
Formel auf der Seite muss jeweils ein Strich über dem s stehen. Siehe auch Errata auf
dieser Web-Seite.)
48. Das „Öffentliche-Güter-Spiel“ („Public Good Game“) war Grundlage eines
Experiments von Fehr und Gächter (2002) über Kooperation durch „altruistische
Bestrafung“. Die Regeln sind wie folgt:
Es wird in Gruppen von 4 Personen gespielt. Jeder Spieler erhält eine Ausstattung von
20 Punkten. Ein Spieler kann 0 bis 20 Punkte in ein Gruppenprojekt (Fonds)
einzahlen, den Rest behält er. Jeder Spieler erhält 0,4 mal den Inhalt des Fonds
Beispiel: A, B und C zahlen je 20 Einheiten in den Fonds ein, D ist Trittbrettfahrer
und behält die 20 Punkte. Die Auszahlung an A, B, C beträgt: 0,4 x 60 = 24, die
Auszahlung an D: 24 + 20 = 44 Punkte.
a) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichtsstrategie? Ist das Gleichgewicht Paretooptimal?
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