2. Parallel- und Reihenschaltung. Resonanz - IEM

2. Parallel- und Reihenschaltung. Resonanz 

Themen: 

• Parallel- und Reihenschaltungen RLC 

• Darstellung auf komplexen Ebene 

• Resonanzerscheinungen // Schwingkreise 

• Leistung bei Resonanz 

• Blindleistungskompensation 

ET3, Kovalev/Peppel/Novender 

(Fachbereich IEM) 

24


Reihenschaltung R, L, C 

R 

I 

U R 

L 

U L 

I 

C 

U C 

I 

Bekannt: 

R, L, C 

= sin 

Gesucht: 

U(t) - ? 

U Lm 

= + + = 

= sin + sin + 90° + sin − 90° 

U Xm 

I m 

ϕ 

U m 

U Rm 

Graphische Lösung 

< 

= − 

= + − = 

Winkel 

= arctan % &' 

% (' 

= 

U Cm 

= + − 

 

= )*+,)- 

. 

 



25


Reihenschaltung R, L, C 

Zusammenfassung 

für Reihenschaltung RLC 

= / 

X = − 

/ = + − 

 

• R, X L , X C , Z – immer positiv, 

Vorzeichen „+“ 

• X – Blindwiderstand 

• Z – komplexer Widerstand 

1 = 23425 

6 . 7 

 

• X L > X C , dann ist ϕ > 0, positiv, induktiv 

= sin + 1 

• X L < X C , dann ist ϕ < 0, negativ, kapazitiv 



26


Parallelschaltung R, L, C 

R L 

C Bekannt: 

U(t) 

I R 

I L 

U 

I C 

U 

R, L, C 

= sin 

Gesucht: 

i(t) - ? 

= + + = 

I Xm 

I Cm 

ϕ 

U m 

I Lm 

I Rm 

I m 

= 

sin + 

sin − 90° + 

sin + 90° 

 

Graphische Lösung 

< 

8 

= − = − 8 Winkel 

6 7 

= arctan : &' 

= 

: (' 

= + = 

= 

9 

 

 

+ 

9 

 

− 9 

 

= )*+,)- 

9 

. 9 

 

9 

 



27


Parallelschaltung R, L, C 


für Parallelschaltung RLC 

= ; 

; = 8 < 

; = ; − ; 

; = ; + ; − ; 

 

• R, X L , X C , Z – immer positiv, 

Vorzeichen „+“ 

• G – Leitfähigkeit 

• Z – komplexer Widerstand 

• G L > G C , dann ist ϕ > 0, positiv, induktiv 

1 = 23425 

= 6 .= 7 

= ( 

• G L < G C , dann ist ϕ < 0, negativ, kapazitiv 

= sin + 1 



28


Beispiel zur Parallel- und Reihenschaltung R, L, C 

R 

L 

C 

R 

I 

U R 

L 

U L 

I 

C 

U C 

I 

U(t) 

I R 

I L 

U 

I C 

U 

Gegeben: 

R = 10 Ohm 

X L = 20 Ohm 

X C = 30 Ohm 

I m = 1A 

Gegeben: 

R = 10 Ohm 

X L = 20 Ohm 

X C = 30 Ohm 

U m = 10V 

X - ?, Z - ?, 

U Rm , U Lm , U Cm , U m - ? 



G X - ?, G - ?, 

I Rm , I Lm , I Cm , I m - ? 

29


Komplexe Zahl 

Grundlagen: 

> = 2 + ? A, ? = −1 

2 = D>, A = E > 

> = D FG 

Rechnung: 

• a – Realteil, 

• b – Imaginärteil 

• I – Modul (Betrag) von > , es gilt: I = > 

2 + ? A ≓ D FG 2 + ? A = 2 + A D F IJKLIM N 

O (gilt für α > 0) 

+j 

b 

 

α 

a 

> 

−α 

+1 

D FG ≓ 2 + ? A 

D FG = cos Q + ? sin Q 



30


Darstellung einer sin-Funktion auf komplexer Ebene 

Grundlagen: 

= sin + 1 ≓ > = >D F STUV 

> = D FV , für komplexe Amplituden, 

> = : >' 

 

für komplexe Effektivwerte. 

