Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg

das bedeutet var(X) = var (Mx) + Var ( X –
Mx).
MMx = Mx und ( 1 – M)x-Mx = X –M
gelten, weil Projektionsoperatoren die Eigenschaft
der Idempotenz besitzen.
Mx-Mx = 0 und ( 1 –M)Mx =0 weil beide
Male das orthogonale Komplement eines
Unterraumes auf den Nullvektor projiziert
wird.
True-score und Fehler unkorreliert
Daß cov (Mx Y – My) = 0, oder daß der
wahre Wert eines Tests mit dem Fehlerwert
eines anderen Tests unkorreliert ist,
gilt, weil jeder Vektor in L2() orthogonal
zu jedem Vektor im othogonalen Komplement
von L2() ist.
Die Gleichheit cov(X, Mx) = var(Mx) entspricht
< X - X, Mx-x> = || X – Mx||² , und
cov((X, X-Mx) = var (X-Mx) wegen < X -
X, X –Mx> = || X – Mx ||². Das sind Eigenschaften
aller orthogonaler Projektionen.
Traditionelle Darstellung der gleichen
Sachverhalte
Die Überslegenheit des zeitgenössischen
Zugangs wird besonders deutlich, wenn
man diese Ergebnisse in traditioneller Weise
ableitet, wie es z. B. Gulliksen (1950)
tut:
Paralleltest-Korrelation
Zu diesem Zweck werden Paralleltests so definiert,
daß ihre Interkorrelation gleich der Reliabilität
wird: (Mindestens) drei Tests sind parallel, wenn
Sie gleiche Erwartungswerte , gleiche Varianzen
und gleiche Interkorrelationen aufweisen und die
True-Scores der Personen gleich sind.
Paralleltestkorrelation gleich Reliabilität
ρ xx´= T²/ X²
cov( X , X ´) cov( X , X ´)
XX ´ 2
X X ´
X
cov( X , X ´) E ( X * X ´) E ( X ) E ( X ´),
E ( X * X ´) E (( T e) * ( T ´ e´))
E ( TT ´ Te´ eT ´ ee´) E ( TT ´) E ( Te´)
E ( eT ´) E ( ee´). E ( X ) E ( X ´)
E ( T e) * E ( T e´) E ( T ) E ( T )
E ( T ) E ( e) E ( e´) E ( T ) E ( ee´).
cov( X , X ´ ) ²( T )
Varianzverdoppelung i. a. nicht additiv
2
x y
E (( X Y )²) ( E ( X Y ))²
E ( X ² 2 XY Y ²)
( E ( X )² 2 E ( X ) E ( Y ) E ( Y )²)
E ( X ²) 2 E ( XY ) E ( Y ²)
E ( X )² 2 E ( x) E ( Y ) E ( Y )²
2 2 2 2
2 cov( X , Y ) 2
x y x y x y xy
Reliabilität bei doppelter Testlänge
Varianzen bei doppelter Länge
´ ´
x y , x y
x y ´ ´
x y
´ ´
cov( X Y , X Y )
´ ´
1, 2 , 1 2
cov(2T e e 2 T e e )
2
x y
cov(2 T, 2 T )
2 2
x y
x y xy
2 cov( , ) (1 )
Zu beachten ist, daß sich bei doppelter Länge die
True-Varianz vervierfacht, während sich die Fehler-
Varianz nur verdoppelt. Dieser quadratische Anstieg
gegenüber einem linearen bringt den Gewinn
an Reliabilität und gilt auch bei allgemeiner Testverlängerung
um das n-fache.
Reliabilität bei n-facher Testlänge
n n n
X Y , e e , T T
i i i
i 1 i 1 i 1
n n n
2
x
2
Yi YiYj
i 1 i 1 j 1
,
j
2
i
xy
n n n
2
Yi TiTj Ti Tj
i 1 i 1 j 1
,
j
i