1. Leistung bei Wechselstrom Grundlagen - IEM
1. Leistung bei Wechselstrom Grundlagen - IEM
1. Leistung bei Wechselstrom Grundlagen - IEM
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Elektrotechnik 3<br />
Systemdynamik<br />
THM Fachbereich <strong>IEM</strong><br />
SS 2012<br />
Prof. Dr. Sergej Kovalev<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
1
Ziele<br />
<strong>1.</strong> Energietechnische <strong>Grundlagen</strong>:<br />
<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong>.<br />
2. <strong>Grundlagen</strong> des Drehstromsystems<br />
2. Systemdynamische <strong>Grundlagen</strong>:<br />
<strong>1.</strong> Schwingungsfähige Systeme <strong>bei</strong> sinusförmiger Anregung.<br />
2. Direkte Analyse dynamischer Vorgänge im Zeitbereich.<br />
3. Laplace-Transformation.<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
<strong>Grundlagen</strong><br />
Annahme: lineares Verhalten von allen Elementen.<br />
Mathematische Beschreibung mit SIN-Funktion:<br />
= sin + <br />
mit<br />
() –<br />
Augenblickswert,<br />
– Amplitude der SIN-Funktion,<br />
( + ) – Augenblicksphase der SIN-Funktion,<br />
φ –<br />
Anfangsphase,<br />
– Kreisfrequenz.<br />
= 2, = <br />
mit<br />
- elektrische Frequenz,<br />
T – Periode (Zeit).<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
3
<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
<strong>Grundlagen</strong><br />
Mittelwert und Effektivwert.<br />
Mittelwert = arithmetisches Mittel:<br />
= ∙ <br />
∙ = <br />
<br />
∙ <br />
Effektivwert = quadratisches Mittel<br />
=<br />
∙ <br />
<br />
<br />
= ∙ <br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
<strong>Grundlagen</strong><br />
Zeitdiagramme.<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
Amplitude, i(t)<br />
0<br />
-0,785 0 0,785 1,57 2,355 3,14 3,925 4,71 5,495 6,28 7,065<br />
-0,5<br />
i1<br />
Zeit, ωt<br />
1 = sin <br />
2 = sin + 45°<br />
(voreilend zu i1 & i3)<br />
3 = sin − 45°<br />
(nacheilend zu i1 und i2)<br />
1,5 -1<br />
-1,5 1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,785 0 0,785 1,57 2,355 3,14 3,925 4,71 5,495 6,28 7,065<br />
-0,5<br />
1,5 -1<br />
-1,5 1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,785 0 0,785 1,57 2,355 3,14 3,925 4,71 5,495 6,28 7,065<br />
-0,5<br />
i2<br />
i3<br />
Zeit, ωt<br />
Zeit, ωt<br />
-1<br />
-1,5<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
<strong>Grundlagen</strong><br />
Zeigerdiagramm.<br />
• Komplexe Gaußsche Zahlenebene<br />
• Zeiger z:<br />
' = ' ∙ cos ∙ sin <br />
ω<br />
mit i als imaginäre Einheit<br />
• Realteil Re:<br />
*+ ' ' ∙ cos <br />
Imaginärteil Im:<br />
, ' ' ∙ sin <br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
<strong>Grundlagen</strong><br />
Zeigerdiagramm.<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
<strong>Grundlagen</strong><br />
Elektrische <strong>Leistung</strong>.<br />
Allgemein gültig für Gleichstrom:<br />
- = . ∙ <br />
Für zeitlich veränderliche Spannungen / Ströme gilt:<br />
Augenblicksleistung p(t) / = 0 ∙ <br />
• Zeitlich veränderlich,<br />
• Kann <strong>bei</strong> sinusförmigen Wechselvorgängen<br />
positiv, null oder negativ sein.<br />
Wirkleistung P<br />
- = ∙ <br />
<br />
/ ∙ <br />
• Mittelwert der <strong>Leistung</strong> während einer Periode,<br />
• Basiert auf dem Energieumsatz pro Periode T<br />