+j 

> 

ω 

> = : ' 

DFV 

Projektion auf imaginäre Achse: 

= E > = E >D FST ϕ 

ϕ+ωt 

+1 



31


Umrechnung Zeitfunktionen zu komplexen Funktionen 

Zeitfunktion 

Komplexe Funktion 

= sin + 1 ≓ > = D FV 

≓ > 

8 ± ≓ >8 ± > 

X 

X 

Y X 

≓ 

? > 

≓ 1 

? > 

 



32


Ohmsches Gesetz in komplexer Form 

R 

I 

U R 

L 

U L 

I 

C 

U C 

I 

= + + 

= + Z [\ T 

[T 

+ 8 ] X ≓ >D FST = > + ? Z>D FST + 8 

FS >D FST 

> 

= + ^ − > - Ohmsches Gesetz in komplexer Form 

> = /> 

, / = /D FV , / = + − , 1 = arctan 6. 7 

 



33


Beispiel für eine Berechnung in komplexer Form 

U(t) 

L 

C 

I 

R 

Gegeben: 

= 10 2 sin + 45° 

X C = 1 Ohm 

R = 2 Ohm 

X L = 3 Ohm 

______________ 

i(t) - ? 

1. ≓ > = 10 2D Fà° , ≓ = 2, / ≓ ? Z = 3?, / ≓ −? = −1? 

2. > 

= % > 

' 

> = 

< 

8c defg° 

= 

UhF.8F 

= 

8c defg° 

UF 

8c defg° 

d efg° = 5D F à°.à° = 5D Fc 

3. > = 5D Fc ≓ = 5 sin + 0° 

> 

> 

-1j 

3j 

2 



34


Beispiel für eine Berechnung in komplexer Form 

U(t) 

I 

C 

R 

L 

Gegeben: 

= 10 2 sin + 45° 

X C = 1 Ohm 

R = 2 Ohm 

X L = 3 Ohm 

______________ 

i(t) - ? 

1. 

2. 

3. 



35


Komplexe Leistung 

k = l + ?m 

k = kD FV 

1 = 1 % − 1 : 

+j 

k = D FV nD F(.V p) = 

= D FV n D .FV p 

Daraus folgt: 

r = ∗ 

ϕ 

k 

m 

mit l = D ∗ 

und m = Et ∗ 

P 

+1 

r = u ∗ = u = ∗ 

u ∗ 

= 

u ∗ 



36


Leistungsanpassung 

I 

Quelle 

Last 

/ : = : + ? : 

/ = + ? 

U 0 

Z I 

Z L 

l = = c 

6 



v = 

= c 

6 

p U 6 v U p U 6 

v 

Frage: 

Wie muss die komplexe Lastimpedanz Z L aussehen, damit die Last 

aus der gegebenen Quelle (U 0 , Z I ) die größtmögliche Wirkleistung 

erhält? 

Antwort: 

= − , = , u = u 

∗ 



37


Wirkungsgrad 

I 

Quelle 

Last 

w = x 6 

x yz{O'| 

U 0 

Z I 

€ = 

U = 

 

U 

Z L 

l =d}~T = l + l 

/ = + ? 

l = 

/ : = : + ? : 

l = : 

Fazit: 

Der Übertragungswirkungsgrad wird _nicht_ von den 

Blindwiderständen im Kreis beeinflusst! 



38


Blindleistungskompensation 

U 

Quelle 

Z I 

Leitung 

I 

Last 

Z 

U 

U 

Quelle 

Z I 

Leitung 

I` 

Last 

I 

Z 

U 

+j 

 

 

 

‚ 

+1 

C 

+1 

+j 

C 

` 

 

 

C 



39


Resonanz 

Definition: 

bei einer Resonanz gibt‘s KEINE Phasenverschiebung zwischen 

dem Strom und der Spannung am Eingang einer Schaltung. 

Typen: 

- Resonanz im Reihenschwingkreis 

- Resonanz im Parallelschwingkreis 

- Phasenresonanz 



40


Resonanz im Reihenschwingkreis 

R 

I 

U R 

1. Komplexer Widerstand 

/ = /D FV = + − = = t5 

L 

U L 

I 

C 

U C 

I 

Resonanz: 

1 = arctan 6. 7 

 

= 

Z = 8 

S 

= 8 

= 0 

2. Strom erreicht maximalen Wert 

~„ = % 

3. Spannungen an Blindwiderständen sind vom Betrag gleich und 

können im Vergleich zur Eingangsspannung wesentlich höhere 

Werte erreichen (Spannungsresonanz). 



41



R 

I 

U R 

L 

U L 

I 

C 

U C 

I 

Beispiel: 

U = 10 V 

R = 1 Ohm 

X L = X C = 10 Ohm 

____________________ 

U R , U L , U C - ? 

