Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg
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f( x )<br />
1<br />
2<br />
2 e<br />
x 2<br />
Es ergibt sich für die Testergebnisse die bekannte<br />
glockenförmige Verteilungsdichte:<br />
2<br />
Nun kann man die gemeinsame (zweidimensionale)<br />
Verteilungsdichte zeichen. Graph der gemeinsamen<br />
Dichte für rho = 0,8 :<br />
Isodensiten<br />
Normalverteilte Testergebnisse (Erwartungswert<br />
null, Varianz eins).<br />
Bedingte Verteilungsdichte<br />
Manchmal verzichtet man auf eine perspektivisch<br />
dreidimensionale Darstellung und gibt den Sachverhalt<br />
durch Ellipsen in der x-y Ebene wieder.<br />
Diese „Isodensiten“ hängen mit der zweidimensionalen<br />
Verteilungsdichte so zusammen, wie die<br />
folgende Abbildung zeigt.<br />
Will man den Grad der Reproduzierbarkeit graphisch<br />
darstellen, so bezieht man sich auf eine<br />
zweidimensionale Verteilungsdichte von, beispielsweise<br />
Testdurchführung und einer Testwiederholung<br />
nach zwei Wochen. Um diese zweidimensionale<br />
Dichte zeichen zu können, bedarf es<br />
einer Annahme über die bedingten Verteilungsdichten.<br />
Das sind die Ergebnisse der Wiederholungsuntersuchung,<br />
abgetragen für ein festes Ergebnis in<br />
der ersten Testdurchführung. Hier wird angenommen,<br />
eine brauchbare Wiederholbarkeit liege vor,<br />
dea erste Testergebnis bestimme denMittelwert der<br />
bedingten Verteilungen linear. Man spricht von<br />
einer lineare Regression, E(Y|x) = ρ x. Die bedingte<br />
Varianz sei 1 – ρ².<br />
fb ( y,<br />
x )<br />
Gemeinsame Verteilungsdichte<br />
Multipliziert man die bedingte Dichte fb(x,y) [ sie<br />
wird sonst durch f (y | x) abgekürzt] mit der unbedingte<br />
Dichte f (x), so erhält man die gemeinsame<br />
Dichte f (x,y):<br />
f ( x,<br />
y )<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
e<br />
2 e<br />
( y x )<br />
2<br />
2<br />
2 ( 1 )<br />
1<br />
x 2 2 x y y 2<br />
2<br />
2 ( 1 )<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Zweidimensionales Streuungsdiagramm<br />
Schließlich ist auch eine graphische Darstellung<br />
von zweidimensionalen Stichproben üblich. Jede<br />
Versuchsperson ist durch zwei Werte charakterisiert,<br />
ihren Wert in der ersten Untersuchung und<br />
ihren Wiederholungswert. Benutzt man diese beiden<br />
Werte als x- und y-Wert in einem Koordinatensystem,<br />
so entsteht ein Streuungsdiagramm: