Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg

definiert ist, für die weiterhin eine assoziative
Verknüpfung . , die skalare Multiplikation
mit Zahlen definiert ist, heißt
Raum, seine Elemente Vektoren.
Zweck der formalen Testtheorie
Ziel einer formalisierten Testtheorie ist es, beweisbare
Aussagen über die Reproduzierbarkeit (Reliabilität)
und die diagnostische Bedeutung (Validität)
der Befunde (Testergebnisse) zu tätigen. Das
bezieht sich z. B. auf die Abhängigkeit dieser Gegebenheiten
von der Länge des Tests oder auf deren
Zusammenhang untereinander.
Traditionelle Theorie
Bis in die siebziger Jahre galt es als erforderlich,
detaillierte Annahmen über die
Ursache der Unschärfe der Befunde und
ihren stochastischen Zusammenhang mit
anderen Größen, z. B. dem reproduzierten
Befund aufzustellen (Gulliksen, 1950).
Nach heutiger Sicht ist die bei geeigneter
Wahl eines theoretischen Ansatzes überflüssig
(Zimmermann, 1975).
Ist außerdem ein Skalarprodukt für alle
Paare a, b das Skalarprodukt als < a, b > =
a1b1 + a2b2 + ... + anbn definiert, so läßt sich
eine Norm durch |x| = < x, x > ^(1/2) einführen.
Gilt für diese Norm, daß sie nichtnegativ
ist, den Wert Null nur für x = 0
annimmt, Homogenität bei der Multiplikation
mit Zahlen und die Dreiecksungleichung
gelten, so spricht man von einem
euklidischen Raum.
Ein Beispiel für einen dreidimensionalen
( n = 3 ) euklidischen Raum ist der physikalische
Raum (im Kleinen) um uns. Er
besitzt die wichtige Eigenschaft der Zerlegbarkeit
in orthogonale Unterräume.
Zwei Unterräume sind orthogonal zueinander,
wenn das Skalarprodukt je eines
Vektors aus einem mit einem Vektor aus
dem anderen Unterraum verschwindet.
Geometrisch läßt sich Orthogonalität von
Vektoren als Rechtwinkligkeit repräsentieren.
Durch einen geeigneten Operator : V
V läßt sich ein Vektor des Raumes auf einen
Unterraum abbilden, beispielsweise
ein Punkt x des dreidimensionalen Raumes
V in eine Ebene U des gleichen Raumes V.
Der Raum der Befunde
Zimmermann (1975) hat ein einfaches
räumliches Modell aufgestellt, aus dessen
einziger Grundannahme die sogenannten
Axiome der traditionellen Theorie rein
logisch ableitbar sind. Er machte sich dabei
zunutze, daß geläufige statistische Parameter,
wie die Kovarianz, anschauliche geometrische
Repräsentationen besitzen.
Der Begriff des Raumes
Eine Menge von Elemente a, b,... , für die
eine kommutative ,assoziative und umkehrbare
Verknüpfung , die Summe,