Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg
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Ist die Abbildung so gewählt, daß die<br />
Differenz c des Bildes b = (x) und des<br />
Urbildes x orthogonal zu allen Elementen<br />
U ist, so spricht man von einer Projektion<br />
auf U. Es gilt dann x = b c. Diese Zerlegung<br />
von x ist eindeutig. Man sagt, diese<br />
beiden Unterräume sind Orthogonalkomplemente<br />
voneinander.<br />
Ein für die Testtheorie wichtiger Satz<br />
konstatiert die folgenden Gleichheiten:<br />
a, b ab | a | | b | cos<br />
(1.1)<br />
1<br />
n<br />
i<br />
i<br />
m it 0 .<br />
Daraus folgt ,daß das Skalarprodukt < a,b><br />
dividiert durch |a| uns |b| gleich dem cos <br />
ist, also zwischen -1 und +1 liegt. Auf<br />
Grund dieser Ungleichung kann man den<br />
Korrelationskoeffizienten geometrisch<br />
durch den Kosinus des von den Testvektoren<br />
eingeschlossenen Winkels repräsentieren.<br />
Auf diese Weise werden Tests als<br />
Vektoren der Länge ihrer Standardabweichungen<br />
in einer Richtung repräsentiert,<br />
die durch ihre Korrelation mit Bezugstests<br />
gegeben ist.<br />
Summen von Zufallsgrößen<br />
Werden die Zufallsgrößen X,Y : Ω → <br />
als stets auf die Komponenten ω Ω, z. B.<br />
Rohwertklassen, bezogen zusammengezählt,<br />
so ist die Operation additiv:<br />
(X Y)(ω) : = X(ω) +Y(ω) für jedes ω.<br />
Beispiel: Sei X die Auswertung der einer<br />
Aufgabensammlung der weiblichen Vpn.,<br />
Y die entsprechende Auswertung der ännlichen,<br />
so ist die Summe eine Zufallgröße,<br />
über alle Personen. Sie besitzt Erwartungswert<br />
und Varianz.<br />
Produkte von X und Y<br />
Der Begriff des (auf jede Ausprägung ω<br />
der Zufallsgrößen X und Y bezogenen)<br />
Produktes von Zufallsgrößen ist definiert.als<br />
(X Y)(ω) := X(ω)Y(ω) für jedes ω.<br />
Beispiel: Die Berechnung der Produktes<br />
der Ergebnisse X und Y aus dem vorangegangenen<br />
Beispiel. Auch hier ist der Bezug<br />
wieder auf die Ausprägungen ω der Zufallsgrößen.<br />
Produktbildung geht ein in die<br />
Berechnung der Kovarianz<br />
cov(X,Y) = (XY) - (X) (Y).<br />
Zimmermann (1975)hat gezeigt, daß die<br />
Repräsentation der Addition und Multiplikation<br />
von Testergebnissen als reellwertige<br />
Zufallsgrößen X über einem gemeinsamen<br />
Wahrscheinlichkeitsraum < Ω, , > die<br />
Grundbegriffe der klassischen Testtheorie<br />
als die Eigenschaften einer geometrischen<br />
extensiven Struktur repräsentierbar macht.<br />
Sie gestattet eine besonders transparente<br />
Darstellung der Theorie.<br />
Ein (reeller) Hilbert-Raum<br />
ist definiert als vollständiger linearer Vektorraum<br />
über , in dem ein skalares Vektorprodukt<br />
(X,Y) = Σ XY gegeben ist, bei<br />
dem stets gilt (X,X) ≥ 0, und aus (X,X) = 0<br />
folgt X = 0. Ein Beispiel ist der gewöhnliche<br />
uns umgebende dreidimensionale<br />
Raum. Bei den Anwendungen aus der<br />
Testtheorie ist die Anzahl der Dimensionen,<br />
über die bei der Skalarproduktbildung<br />
zu summieren ist, meist gleich der Anzahl<br />
der vorkommenden Testwerte. Ein dreidimensionales<br />
Beispiel ist ein Test, dessen