'"%j It) ~ .... It) .... /-'- g t-' El tIl '< en r-t It) a ::r III ::l Q. er c 0 ~ ...., c: .... Q. It) ::l tIl ~ '"tI '"tI n I .... ~ ..... 0.... 0 N + '"tI n I .... ~ o ..... o N + '"tI n I .... ~ o ..... .... o N + '"tI n I .... ~ o ..... .... o N + + + '"tI n I .... ~ o ..... o N + '"tI n I .... ~ .... o ....... o N + + '"d n I ..... ~ o ..... ..... o N + '"d n I ..... ~ ..... o ....... o N (fJ (1) 1-'- I. [ ~ g 7~ co
Numerische Losung_gewohnlicher Difrerentialgleichungen mit Anrangswerten aur dem PC 1500 Dieses Programm lost gewohn1iche Oifferentia1g1eichungen 1., 2. und 4. Ordnung sowie Systeme von zwei gekoppelten Oiffgln. 1. und 2. Ordnung nach dem Runge-Kutta Verfahren. Ourch eine einfache Fehlerabsch§tzung wlrd eine Korrektur der Ergcbnisse und eine automat1sche Schrittweitensteuerung ermoglicht. Man kann sich so einen Uberblick verschaffen ilber den Verlauf der Losungskurve von Problemen, deren analytische Losung man nicht kennt. Die Diffg1. muG a1s Unterprogramm eingegeben werden. Es werden die Variablen X,Y,Z,Y1 (erste Ab1eitung von Y nach X),Z1,Y2 und Z2 verwendet. Die Zeilen 1 bis 6 entha1ten drei 8eispie1e dazu. Sie gehoren nicht zum Programm und so11en nicht mit abgetippt werden. Man gibt dann einen Satz von Anfangswerten eln. Daraus werden schrittweise neue Wertetupel errcchnet, wobei die Variable X jcdesmal um die Schrittweite H erhoht wird. Die alten Werte werden dabei von den neuen ilberschrieben. Nach der Berechnung stehen die Ergebnisse in Zeile 670 zur VerfUgung. Im Listing werden hier X und Y angezeigt. Indem man die Zeile durch eine geeignete ersetzt kann man die Ergebnisse weiter auswerten, beispielsweise drucken oder in einem Feld'abspeichern. Niltzlich ist es auch in ein Pro :l> gramm zur graphischen Darstel1ung der Losungskurve zu verzweigen. ....... A1s Beispie1 habe ich __~ ....... ...I Onlll... "- _. 1'01 00.111.,. ...... 1'....,........ ...,., Amplitudenverlauf und ""...........' ....1\ CD Phasenportrait der Van rJl der Pol'schen D1ffgl. ""t) (y"=-y+(O,B-y_y)_y'), C: mit der man se1bsterreg '"1 te Schwingungen beschreiben kann p10tten lassen. m :::r Die Anfangsbedingungen CD waren Xo=0,Yo=-0,2,Yo=0. '"1 Als Schrittweite habe ich '0 H=0;1 gewahlt. Die Plotroutine 1st n1cht 1m Lis o ting entha1ten, jeder a kann jedoch eine eigene '0 in Zei1e 670 anschlieGen. c:: rt ro '"1 "...... 1"... .10.., -J..... I .• ::r: -1•••2 ro ,..hlt ytS.u:...If'ldI...... ••••Zl ""t) -1."...2." rt I-" I-" Die Leistung des AIgorithmus ist in hohem MaGe von der gew~hlten Schrittweite abhangig. Um einen Eindruck van der Genauigkeit der Rechnung bel verschledencn Schrittweiten zu erhalten kann man eine Oiffg1. mit bekannter Losung (Sei5pie1e 1 bis 3~ durchrech 1-" nen und in Zeile 670 die Ergebnisse ~it den crwarteten Werten rt vergleichen. ro Das Programm belegt ungefahr 2K. Ich habe mich um Obersichtlich I-" keit bemuht, auf Kosten von Speicherplatz und Geschwindigkcit. \0 Wer will kann das ja tindern. m ro Zur Bedienung : Zunachst muG die Oiffgl. als Unterprogramm mit dem Namen "DGL" geschrieben werden. Es sind drei Falle moglich 01ffgl. 1. Ordnung : Eine o~ffgl. 1. Urdnung kann in der Form y'=f(x,y) geschrieben • • werden. Sie w1rd entsprechend e1ngegeben Y1=f(X,Y). Beispie1 1 : y'=2xy. ~it den Anfangsbedingungen Xo=O und Yo=1 ist y=exp(x.x) die L6sung. Die karrekte Eingabe ist Y1=2.X.Y wie in Programmzei1e 1. o1ffg1. 2. Ordnung hzw. System zweier Oiff~ln. 1. Ordnung : Eine Oiffg1. 