= % < = % = 10 … 

j 

= ∙ = 10 ‡ 

U R 

I 

= = ∙ = 100 ‡ 

U L 

U C 

+1 



42



R 

I 

U R 

Resonanzgüte in der Praxis: 

Q=200..500 

Resonanz im Reihenschwingkreis: 

- Induktivitätsanpassung Z c = 8 

S v 

- Kapazitätsanpassung “ c = 8 

S v 

- Frequenzanpassung c = 8 

L 

U L 

I 

C 

U C 

I 

Resonanzgüte: 

m = 

= Z 

= 1 Z“ ∙ Z Z 

= “ 

 

m = 

Z 

“ 

 

Verlustfaktor: 

X = tan (”) = 1 m = Z 

“ 

j 

X L 

δ 

R 

+1 



43



Frequenzabhängige Eigenschaften: 


= 

Z = 8 

S ; = 8 



44



Komplexer Widerstand außerhalb der Resonanz: 

/ = + ? Z − 1 “ = + ? Z ∙ c 

mit c - Resonanzfrequenz 

/ = + ? 

Z 

“ ∙ c 

− c = + ? 

c 

− 1 “ ∙ 

Z 

“ ∙ • 

− • c 

• c • 

c 

c 

– = 

c 

− c = • • c 

− • c 

• 

‡D3—tt˜5 

/ š = Z “ 

›D55œXD3—25X (k4 œ5œXD3—25X) 

u = + û ž ∙ Ÿ; u ¡ 

u ¡ ¢ 

= u ¡ = 9 + ^ ∙ £ ∙ Ÿ 

Fälle: • < • c , – 5D2–; • = • c , – = 0; • > • c , – ¥¦—– 



45



Bandbreite: 

Frequenzbereich, in dem der Betrag der Impedanz 

/ < 2 ∙ / c = 2 ∙ 

nennt man Bandbreite des Schwingkreises. 

j 

Ortskurve 

U = 2Z + 

 

4Z + 1 

Z“ ; . = − 2Z + 

4Z + 1 

Z“ 

‚ = • U − • . = 

2§ ∙ 2Z − − 

2§ ∙ 2Z = 

2§ ∙ Z 

45° 

-45° 

R 

f + 

induktiv 

f 0 

+1 

¨ = © U − © . 

kapazitiv 

¨ = © ¢ ∙ 

 

¡ ¢ = © ¢ ∙ 9 £ 

f - 



46




1. Resonanzbedingung: t / = 0 

2. Resonanzfrequenz: 

c = 1 Z“ ; • c = 

3. Widerstandsminimum: / c = 

1 

2§ ∙ Z“ 

4. Strommaximum: 

c = 

5. Spannungsmaximum: c = c = m ∙ 

6. Güte: 

7. Bandbreite: 

m = 

Z ª “ 

 

‚ = • c ∙ 1 m 

= / š 

 

8. Relative Impedanz: / 

/ c 

= 1 + ?m • • c 

− • c 



9. Verhalten: Spannungsresonanz 

• 

47


Dualität 

Definition: 

Zwei Strukturen, Elemente oder Schaltungen sind zueinander dual, wenn deren 

Gesetzmäßigkeiten durch Vertauschen von Spannung und Strom ineinander 

übergehen. 

Reihenschaltung 

Beispiele 

Parallelschaltung 

U 1 U 2 U 3 

U 

= 8 + + h 

Induktivität 

I 

I 2 

I 3 

I 1 

= 8 + + h 

Kapazität 

= Z ∙ X ª 

X 

= ? Z ∙ 

= “ ∙ X˜ ª X 

= ? “ ∙ 

Spannungsteiler 

 

= 

/ I 1 

Stromteiler 

U 

2 

I 2 

8 / 8 +/ 

U 1 

ET3, Kovalev/Peppel/Novender Y 1 Y 2 


 

8 

= 

« 

« 8 +« 

48


Resonanz im Parallelschwingkreis 

R L C 


U(t) 

I R 

U 

I C 

U 

1 = arctan 6. 7 

= 

= 0 

I L 

« = « 

1. Komplexer Leitwert: 

« = ; + ? “ − 1 Z 

8 

S = “ 

= 8 

2. Strom erreicht minimalen Wert 

\¬ = % 

3. Ströme an Blindwiderständen sind vom Betrag gleich und 

können im Vergleich zum Eingangsstrom wesentlich höhere Werte 

erreichen (Stromresonanz). 



