I. Systeme zweier linearer Gleichungen in zwei Variablen - Schule.at

Übungen für die 3. Schularbeit Seite 1
I. Systeme zweier linearer Gleichungen in zwei Variablen
1. Ermittle graphisch die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:
a) I: 2x - y = 5
II: x + 2y = 5
b) I: x - 3 = 0
II: 2x + y = 4
c) I: y = 4x
II: 8x - 2y = 0
d) I: x-2y = 5
II: -x+2y = 8
2. Löse mit Hilfe der Substitutionsmethode, Komparationsmethode und mit Hilfe des Additionsverfahrens
und führe die Probe aus:
a) I: 4x - 2y = 14, II: 3x = 15 + 3y
d) I: 0,2x + 0,5 y = 2, II:
6
--x
5
5
+ --y = 9
2
b) I: -------------
3x – l
x
– l = y + 4, II: --------------
– 2y y
x --
x
= – e) I: -----------
– 3 y
– – -- = 0, II:
7
3 2
4 2
6x
--------------
+ 5
ll
y
– --
2
=
--
l
2
c) I: -----------
5x 3y
x
+ ----------- = 8, II: 2
f) I: , II:
x – 5 y – 3
+ x ----------- 3y
= ----------- --------------
x – 1 3
= –-----
– 3 y – 1 6y – 2 16
5x -------------- + 1
= –
2y – 5
9
3. Die Zehnerziffer einer dreistelligen Zahl ist 5. Vertauscht man die Hunderter- und die Einerziffer
und addiert diese Zahl zur gegebenen, erhält man als Summe 908. Subtrahiert man die Zahl mit
vertauschten Ziffern von der ursprünglichen Zahl, erhält man als Differenz 594. Wie lautet die
ursprüngliche Zahl?
4. Frau Müller legt zwei Kapitalien an: das erste Kapital K 1 zu 5 %, das zweite Kapital K 2 zu 4 %.
Von beiden Kapitalien erhält sie im Jahr zusammen € 345,- an Zinsen. Hätte Frau Müller das
erste Kapital zu 4 % und das zweite zu 5 % angelegt, würde sie im Jahr zusammen nur € 330,-
an Zinsen bekommen. Berechne beide Kapitalien.
5. Zwei Radfahrer fahren von zwei Orten, die 2 km voneinander entfernt sind, in dieselbe Richtung.
Fahren sie gleichzeitig weg, so holt der erste Radfahrer den zweiten nach 50 Minuten ein; fährt
aber der zweite 5 Minuten früher ab als der erste, dann holt ihn der erste erst 75 Minuten, nachdem
er selbst abgefahren ist, ein. Mit welcher Geschwindigkeit fährt jeder. Wo holt der erste den
zweiten jeweils ein?
6. Verlängert man bei einem rechtwinkligen Dreieck eine Kathete um 8 cm und verkürzt man die
andere Kathete um 4 cm, so entsteht ein neues rechtwinkliges Dreieck mit einem um 66 cm² größeren
Flächeninhalt. Die Hypotenuse des alten und des neuen Dreiecks sind gleich lang.
Berechne die Seitenlängen.
7. Es wird Silber von verschiedenem Feingehalt gemischt. Nimmt man 600 g der Sorte A und 150 g
der Sorte B, erhält man eine Silberlegierung vom Feingehalt 900. Mischt man aber 780 g der
Sorte A und 845 g der Sorte B, so erhält man eine Legierung vom Feingehalt 860. Berechne den
Feingehalt von A und B.
8. Es werden zwei Alkoholsorten gemischt. Nimmt man 12 l der Sorte A und 4 l der Sorte B, so
erhält man eine 76%ige Alkoholsorte. Mischt man aber 8 l der Sorte A mit 8 l der Sorte B, so
erhält man eine 64 %ige Alkoholsorte. Berechne den Prozentgehalt der Sorten A und B.
9. Bei Mischung von 16 l Schwefelsäure der Sorte A und 5 l der Sorte B erhält man 21 Liter
68%iger Schwefelsäure. Mischt man aber 42 l der Sorte A und 21 l der Sorte B, erhält man 63
Liter 70%iger Schwefelsäure. Berechne die Konzentration der Sorten A und B.
10.Zwei Arbeiter können eine Arbeit in 20 Tagen vollenden. Nach 9 Tagen erkrankt der eine und der
andere benötigt für den Rest der Arbeit noch weitere 24 3/4 Tage. Wie viele Tage hätte jeder
allein zur Verrichtung der Arbeit benötigt?
5E 09/10, Akademisches Gymnasium
Mag. Petra Wagenknecht

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11.Ein Wasserbehälter wird durch 2 Röhren gefüllt. Ist die erste Röhre 20 Minuten und die zweite
Röhre 2 Stunden und 40 Minuten geöffnet, so ist der Behälter gefüllt. Ist die erste Röhre 40
Minuten und die zweite Röhre 20 Minuten geöffnet, so ist der Behälter zur Hälfte gefüllt.
Berechne, wie lange die Füllung des Behälters durch jede Röhre dauert und wie lange die Füllung
des Behälters bei gleichzeitiger Öffnung beider Röhren dauert.
12.Ein PKW fährt vom Ort A um 9 Uhr in Richtung des 580 km entfernten Ortes B ab. Ein LKW
bricht um 11 Uhr von B nach A auf und begegnet dem PKW um 14 Uhr. Würde der LKW von B
aus um 15 Uhr in dieselbe Richtung wie der PKW losfahren, so würde er um 20 Uhr von diesem
überholt. Berechne
a) die mittlere Geschwindigkeit des PKW bzw. des LKW
b) in welcher Entfernung von B der LKW den PKW jeweils trifft.
II. Trigonometrie
1. Beweise den Sinussatz, Cosinussatz.
2. Berechne jeweils anhand einer Skizze ohne Taschenrechner
a) sin 30° b) cos 60° c) tan 45 °
3. Ein Quader besitzt die Kantenlängen a= 8,5 cm, b = 4,2 cm, c = 5,9 cm. Wie groß sind die Winkel
a) einer Flächendiagonale/Raumdiagonale und den Kanten
b) einer Raumdiagonale und einer Flächendiagonale c) zwei Raumdiagonalen?
4. Vereinfache mittels der trigonometrischen Grundbeziehungen:
a) sin + cos/tan b) (sin-cos)² + 2sin.cos
5. Auf einem Berg steht ein 10 m hoher Turm. Von einem Punkt im Tal aus sieht man den Fußpunkt
des Turmes unter dem Winkel = 44,3° (gegen die Horizontale) und die Spitze des Turmes unter
dem Winkel = 45,5°. Wie hoch erhebt sich der Berg über die Talsohle?
6. Die Höhe h eines Fernsehturmes soll bestimmt werden. Dazu wird eine 50 m lange Standlinie
AB, die auf den Fernsehturm zuläuft, abgemessen. Von den Punkten A und B aus wird die Spitze
S des Turmes angepeilt und die Höhenwinkel a und b gemessen: = 42,1°, = 56,4°. Wie hoch
ist der Fernsehturm?
7. Ein Grundstück hat annähernd die Form eines Trapezes mit den Maßen a = 330 m, c = 220 m (a
und c parallel), = 76°, = 70°. Wie lang ist ein Umgrenzungszaun für dieses Grundstück?
8. Jemand möchte die Höhe eines Turmes mit dem Fußpunkt F und der Spitze S bestimmen. Dazu
wurde auf der waagrechten Fläche vor dem Turm eine Standlinie AB abgesteckt, die 90 m lang
ist. Die Messung der Winkel ergab: