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Numerische Losung_gewohnlicher Difrerentialgleichungen mit
Anrangswerten aur dem PC 1500
Dieses Programm lost gewohn1iche Oifferentia1g1eichungen 1., 2.
und 4. Ordnung sowie Systeme von zwei gekoppelten Oiffgln. 1. und
2. Ordnung nach dem Runge-Kutta Verfahren. Ourch eine einfache
Fehlerabsch§tzung wlrd eine Korrektur der Ergcbnisse und eine automat1sche
Schrittweitensteuerung ermoglicht.
Man kann sich so einen Uberblick verschaffen ilber den Verlauf der
Losungskurve von Problemen, deren analytische Losung man nicht
kennt.
Die Diffg1. muG a1s Unterprogramm eingegeben werden. Es werden die
Variablen X,Y,Z,Y1 (erste Ab1eitung von Y nach X),Z1,Y2 und Z2
verwendet. Die Zeilen 1 bis 6 entha1ten drei 8eispie1e dazu. Sie
gehoren nicht zum Programm und so11en nicht mit abgetippt werden.
Man gibt dann einen Satz von Anfangswerten eln. Daraus werden
schrittweise neue Wertetupel errcchnet, wobei die Variable X
jcdesmal um die Schrittweite H erhoht wird. Die alten Werte werden
dabei von den neuen ilberschrieben. Nach der Berechnung stehen die
Ergebnisse in Zeile 670 zur VerfUgung. Im Listing werden hier X
und Y angezeigt. Indem man die Zeile durch eine geeignete ersetzt
kann man die Ergebnisse weiter auswerten, beispielsweise drucken
oder in einem Feld'abspeichern. Niltzlich ist es auch in ein Pro­
:l> gramm zur graphischen Darstel1ung der Losungskurve zu verzweigen.
....... A1s Beispie1 habe ich
__~ ....... ...I Onlll...
"- _. 1'01 00.111.,.
...... 1'....,........ ...,., Amplitudenverlauf und
""...........' ....1\
CD
Phasenportrait der Van
rJl
der Pol'schen D1ffgl.
""t)
(y"=-y+(O,B-y_y)_y'),
C: mit der man se1bsterreg­
'"1 te Schwingungen beschreiben
kann p10tten lassen.
m
:::r
Die Anfangsbedingungen
CD
waren Xo=0,Yo=-0,2,Yo=0.
'"1
Als Schrittweite habe ich
'0
H=0;1 gewahlt. Die Plotroutine
1st n1cht 1m Lis­
o
ting entha1ten, jeder
a
kann jedoch eine eigene
'0
in Zei1e 670 anschlieGen.
c::
rt
ro
'"1
"...... 1"... .10..,
-J..... I .•
::r:
-1•••2
ro
,..hlt
ytS.u:...If'ldI......
••••Zl
""t)
-1."...2."
rt
I-"
I-" Die Leistung des AIgorithmus ist in hohem MaGe von der gew~hlten
Schrittweite abhangig. Um einen Eindruck van der Genauigkeit der
Rechnung bel verschledencn Schrittweiten zu erhalten kann man
eine Oiffg1. mit bekannter Losung (Sei5pie1e 1 bis 3~ durchrech­
1-" nen und in Zeile 670 die Ergebnisse ~it den crwarteten Werten
rt vergleichen.
ro Das Programm belegt ungefahr 2K. Ich habe mich um Obersichtlich­
I-" keit bemuht, auf Kosten von Speicherplatz und Geschwindigkcit.
\0 Wer will kann das ja tindern.
m
ro
Zur Bedienung :
Zunachst muG die Oiffgl. als Unterprogramm mit dem Namen "DGL"
geschrieben werden. Es sind drei Falle moglich
01ffgl. 1. Ordnung :
Eine o~ffgl. 1. Urdnung kann in der Form y'=f(x,y) geschrieben •
•
werden. Sie w1rd entsprechend e1ngegeben Y1=f(X,Y).
Beispie1 1 : y'=2xy. ~it den Anfangsbedingungen Xo=O und Yo=1 ist
y=exp(x.x) die L6sung. Die karrekte Eingabe ist Y1=2.X.Y wie in
Programmzei1e 1.
o1ffg1. 2. Ordnung hzw. System zweier Oiff~ln. 1. Ordnung :
Eine Oiffg1. 2. Ordnung 1autet y"=f(x,y,y ). Sie ist aquiva1ent
zu einem System van ~wei Oiffg1n. 1. Ordnung. Zur Berechnung muG
die Oiffg1. erst in ein s01ches System zer1egt werden. Das ge­
schieht so : Man substituiert y'als z und erhalt y'=z und
z'=y"=f(x,y,z)., Das wird eingegeb~n als Y1=Z:Z1=f(X,Y,Z).
So11en zwei gekoppelte Oiffgln. ge16st werden, dann konnen sie
natilrlich gleich eingegcben werden.
Beispiel 2 : y"=-y. roit der Umwandlung z=y', z'=-y folgt Zeile 3.
Wahlt man Xo=0,Yo=0,Zo=Y10=1 erh~lt man die Losung y=sin(x).
Oiff91. 4. Ordnung bzw. System zweier Diffgln. 2. Ordnung :
.,
~'=f(x,y,y' ,y" ,y"') wird wie oben in ein System von zwei
Oiffgln. 2. Ordnung zerlegt : y"=z , z"=f(x,y,y' ,z,z').
Zwei gekoppelta Oiffg1n. kHnnen direkt eingegeben werden.
Beispiel 3 : y"=-8y-2z', z"=-8z+2y'. Oiese beiden Gleichungen
filhren mit Xo=0,Yo=1,Zo=O Y10=0 und Z10=1 auf die Rosette
y=cos(x)cos(3x) , z=sin(x~cos(3x). Die richtige Programmierung
steht in Zeile 5 •
Oer Aufruf des Programms.erf01gt mit "OEF" "0". Vor Beginn der
Rechnung werden folgende Parameter abgefragt :
ordnung : 1, 2 oder 4.
Zahl der Ausgaben : so oft wird Zeile 670 e·rreicht.
Schrittwcite : Abstand von einem X-Wcrt zum nachsten.
Zahl der Zwischenwerte : Will man zur Erh5hung der Genauigkeit
die Schrittweite klein machen und trotzdem bis zum Erreichen eines
Endwertes rechnen, dann kann die Zahl der Ausgaben sehr groG
werden. Um dies zu verhindern kann hier die Anzahl der Wertetupel
festgelegt werdcn, die zwischen zwei Ausgaben zwar berechnet,
aber nicht ausgegeben werden.
•
Korrektur : r'~i t Hilfe ciner Fehlerabschatzung konnen die errechneten
Wcrte karrigiert werden. Das erhoht die Genauigkeit, verdreifacht
aber die Rechenzeit. Eingabe einer 1 schaltet die Korrektur
ein, n schaltct sic aus.
Schrittsteucrung : Nach Vergleich der Fehlerabschatzung mit einer 4
Genauigkeitsschranke wird die Schrittweite halbiert, gleich belas­
sen oder vcrdoppclt. Die Schrittwpite wird also der gewilnschten
Genauigkeit in ctwa angcpaOt. Die Schrittsteuerung funktioniert
nur in Verbindung mit ~er Korrektur. 1=ein , o=aus. •
Genauig~ : filr Schrittsteuerung (z.O. 1e-4).
Anfangswerte : Xc, Yo, Zo, Y10, Z10. 8ei eincr Oiffgl. 2. Ordnung
hat Zo-are-ITedeutung von y'.