Psychologische Diagnostik - Universität Regensburg
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Mx-Mx = (X – Mx) = 0, wegen Mx<br />
= X.<br />
True-score und Fehler unkorreliert<br />
Weiterhin gilt<br />
[(X – Mx)Y] = (XY)-(MxY) =<br />
(XY) - (XMy) = [X(Y-My)], und<br />
[(X-Mx)(y – My)] = (XY) - (MxMy)<br />
= (XY)- (MxY). Weil (X – Mx) = (Y<br />
– My) = 0,<br />
ist hierdurch bewiesen, daß cov(X –<br />
Mx),Y) =cov(X,Y – My)=cov(X – Mx,Y –<br />
My),<br />
speziell:<br />
cov(X – Mx,X) = cov(X-Mx,Y – My) =<br />
var(X – Mx).<br />
Außerdem: cov(X – Mx,My) = cov(X,My<br />
– MMy) = cov(X,0) = 0. Also:<br />
Cov(X-Mx,Mx) = 0.<br />
Geometrische Repräsentation<br />
und m Testwiederholungen, ist L2() ein<br />
n-dimensionaler Euklidischer Raum und<br />
L2() ein m-dimensionaler Unterraum.<br />
Das Skalarprodukt zweier auf den Erwartungswert<br />
bezogenen Zufallsgrößen ist ihre<br />
Kovarianz<br />
< (X - X, Y - Y > = cov(X,Y).<br />
Standardabweichung entspricht der<br />
Vektorlänge<br />
Die Norm einer auf ihren Erwartungswert<br />
bezogene Zufallsgröße ist ihre Standardabweichung.<br />
|| X - X || = X .<br />
Für eine Zufallgröße X L2() ist die<br />
bedingte Erwartung Mx durch die Projektion<br />
von X auf L2() gegeben.<br />
Fehlerverteilung als othogonale<br />
Projektion<br />
Das Komplement der bedingten Erwartung<br />
X – Mx ist die Projektion von X auf<br />
das orthogonale Komplement von L2().<br />
Sei < Ω, , > ein Wahrscheinlichkeitsraum<br />
und eine -Algebra, die<br />
durch den zufälligen Punkt f : Ω induziert<br />
ist. Sämtliche Zufallgrößen mit endlicher<br />
Varianz, die auf < Ω, , > definiert<br />
sind, bilden den Hilbert-Raum L2().<br />
Er besitzt das Skalarprodukt < X1, X2 > =<br />
(X1X2) und die Norm ||X|| = X² .<br />
L2() bildet einen abgeschlossenen Unterraum<br />
von L2().<br />
Bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen,<br />
wenn Ω n Elemente und m<br />
Elemente enthält, also z. B. bei N Tests<br />
Der Operator M, der jedem X seine bedingte<br />
Erwartung Mx zuordnet, und der<br />
Operator 1 – M , der jedem X das Komplement<br />
der bedingten Erwartung X - M<br />
zuordnet, sind orthogonale Projektionen.<br />
X² = T² + E² als Satz des Pythagoras<br />
Jede Zufallsgröße X L2() ist die eindeutige<br />
Summe einer Zufallgröße Mx im<br />
Unterraum L2() und einer Zufallsgröße X<br />
– Mx im orthogonalen Komplement von<br />
L2(). Es gilt<br />
||X||² = || Mx ||² + || X – Mx ||² ,