Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg
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definiert ist, für die weiterhin eine assoziative<br />
Verknüpfung . , die skalare Multiplikation<br />
mit Zahlen definiert ist, heißt<br />
Raum, seine Elemente Vektoren.<br />
Zweck der formalen Testtheorie<br />
Ziel einer formalisierten Testtheorie ist es, beweisbare<br />
Aussagen über die Reproduzierbarkeit (Reliabilität)<br />
und die diagnostische Bedeutung (Validität)<br />
der Befunde (Testergebnisse) zu tätigen. Das<br />
bezieht sich z. B. auf die Abhängigkeit dieser Gegebenheiten<br />
von der Länge des Tests oder auf deren<br />
Zusammenhang untereinander.<br />
Traditionelle Theorie<br />
Bis in die siebziger Jahre galt es als erforderlich,<br />
detaillierte Annahmen über die<br />
Ursache der Unschärfe der Befunde und<br />
ihren stochastischen Zusammenhang mit<br />
anderen Größen, z. B. dem reproduzierten<br />
Befund aufzustellen (Gulliksen, 1950).<br />
Nach heutiger Sicht ist die bei geeigneter<br />
Wahl eines theoretischen Ansatzes überflüssig<br />
(Zimmermann, 1975).<br />
Ist außerdem ein Skalarprodukt für alle<br />
Paare a, b das Skalarprodukt als < a, b > =<br />
a1b1 + a2b2 + ... + anbn definiert, so läßt sich<br />
eine Norm durch |x| = < x, x > ^(1/2) einführen.<br />
Gilt für diese Norm, daß sie nichtnegativ<br />
ist, den Wert Null nur für x = 0<br />
annimmt, Homogenität bei der Multiplikation<br />
mit Zahlen und die Dreiecksungleichung<br />
gelten, so spricht man von einem<br />
euklidischen Raum.<br />
Ein Beispiel für einen dreidimensionalen<br />
( n = 3 ) euklidischen Raum ist der physikalische<br />
Raum (im Kleinen) um uns. Er<br />
besitzt die wichtige Eigenschaft der Zerlegbarkeit<br />
in orthogonale Unterräume.<br />
Zwei Unterräume sind orthogonal zueinander,<br />
wenn das Skalarprodukt je eines<br />
Vektors aus einem mit einem Vektor aus<br />
dem anderen Unterraum verschwindet.<br />
Geometrisch läßt sich Orthogonalität von<br />
Vektoren als Rechtwinkligkeit repräsentieren.<br />
Durch einen geeigneten Operator : V <br />
V läßt sich ein Vektor des Raumes auf einen<br />
Unterraum abbilden, beispielsweise<br />
ein Punkt x des dreidimensionalen Raumes<br />
V in eine Ebene U des gleichen Raumes V.<br />
Der Raum der Befunde<br />
Zimmermann (1975) hat ein einfaches<br />
räumliches Modell aufgestellt, aus dessen<br />
einziger Grundannahme die sogenannten<br />
Axiome der traditionellen Theorie rein<br />
logisch ableitbar sind. Er machte sich dabei<br />
zunutze, daß geläufige statistische Parameter,<br />
wie die Kovarianz, anschauliche geometrische<br />
Repräsentationen besitzen.<br />
Der Begriff des Raumes<br />
Eine Menge von Elemente a, b,... , für die<br />
eine kommutative ,assoziative und umkehrbare<br />
Verknüpfung , die Summe,