49



R L C 

Beispiel: 

U(t) 

I R 

I L 

U 

I C 

U 

U = 10 V 

G = 0,1 Sm 

Y L = Y C = 1 Sm 

____________________ 

I R , I L , I C - ? 

= ∙ ; = 1 … 

j 

U 

= = « = 10 … 

I R 

= + + = 

I C 

I L 

+1 



50



R L C 

U(t) 

I R 

U 

I C 

U 

I L 

Der Parallelschwingkreis ist die duale Schaltung zum Reihenschwingkreis. 

Die Gesetze des Parallelschwingkreises erhält man, indem in den Gesetzten 

des Reihenschwingkeises: 

1. Spannungen durch Ströme ersetzt werden: → 

2. Ströme durch Spannungen ersetzt werden: → 

3. Impedanzen durch Leitwerte ersetzt werden: / ² → « ² 

4. Leitwerte durch Impedanzen ersetzt werden: « ³ → / ³ 



51




1. Resonanzbedingung: t « = 0 

2. Resonanzfrequenz: 

c = 1 Z“ ; • c = 

3. Widerstandsmaximum: / c = 

4. Stromminimum: 

c = 

5. Strommaximum (intern): c = c = m ∙ c 

6. Güte: 

7. Bandbreite: 

m = 

“ ª Z 

; = « š 

; 

‚ = • c ∙ 1 m 

1 

2§ ∙ Z“ 

8. Relativer Leitwert: « 

« c 

= 1 + ?m • • c 

− • c 



9. Verhalten: Stromresonanz 

• 

52


Phasenresonanz eines komplexen Zweipols 

U 

I 

S 

Resonanzbedingung: 

1 = 0 

/ = + ?´; φ = 23425 

; ´ = 0 


1. Spannungsresonanz: Et/ = 0, Et« → ∞ 

2. Stromresonanz: Et« = 0, Et/ → ∞ 



53


Phasenresonanz eines komplexen Zweipols 

U 

I 

R 

L 1 

L 2 

C 

Beispiel: 

finden Sie alle Resonanzbedingungen 

/ = + ? Z 8 + ? Z −? 1 “ 

? Z − ? 1 “ 


1. Spannungsresonanz: 

= R + j 



Z 8 Z “ − 1 − Z 

Z “ − 1 

2. Stromresonanz: 

Et/ = 0, Et« →Et« ∞ = 0, Et/ → ∞ 

Z 8 Z “ − 1 − Z = Z 0“ − 1 = 0 

8 = 0 — —55¹¦— ` < 0 — —55¹¦— 

< 0 — —55¹¦— 

¡ º = 9 + 

9 

¡ Ã = 

9 

 

54


Aufgabe 2.1 

Effektivwert 

Gegeben ist die dargestellte 

Spannung: 

a) Ermitteln Sie die Frequenz 

der Grundschwingung! 

b) Berechnen Sie den 

Gleichrichtwert der 

Spannung! 

c) Berechnen Sie den 

Effektivwert der Spannung! 

d) Nun wird die dargestellte 

Spannung an einen 

ohmschen Widerstand von 

100 Ω angelegt. Welche 

Verlustleistung tritt im 

Widerstand auf? 



55



Effektivwert 

1. Berechnen Sie den 

Effektivwert dieser Sinus- 

Spannung mit Phasenanschnitt. 

Es gilt: 

sin 2 x = 0,5 - 0,5•cos(2x) 

2. Gegeben ist eine periodische 

Rechteckspannung mit der 

Periodendauer von 10 ms. 

Berechnen Sie den Effektivwert, 

wenn der arithmetische 

Mittelwert gleich Null ist. 



56



Wechselstromleistung 

Zwei Wechselstrom-Zweipole werden parallel an einer idealen Spannungsquelle 

U 0 = 100 V, f 0 = 400 Hz angeschlossen. Bei dieser Frequenz haben die beiden 

Zweipole folgende Impedanzen: 

Z1 = 100 Ω, ϕ(Z1) = +30° ; Z2 = 200 Ω, ϕ(Z2) = -60° 

a) Ermitteln Sie für jeden Zweipol einzeln die Wirk-, die Blind- und die 

Scheinleistung. 

b) Ermitteln Sie die Wirk-, die Blind- und die Scheinleistung der Parallelschaltung 

beider Zweipole. 

c) Sind diese Werte gleich den Summen der in a) ermittelten Einzelleistungen? 

d) Ermitteln Sie für jeden Zweipol einzeln die komplexe Leistung. 

e) Ermitteln Sie die komplexe Leistung der Parallelschaltung. 

f) Ist die Summe der komplexen Leistungen der Einzelzweipole gleich der 

komplexen Leistung der Parallelschaltung? 



