1. Leistung bei Wechselstrom Grundlagen - IEM

Elektrotechnik 3 

Systemdynamik 

THM Fachbereich IEM 

SS 2012 

Prof. Dr. Sergej Kovalev 

ET3, Kovalev/Peppel/Novender 

(Fachbereich IEM) 

1

Ziele 

1. Energietechnische Grundlagen: 

1. Leistung bei Wechselstrom. 

2. Grundlagen des Drehstromsystems 

2. Systemdynamische Grundlagen: 

1. Schwingungsfähige Systeme bei sinusförmiger Anregung. 

2. Direkte Analyse dynamischer Vorgänge im Zeitbereich. 

3. Laplace-Transformation. 



2

1. Leistung bei Wechselstrom 

Grundlagen 

Annahme: lineares Verhalten von allen Elementen. 

Mathematische Beschreibung mit SIN-Funktion: 

= sin + 

mit 

() – 

Augenblickswert, 

– Amplitude der SIN-Funktion, 

( + ) – Augenblicksphase der SIN-Funktion, 

φ – 

Anfangsphase, 

– Kreisfrequenz. 

= 2, = 

mit 

- elektrische Frequenz, 

T – Periode (Zeit). 



3



Mittelwert und Effektivwert. 

Mittelwert = arithmetisches Mittel: 

= ∙ 

∙ = 

 

∙ 

Effektivwert = quadratisches Mittel 

= 

∙ 

 

 

= ∙ 



4



Zeitdiagramme. 

1,5 

1 

0,5 

Amplitude, i(t) 

0 

-0,785 0 0,785 1,57 2,355 3,14 3,925 4,71 5,495 6,28 7,065 

-0,5 

i1 

Zeit, ωt 

1 = sin 

2 = sin + 45° 

(voreilend zu i1 & i3) 

3 = sin − 45° 

(nacheilend zu i1 und i2) 

1,5 -1 

-1,5 1 

0,5 

0 

-0,785 0 0,785 1,57 2,355 3,14 3,925 4,71 5,495 6,28 7,065 

-0,5 

1,5 -1 

-1,5 1 

0,5 

0 

-0,785 0 0,785 1,57 2,355 3,14 3,925 4,71 5,495 6,28 7,065 

-0,5 

i2 

i3 

Zeit, ωt 

Zeit, ωt 

-1 

-1,5 



5



Zeigerdiagramm. 

• Komplexe Gaußsche Zahlenebene 

• Zeiger z: 

' = ' ∙ cos ∙ sin 

ω 

mit i als imaginäre Einheit 

• Realteil Re: 

*+ ' ' ∙ cos 

Imaginärteil Im: 

, ' ' ∙ sin 



6



Zeigerdiagramm. 



7



Elektrische Leistung. 

Allgemein gültig für Gleichstrom: 

- = . ∙ 

Für zeitlich veränderliche Spannungen / Ströme gilt: 

Augenblicksleistung p(t) / = 0 ∙ 

• Zeitlich veränderlich, 

• Kann bei sinusförmigen Wechselvorgängen 

positiv, null oder negativ sein. 

Wirkleistung P 

- = ∙ 

 

/ ∙ 

• Mittelwert der Leistung während einer Periode, 

• Basiert auf dem Energieumsatz pro Periode T 



8


Ohmscher Zweipol 

Wirkwiderstand im Wechselstromkreis. 

Schaltung Zeigerdiagramm Zeitdiagramm 

= ∙ sin ∙ 

0 = * ∙ = * ∙ ∙ sin ∙ = . ∙ sin ∙ 

• Die Spannung u(t) und der Strom i(t) sind in Phase 

• Die Phasenverschiebung beträgt 0° 



9



Wechselstromleistung bei einem 

Wirkwiderstand. 

Augenblicksleistung: 

/ = . sin ∙ ∙ sin ∙ = 

= . ∙ 

2 

Wirkleistung: 

- = 1 1 2 / ∙ 

 

 

∙ 1 − cos 2 ∙ ∙ 

Mit den Effektivwerten: 

. = 3 4 

und = 5 4 

 

ergibt sich für Wirkleistung: 

- = . ∙ 

= . ∙ 

2 



10



Wechselstromleistung bei einem Wirkwiderstand. 