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(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Ohmscher Zweipol<br />
Wirkwiderstand im <strong>Wechselstrom</strong>kreis.<br />
Schaltung Zeigerdiagramm Zeitdiagramm<br />
= ∙ sin ∙ <br />
0 = * ∙ = * ∙ ∙ sin ∙ = . ∙ sin ∙ <br />
• Die Spannung u(t) und der Strom i(t) sind in Phase<br />
• Die Phasenverschiebung beträgt 0°<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Ohmscher Zweipol<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung <strong>bei</strong> einem<br />
Wirkwiderstand.<br />
Augenblicksleistung:<br />
/ = . sin ∙ ∙ sin ∙ =<br />
= . ∙ <br />
2<br />
Wirkleistung:<br />
- = 1 1 2 / ∙ <br />
<br />
<br />
∙ 1 − cos 2 ∙ ∙ <br />
Mit den Effektivwerten:<br />
. = 3 4<br />
und = 5 4<br />
<br />
ergibt sich für Wirkleistung:<br />
- = . ∙ <br />
= . ∙ <br />
2<br />
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(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Ohmscher Zweipol<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung <strong>bei</strong> einem Wirkwiderstand.<br />
• Durch Multiplikation der zusammengehörenden Augenblickswerte von<br />
Spannung und Strom erhält man die Augenblickswerte der <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong><br />
<strong>Wechselstrom</strong>.<br />
• Die <strong>Leistung</strong>skurve ist immer positiv, da Spannung und Stromstärke <strong>bei</strong><br />
einem Wirkwiderstand entweder <strong>bei</strong>de gleichzeitig positiv oder <strong>bei</strong>de<br />
gleichzeitig negativ sind.<br />
• Positive <strong>Leistung</strong> bedeutet, dass die <strong>Leistung</strong> vom Generator zur Last geht<br />
• Die <strong>Leistung</strong> hat die doppelte Frequenz wie die Spannung bzw. wie der<br />
Strom<br />
• Die pulsierende <strong>Wechselstrom</strong>leistung hat den Scheitelwert u max * i max<br />
und kann durch Flächenverwandlung in eine gleichwertige<br />
Gleichstromleistung, die sogenannte Wirkleistung P, umgewandelt werden.<br />
• Beim Wirkwiderstand beträgt die Wirkleistung die Hälfte des Scheitelwerts<br />
der <strong>Leistung</strong><br />
• Zur Bestimmung der <strong>Wechselstrom</strong>leistung rechnet man immer mit den<br />
Effektivwerten.<br />
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(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Induktiver Zweipol<br />
Induktivität im <strong>Wechselstrom</strong>kreis.<br />
Schaltung Zeigerdiagramm Zeitdiagramm<br />
= ∙ sin ∙ <br />
0 = 6 ∙ 7 = ∙ 6 ∙ <br />
7<br />
∙ cos ∙ = ∙ 6 ∙ ∙ sin ∙ + <br />
. = 8 9 ∙ ; 8 9 = ∙ 6; 8 9 = :;,<br />
• Die Spannung u(t) eilt dem Strom i(t) um 90° voraus<br />
• Die Phasenverschiebung beträgt <strong>bei</strong> einer reinen Induktivität +90°<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Induktiver Zweipol<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung <strong>bei</strong> einer<br />
Induktivität.<br />
Augenblicksleistung:<br />
/ = . cos ∙ ∙ sin ∙ =<br />
= . ∙ <br />
2<br />
∙ sin 2 ∙ ∙ <br />
Wirkleistung des induktiven Zweipols:<br />
- = 1 1 2 / ∙ <br />
<br />
<br />
= 0<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Induktiver Zweipol<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung <strong>bei</strong> einer reinen Induktivität.<br />
• Durch Multiplikation der zusammengehörenden Augenblickswerte von<br />
