Mathematik-Klausur Nr. 1 Jahrgangsstufe Q3 (LK) Merke Bei allen ...
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<strong>Mathematik</strong>-<strong>Klausur</strong> <strong>Nr</strong>. 1<br />
<strong>Jahrgangsstufe</strong> <strong>Q3</strong> (<strong>LK</strong>)<br />
<strong>Merke</strong><br />
<strong>Bei</strong> <strong>allen</strong> Aufgaben ist ein rechnerischer Ansatz erforderlich! Konkrete Wahrscheinlichkeiten<br />
können wahlweise als Brüche, Dezimalzahlen oder Prozente angegeben werden!<br />
Aufgabe 1<br />
Auf wie viele unterscheidbare Arten kann man<br />
a) sieben Personen,<br />
b) die Buchstaben des Wortes TANSANIA<br />
anordnen?<br />
Aufgabe 2<br />
Ein Basketballspieler trifft von der Freiwurflinie mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,8. Berechne<br />
jeweils die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis! Beachte dabei, dass sich<br />
die Anzahl der Versuche fast durchgängig verändert!<br />
a) E 1 : bei fünf Versuchen zunächst drei Treffer, dann zwei Fehlschüsse<br />
b) E 2 : zumindest ein Treffer bei sechs Versuchen<br />
c) E 3 : genau 8 Treffer bei zehn Versuchen<br />
d) E 4 : genau k Treffer bei 20 Versuchen [ Term in Abhängigkeit von k; k = 0, 1, …, 20 ]<br />
e) E 5 : bei sieben Versuchen im fünften Wurf der dritte Treffer<br />
f) E 6 : bei 50 Versuchen weniger als 45 Treffer<br />
g) E 7 : bei 50 Versuchen zumindest 37 Treffer<br />
h) E 8 : bei 100 Versuchen zumindest 72 und höchstens 85 Treffer<br />
Aufgabe 3<br />
In einer Urne befinden sich 12 grüne, 4 gelbe und 6 rote Kugeln. Es werden vier Kugeln<br />
in einem Griff aus der Urne gezogen. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<br />
a) P(alle Kugeln sind grün)<br />
b) P(jeweils eine rote und gelbe Kugel sowie zwei grüne Kugeln)<br />
c) P(zumindest eine rote Kugel)<br />
d) P(genau k grüne Kugeln) [ Formel in Abhängigkeit von k; k = 0, 1, …, 4 ]<br />
e) P(alle drei Farben sind vertreten)<br />
Aufgabe 4<br />
<strong>Bei</strong>m Sektempfang ist es üblich, dass ein jeder Gast mit jedem anderen genau einmal<br />
anstößt.<br />
a) Wie oft ist das Klirren der Sektgläser zu hören, wenn 50 Gäste zusammenkommen?<br />
b) Wie viele Gäste kommen zusammen, wenn das Klirren der Sektgläser exakt 17205-<br />
mal zu hören ist? Rechnerischer Lösungsansatz erforderlich!
Aufgabe 5 (Konkrete Ergebnisse auf fünf NKS gerundet angeben!)<br />
Wir betrachten das Lottospiel "5 aus 30".<br />
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Spieler genau 3 Richtige?<br />
b) Gib eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit P(k Richtige) an! Es gelte dabei<br />
k = 0, 1, …, 5.<br />
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich die Zahlen 1 und 30 unter den Gewinnzahlen?<br />
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter den Gewinnzahlen zwei ungerade<br />
und drei gerade Zahlen?<br />
e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich die Zahl 12 unter den Gewinnzahlen und<br />
ist zugleich die kleinste darunter?<br />
f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich die Zahl k unter den Gewinnzahlen und<br />
ist zugleich die größte darunter? Es gilt k = 5, …, 30. Gib einen Term in Abhängigkeit<br />
von k an!<br />
g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt es unter den Gewinnzahlen zumindest zwei benachbarte<br />
(also zumindest ein „Glückszahlzwilling“)?<br />
Aufgabe 6<br />
Berechne den Faktor c in der folgenden Gleichung, die man auch Rekursionsformel für<br />
Binomialkoeffizienten nennt! Dabei soll c eine möglichst einfache Gestalt haben!<br />
⎛ n ⎞ ⎛n⎞<br />
⎜<br />
⎟ = c ⋅<br />
⎜<br />
⎟ , wobei n, k ∈ N und n > k<br />
⎝k<br />
+ 1⎠<br />
⎝k⎠<br />
Aufgabe 7<br />
Wie oft muss man mit zwei idealen Würfeln mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit<br />
von zumindest 99,99% zumindest einmal einen Sechserpasch zu erzielen?<br />
Aufgabe 8<br />
Ein Roboter kenne allein die beiden Bewegungsrichtungen RECHTS und HOCH, er bewege<br />
sich vom Punkt P(0/0) aus – den Gesetzen des Zufalls folgend – von Gitterpunkt zu Gitterpunkt<br />
durch das Koordinatensystem (vgl. Skizze auf der f. Seite).<br />
a) Wie viele unterscheidbare Wege kann der Roboter von P(0/0) nach Q(x/y) wählen?<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Roboter nach 14 Schritten rein zufällig<br />
von P(0/0) nach Q(7/7) gelaufen ist?<br />
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Roboter nach 14 Schritten rein zufällig<br />
von P(0/0) über R(4/4) nach Q(8/6) gelaufen ist?
Skizze<br />
Lösungshinweis<br />
Einer der möglichen Wege ist in der Skizze eingezeichnet.<br />
Überlege Dir eine mögliche Notation für<br />
einen solchen Weg und leite daraus die Anzahl der<br />
möglichen Wege ab!<br />
Aufgabe 9<br />
Für eine Zufallsvariable X wird die sogenannte Varianz wie folgt definiert:<br />
n<br />
2 2 2<br />
1 1 n n ∑ i i<br />
i = 1<br />
( ) L ( ) ( )<br />
V(X) = x − µ ⋅ P(X = x ) + + x − µ ⋅ P(X = x ) = x − µ ⋅ P(X = x )<br />
Dabei bezeichnet µ den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X.<br />
a) Die beiden folgenden Skizzen zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zweier Zufallsvariablen<br />
X und Y. Berechne E(X), E(Y), V(X) und V(Y)!<br />
b) Vergleiche die beiden Zufallsvariablen in aller Kürze vor dem Hintergrund der beiden<br />
Größen „Erwartungswert“ und „Varianz“!<br />
c) Welche Informationen bezüglich der Verteilung einer Zufallsvariablen X sind der oben<br />
definierten Größe V(X) zu entnehmen? Gehe in Deiner Darstellung insbesondere auch<br />
auf die Bedeutung des Quadrats in der Formel ein!<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y