2. Ordnung 1autet y"=f(x,y,y ). Sie ist aquiva1ent zu einem System van ~wei Oiffg1n. 1. Ordnung. Zur Berechnung muG die Oiffg1. erst in ein s01ches System zer1egt werden. Das ge schieht so : Man substituiert y'als z und erhalt y'=z und z'=y"=f(x,y,z)., Das wird eingegeb~n als Y1=Z:Z1=f(X,Y,Z). So11en zwei gekoppelte Oiffgln. ge16st werden, dann konnen sie natilrlich gleich eingegcben werden. Beispiel 2 : y"=-y. roit der Umwandlung z=y', z'=-y folgt Zeile 3. Wahlt man Xo=0,Yo=0,Zo=Y10=1 erh~lt man die Losung y=sin(x). Oiff91. 4. Ordnung bzw. System zweier Diffgln. 2. Ordnung : ., ~'=f(x,y,y' ,y" ,y"') wird wie oben in ein System von zwei Oiffgln. 2. Ordnung zerlegt : y"=z , z"=f(x,y,y' ,z,z'). Zwei gekoppelta Oiffg1n. kHnnen direkt eingegeben werden. Beispiel 3 : y"=-8y-2z', z"=-8z+2y'. Oiese beiden Gleichungen filhren mit Xo=0,Yo=1,Zo=O Y10=0 und Z10=1 auf die Rosette y=cos(x)cos(3x) , z=sin(x~cos(3x). Die richtige Programmierung steht in Zeile 5 • Oer Aufruf des Programms.erf01gt mit "OEF" "0". Vor Beginn der Rechnung werden folgende Parameter abgefragt : ordnung : 1, 2 oder 4. Zahl der Ausgaben : so oft wird Zeile 670 e·rreicht. Schrittwcite : Abstand von einem X-Wcrt zum nachsten. Zahl der Zwischenwerte : Will man zur Erh5hung der Genauigkeit die Schrittweite klein machen und trotzdem bis zum Erreichen eines Endwertes rechnen, dann kann die Zahl der Ausgaben sehr groG werden. Um dies zu verhindern kann hier die Anzahl der Wertetupel festgelegt werdcn, die zwischen zwei Ausgaben zwar berechnet, aber nicht ausgegeben werden. • Korrektur : r'~i t Hilfe ciner Fehlerabschatzung konnen die errechneten Wcrte karrigiert werden. Das erhoht die Genauigkeit, verdreifacht aber die Rechenzeit. Eingabe einer 1 schaltet die Korrektur ein, n schaltct sic aus. Schrittsteucrung : Nach Vergleich der Fehlerabschatzung mit einer 4 Genauigkeitsschranke wird die Schrittweite halbiert, gleich belas sen oder vcrdoppclt. Die Schrittwpite wird also der gewilnschten Genauigkeit in ctwa angcpaOt. Die Schrittsteuerung funktioniert nur in Verbindung mit ~er Korrektur. 1=ein , o=aus. • Genauig~ : filr Schrittsteuerung (z.O. 1e-4). Anfangswerte : Xc, Yo, Zo, Y10, Z10. 8ei eincr Oiffgl. 2. Ordnung hat Zo-are-ITedeutung von y'.
- Seite 1 und 2: § of tLU or f llhlperu.rare Nr.11
- Seite 3 und 4: Nie mehr Thea.ter durch Jetzt ist
- Seite 5 und 6: ~----------'i * MZ 700 * univers.32
- Seite 7 und 8: :I;> ~ ~ SHARP PC 1500(A) Betrifft
- Seite 9 und 10: ==:HAF-:P PC 15121121·:: A:) :-; H
- Seite 11 und 12: ~......,.......,......, ST 1. ,2. 3
- Seite 13 und 14: Programme fuer Sharp Pc 15~~ A Die
- Seite 15 und 16: ::r>. Cl :::x:: --i c Z G) ,-... V
- Seite 17: 1Il+.rt"H III a.< 0.. DO rt"::l+'(/
- Seite 21 und 22: 20:"TRI"B(0)=B(I):C=8 22:IF B(1)+1(
- Seite 23 und 24: " J a.!! I ch bin a.bgel"utscht." 5
- Seite 25 und 26: lIlfi ?ilcl', · ~'cJ ~ r J.'l~~ -.
- Seite 27 und 28: F[ 1 ............. (........ :1699)
- Seite 29 und 30: Friedrich Koellen Geschw.Scholl-Str
- Seite 31 und 32: 'S~ .,;:\~ ~.~ ~ ~ ~ ~~ \.1.+- ~ ~p
- Seite 33 und 34: PC-1401 ...........................
- Seite 35 und 36: Betr.: Listing HA WAR I" -- Ein LCD
- Seite 37 und 38: ~ ~ . ~ ~. ~ ~ ~ ~ Q w~ t1 Q Q
- Seite 39 und 40: w.,1D'I 11 EJgJ!it 292 ~ 189 III,ID
- Seite 41 und 42: Hi~r ~ind ~i~=Di~ pr~~~~~i~n~11~n P
- Seite 43 und 44: Pascal-System AlIgemeines: Das K &
- Seite 45 und 46: DFD 700 Doppel Floppy Station 560 K
- Seite 47 und 48: € ........~........ ~~~~ ~ ......
- Seite 49 und 50: MATHEMATIK UTILITY Ml Liste.Zahlen,
- Seite 51 und 52: ABO N N E MEN T Wenn cs Ihnen SpaB
Change language