Spannung und Strom erhält man die Augenblickswerte der <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong><br />
<strong>Wechselstrom</strong><br />
• Die <strong>Leistung</strong> hat die doppelte Frequenz wie die Spannung bzw. wie der Strom<br />
• Die <strong>Leistung</strong>skurve ist sowohl positiv als auch negativ<br />
• Positive <strong>Leistung</strong> bedeutet: Der Generator liefert Energie zur Spule<br />
• Negative <strong>Leistung</strong> bedeutet: Die Spule liefert Energie zum Generator<br />
• Die Fläche unter der <strong>Leistung</strong>skurve entspricht der zwischen dem Generator<br />
und der Spule ausgetauschten Ar<strong>bei</strong>t bzw. Energie<br />
• Bei einer reinen Induktivität ( Phasenverschiebung j = + 90o ) sind die positiven<br />
und die negativen Flächenanteile gleich groß<br />
• Bei einer reinen Induktivität pendelt die Energie zwischen dem Generator und<br />
der Spule hin und her<br />
• Bei einer reinen Induktivität wird keine Wirkleistung, sondern ausschließlich<br />
Blindleistung umgesetzt<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Kapazitiver Zweipol<br />
Kapazität im <strong>Wechselstrom</strong>kreis.<br />
Schaltung Zeigerdiagramm Zeitdiagramm<br />
0 = . ∙ sin ∙ <br />
= = ∙ 7> = = ∙ ∙ .<br />
7<br />
∙ cos ∙ = ∙ = ∙ . ∙ sin ∙ + <br />
= ∙ .<br />
? ; 8 A = ; 8<br />
@ B∙A A = :;,<br />
• Die Spannung u(t) eilt dem Strom i(t) um 90° nach<br />
• Die Phasenverschiebung beträgt <strong>bei</strong> einer reinen Induktivität -90°<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Kapazitiver Zweipol<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung <strong>bei</strong> einer reinen<br />
Kapazität.<br />
Augenblicksleistung:<br />
/ = . sin ∙ ∙ cos ∙ =<br />
= . ∙ <br />
2<br />
∙ sin 2 ∙ ∙ <br />
Wirkleistung des kapazitiven Zweipols:<br />
- = 1 1 2 / ∙ <br />
<br />
<br />
= 0<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Kapazitiver Zweipol<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung <strong>bei</strong> einer reinen Kapazität.<br />
• Durch Multiplikation der zusammengehörenden Augenblickswerte von<br />
Spannung und Strom erhält man die Augenblickswerte der <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong><br />
<strong>Wechselstrom</strong><br />
• Die <strong>Leistung</strong> hat die doppelte Frequenz wie die Spannung bzw. wie der Strom<br />
• Die <strong>Leistung</strong>skurve ist sowohl positiv als auch negativ<br />
• Positive <strong>Leistung</strong> bedeutet: Der Generator liefert Energie zum Kondensator<br />
• Negative <strong>Leistung</strong> bedeutet: Der Kondensator liefert Energie zum Generator<br />
• Die Fläche unter der <strong>Leistung</strong>skurve entspricht der zwischen dem Generator<br />
und dem Kondensator ausgetauschten Ar<strong>bei</strong>t bzw. Energie<br />
• Bei einer reinen Kapazität ( Phasenverschiebung j = - 90o ) sind die positiven<br />
und die negativen Flächenanteile gleich groß<br />
• Bei einer reinen Kapazität pendelt die Energie zwischen dem Generator und<br />
dem Kondensator hin und her<br />
• Bei einer reinen Kapazität wird keine Wirkleistung, sondern ausschließlich<br />
Blindleistung umgesetzt<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Allgemeiner Zweipol<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung des allgemeinen<br />
Zweipols.<br />