• Durch Multiplikation der zusammengehörenden Augenblickswerte von 

Spannung und Strom erhält man die Augenblickswerte der Leistung bei 

Wechselstrom. 

• Die Leistungskurve ist immer positiv, da Spannung und Stromstärke bei 

einem Wirkwiderstand entweder beide gleichzeitig positiv oder beide 

gleichzeitig negativ sind. 

• Positive Leistung bedeutet, dass die Leistung vom Generator zur Last geht 

• Die Leistung hat die doppelte Frequenz wie die Spannung bzw. wie der 

Strom 

• Die pulsierende Wechselstromleistung hat den Scheitelwert u max * i max 

und kann durch Flächenverwandlung in eine gleichwertige 

Gleichstromleistung, die sogenannte Wirkleistung P, umgewandelt werden. 

• Beim Wirkwiderstand beträgt die Wirkleistung die Hälfte des Scheitelwerts 

der Leistung 

• Zur Bestimmung der Wechselstromleistung rechnet man immer mit den 

Effektivwerten. 



11


Induktiver Zweipol 

Induktivität im Wechselstromkreis. 


= ∙ sin ∙ 

0 = 6 ∙ 7 = ∙ 6 ∙ 

7 

∙ cos ∙ = ∙ 6 ∙ ∙ sin ∙ + 

. = 8 9 ∙ ; 8 9 = ∙ 6; 8 9 = :;, 

• Die Spannung u(t) eilt dem Strom i(t) um 90° voraus 

• Die Phasenverschiebung beträgt bei einer reinen Induktivität +90° 



12



Wechselstromleistung bei einer 

Induktivität. 


/ = . cos ∙ ∙ sin ∙ = 

= . ∙ 

2 

∙ sin 2 ∙ ∙ 

Wirkleistung des induktiven Zweipols: 

- = 1 1 2 / ∙ 

 

 

= 0 



13



Wechselstromleistung bei einer reinen Induktivität. 



Wechselstrom 

• Die Leistung hat die doppelte Frequenz wie die Spannung bzw. wie der Strom 

• Die Leistungskurve ist sowohl positiv als auch negativ 

• Positive Leistung bedeutet: Der Generator liefert Energie zur Spule 

• Negative Leistung bedeutet: Die Spule liefert Energie zum Generator 

• Die Fläche unter der Leistungskurve entspricht der zwischen dem Generator 

und der Spule ausgetauschten Arbeit bzw. Energie 

• Bei einer reinen Induktivität ( Phasenverschiebung j = + 90o ) sind die positiven 

und die negativen Flächenanteile gleich groß 

• Bei einer reinen Induktivität pendelt die Energie zwischen dem Generator und 

der Spule hin und her 

• Bei einer reinen Induktivität wird keine Wirkleistung, sondern ausschließlich 

Blindleistung umgesetzt 



14


Kapazitiver Zweipol 

Kapazität im Wechselstromkreis. 


0 = . ∙ sin ∙ 

= = ∙ 7> = = ∙ ∙ . 

7 

∙ cos ∙ = ∙ = ∙ . ∙ sin ∙ + 

= ∙ . 

? ; 8 A = ; 8 

@ B∙A A = :;, 

• Die Spannung u(t) eilt dem Strom i(t) um 90° nach 

• Die Phasenverschiebung beträgt bei einer reinen Induktivität -90° 



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Wechselstromleistung bei einer reinen 

Kapazität. 


/ = . sin ∙ ∙ cos ∙ = 

= . ∙ 

2 

∙ sin 2 ∙ ∙ 

Wirkleistung des kapazitiven Zweipols: 

- = 1 1 2 / ∙ 

 

 

= 0 



16



Wechselstromleistung bei einer reinen Kapazität. 