57



Schaltkreise mit Wechselstrom 

In der Schaltung gemäß Bild ist die 

Spannung UC gegeben. 

Werte: 

U C = 5V, 50Hz, 

R 1 = 50Ω, 

R 2 = 100Ω, 

C = 16µF 

a) Ermitteln Sie auf zeichnerischem 

Weg (Zeigerdiagramme) die Größe 

der Spannung U 0 und deren 

Phasenwinkel zum Gesamtstrom. 

b) Ermitteln Sie die von der Schaltung 

aufgenommene Blindleistung. 

c) Ermitteln Sie die von der Schaltung 

aufgenommene Wirkleistung. 



58



Schaltkreise mit Wechselstrom 

In der Schaltung gemäß Bild ist die 

obige Schaltung aus Widerstand und 

Kondensator mit der 

Eingangsspannung Ue = 10V 

gegeben. 

a) Wie groß ist die Spannung Ua bei 

der Frequenz ω1=2πf1 =1/RC? 

b) Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf 

der Spannung Ua über der 

Frequenz f mit Markieren des 

Punktes f 1 ! 



59



Parallel- und Reihenschaltung 

Der Eingangswiderstand eines linearen Zweipols beträgt bei der Frequenz f = 800 Hz 

Z = 600 Ω, sein Phasenwinkel ist ϕ = 30° induktiv. 

a) Berechnen Sie die Schaltelemente Rr und Lr der gleichwertigen 

Reihenersatzschaltung ! 

b) Berechnen Sie die Schaltelemente Rp und Lp der gleichwertigen 

Parallelersatzschaltung ! 

c) Wie ändern sich die Scheinersatzwiderstände (Betrag und Phase) beider 

Ersatzschaltungen, wenn die Frequenz f'= 600 Hz beträgt ? 



60




An einem Verbraucher liegt die Spannung u(t) = 310V•sin(ωt+55°) an, er nimmt einen 

Strom von i(t) = 8,5 A• cos (ωt) auf. 

a) Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Momentanwertes der Verbraucherleistung 

b) Berechnen Sie die Schein- Wirk- und Blindleistung 



61




Aus den drei gemessenen sinusförmigen 

Spannungen U, U N , und U sp 

lassen sich die Werte RL und L einer 

Spule bestimmen. 

Es sind bekannt: 

U = 100 V 

U N = 60 V U sp = 70 V 

R N = 60 Ω ; f = 50 Hz. 

a) Zeichnen Sie ein qualitatives 

Zeigerdiagramm der Spannungen! 

b) Bestimmen Sie R L und L! 



62




Gegeben ist die Ausgangsspannung 

~ = 5‡ ⋅ D Fc 

und 

8 = = 8 = 8 = 1 ÆΩ 

S Å S v 

a) Zeichnen Sie ein maßstäbliches 

Zeigerdiagramm aller Spannungen und 

aller Ströme! 

Maßstäbe: 1cm≜1V 1cm ≜ 1 mA 

b) Entnehmen Sie dem Zeigerdiagramm 

Betrag und Phasenwinkel der Spannung 

Ue ! 



63




L 

Berechnen Sie die Resonanzfrequenz 

des abgebildeten Zweipols. 

L=12 mH 

C=2 µF 

R=160 Ohm 

C 

R 



64




Von einem RLC-Reihenschwingkreis 

ist die Abhängigkeit I(f) 

gegeben, sh. Kennlinie. Der 

Schwingkreis wird von einer 

konstanten sinusförmigen 

Spannung gespeist mit U = 100 V. 

Bestimmen Sie die Bauelemente 

R, L, und C ! 

Sie dürfen auch mit der Näherung 

Güte >>1 rechnen. 



65




Für diese Schaltung, die sich im 

Resonanzzustand befindet, sind folgende 

Werte bekannt: 

I 

L=10 mH 

U=20 V 

R=20 Ohm 

f 0 =800 Hz 

____________ 

U 

R 

L 

C 

1. Welche Kapazität C muss der 

Kondensator im Resonanzfall haben? 

2. Wie groß ist hierbei der von der 

Spannungsquelle gelieferte Strom I? 



66

2. Parallel- und Reihenschaltung. Resonanz - IEM

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