/ = 0 ∙ <br />
0 = . ∙ sin ∙ <br />
= ∙ sin ∙ − <br />
/ = . ∙ ∙ sin ∙ ∙ sin ∙ − =<br />
= . cos + . cos 2 − =<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
= . ∙ ∙ cos + . ∙ ∙ cos 2 − <br />
p(t)>0 : <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong>m Verbraucher<br />
p(t)
<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung<br />
<strong>Wechselstrom</strong>leistung des allgemeinen Zweipols.<br />
/ = . ∙ ∙ cos + . ∙ ∙ cos 2 − <br />
Wirkleistung:<br />
- = . ∙ ∙ cos ; C = ∙ cos - Wirkstrom;<br />
- = 1D<br />
I B<br />
Im<br />
I W<br />
ϕ<br />
I<br />
U<br />
Re<br />
Blindleistung:<br />
E = . ∙ ∙ sin ; F = ∙ sin - Blindstrom;<br />
E = 1GHI<br />
Scheinleistung:<br />
J = . ∙ ;<br />
J = - + E <br />
I W<br />
I<br />
ϕ<br />
I B<br />
P<br />
Q<br />
J = 1KL<br />
= D + M<br />
<br />
S<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Blindleistung der Grundzweipole<br />
I R<br />
U R<br />
R<br />
I<br />
U<br />
N = 0 ; Q = 0<br />
I L<br />
U L<br />
I<br />
U L<br />
L<br />
N = +90°<br />
; Q = +. ∙ <br />
U C<br />
I C<br />
C<br />
U C<br />
I<br />
N = −90°<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
; Q = −. ∙ <br />
20
<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>1<br />
1) Effektivwert und Spitzenwert<br />
Die Wechselspannung des Versorgungsnetzes wird mit 220 Volt angegeben<br />
( Effektivwert )<br />
Gesucht wird der Spitzenwert u max<br />
2) Effektivwert und Spitzenwert<br />
Für eine Einweg-Gleichrichterschaltung steht ein Netztransformator mit der Angabe 9 V /<br />
1,5 A zur Verfügung.<br />
Für welche Spannung müssen die Gleichrichter-Diode und der Sieb-Elko ausgelegt<br />
werden ?<br />
3) Wirkwiderstand<br />
Wie groß sind der Strom und der Wirkwiderstand einer Glühlampe ( 220 V / 60 W ), die<br />
an 220 V Wechselspannung angeschlossen ist ?<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>2<br />
Induktiver Blindwiderstand<br />
Zur Erinnerung:<br />
1 Hz [ Hertz ] = 1/s<br />
1 H [ Henry ] = 1 Vs/A<br />
Beispiel 1:<br />
Wie groß ist der induktive Blindwiderstand einer Spule von 2 H <strong>bei</strong> einer Frequenz von 50 Hz<br />
Lösung:<br />
Beispiel 2:<br />
Welche Induktivität hat eine Spule, deren Blindwiderstand 12,5 Ω <strong>bei</strong> einer Frequenz von 40 Hz beträgt ?<br />
Lösung:<br />
Beispiel 3:<br />
An welcher Frequenz liegt eine Spule von 12 mH, die einen Blindwiderstand von 132 Ω hat ?<br />
Lösung:<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
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<strong>1.</strong> <strong>Leistung</strong> <strong>bei</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Aufgaben <strong>1.</strong>3<br />
Kapazitiver Blindwiderstand<br />
Zur Erinnerung:<br />
1 Hz [ Hertz ] = 1/s<br />
1 F [ Farad ] = 1 As/V<br />
Beispiel 1:<br />
Wie groß ist der kapazitive Blindwiderstand eines Kondensators von 2 µF <strong>bei</strong> einer Frequenz von 50 Hz ?<br />
Lösung ( gerundet ):<br />
Beispiel 2:<br />
Welche Kapazität hat ein Kondensator, dessen Blindwiderstand 125 Ω <strong>bei</strong> einer Frequenz von 40 Hz<br />
beträgt ?<br />
Lösung ( gerundet ):<br />
Beispiel 3:<br />
An welcher Frequenz liegt ein Kondensator von 47 nF, der einen Blindwiderstand von 75 Ω hat ?<br />
Lösung ( gerundet ):<br />
ET3, Kovalev/Peppel/Novender<br />
(Fachbereich <strong>IEM</strong>)<br />
23