Wechselstrom 

• Die Leistung hat die doppelte Frequenz wie die Spannung bzw. wie der Strom 

• Die Leistungskurve ist sowohl positiv als auch negativ 

• Positive Leistung bedeutet: Der Generator liefert Energie zum Kondensator 

• Negative Leistung bedeutet: Der Kondensator liefert Energie zum Generator 

• Die Fläche unter der Leistungskurve entspricht der zwischen dem Generator 

und dem Kondensator ausgetauschten Arbeit bzw. Energie 

• Bei einer reinen Kapazität ( Phasenverschiebung j = - 90o ) sind die positiven 

und die negativen Flächenanteile gleich groß 

• Bei einer reinen Kapazität pendelt die Energie zwischen dem Generator und 

dem Kondensator hin und her 

• Bei einer reinen Kapazität wird keine Wirkleistung, sondern ausschließlich 

Blindleistung umgesetzt 



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Allgemeiner Zweipol 

Wechselstromleistung des allgemeinen 

Zweipols. 

/ = 0 ∙ 

0 = . ∙ sin ∙ 

= ∙ sin ∙ − 

/ = . ∙ ∙ sin ∙ ∙ sin ∙ − = 

= . cos + . cos 2 − = 

- 

+ 

- 

+ 

= . ∙ ∙ cos + . ∙ ∙ cos 2 − 

p(t)>0 : Leistung beim Verbraucher 

p(t)


Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung 

Wechselstromleistung des allgemeinen Zweipols. 

/ = . ∙ ∙ cos + . ∙ ∙ cos 2 − 

Wirkleistung: 

- = . ∙ ∙ cos ; C = ∙ cos - Wirkstrom; 

- = 1D 

I B 

Im 

I W 

ϕ 

I 

U 

Re 

Blindleistung: 

E = . ∙ ∙ sin ; F = ∙ sin - Blindstrom; 

E = 1GHI 

Scheinleistung: 

J = . ∙ ; 

J = - + E 

I W 

I 

ϕ 

I B 

P 

Q 

J = 1KL 

= D + M 

 

S 



19


Blindleistung der Grundzweipole 

I R 

U R 

R 

I 

U 

N = 0 ; Q = 0 

I L 

U L 

I 

U L 

L 

N = +90° 

; Q = +. ∙ 

U C 

I C 

C 

U C 

I 

N = −90° 



; Q = −. ∙ 

20


Aufgaben 1.1 

1) Effektivwert und Spitzenwert 

Die Wechselspannung des Versorgungsnetzes wird mit 220 Volt angegeben 

( Effektivwert ) 

Gesucht wird der Spitzenwert u max 

2) Effektivwert und Spitzenwert 

Für eine Einweg-Gleichrichterschaltung steht ein Netztransformator mit der Angabe 9 V / 

1,5 A zur Verfügung. 

Für welche Spannung müssen die Gleichrichter-Diode und der Sieb-Elko ausgelegt 

werden ? 

3) Wirkwiderstand 

Wie groß sind der Strom und der Wirkwiderstand einer Glühlampe ( 220 V / 60 W ), die 

an 220 V Wechselspannung angeschlossen ist ? 



21



Induktiver Blindwiderstand 

Zur Erinnerung: 

1 Hz [ Hertz ] = 1/s 

1 H [ Henry ] = 1 Vs/A 

Beispiel 1: 

Wie groß ist der induktive Blindwiderstand einer Spule von 2 H bei einer Frequenz von 50 Hz 

Lösung: 

Beispiel 2: 

Welche Induktivität hat eine Spule, deren Blindwiderstand 12,5 Ω bei einer Frequenz von 40 Hz beträgt ? 

Lösung: 

Beispiel 3: 

An welcher Frequenz liegt eine Spule von 12 mH, die einen Blindwiderstand von 132 Ω hat ? 

Lösung: 



22



Kapazitiver Blindwiderstand 

Zur Erinnerung: 

1 Hz [ Hertz ] = 1/s 

1 F [ Farad ] = 1 As/V 

Beispiel 1: 

Wie groß ist der kapazitive Blindwiderstand eines Kondensators von 2 µF bei einer Frequenz von 50 Hz ? 

Lösung ( gerundet ): 

Beispiel 2: 

Welche Kapazität hat ein Kondensator, dessen Blindwiderstand 125 Ω bei einer Frequenz von 40 Hz 

beträgt ? 


Beispiel 3: 

An welcher Frequenz liegt ein Kondensator von 47 nF, der einen Blindwiderstand von 75 Ω hat ? 




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1. Leistung bei Wechselstrom Grundlagen - IEM

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