Psychologische Diagnostik, Klassifikation - Universität Regensburg
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<strong>Psychologische</strong> <strong>Diagnostik</strong>, <strong>Klassifikation</strong><br />
Wintersemester 2010/20011<br />
Prof. Dr. Jan Drösler,<br />
Universität <strong>Regensburg</strong><br />
Übersicht<br />
1. Entscheidung bei Unsicherheit<br />
2. <strong>Klassifikation</strong> bei bekannten Wahrscheinlichkeitsdichten<br />
(a) Quadratische Separierung<br />
(b) Lineare Separierung<br />
(c) Abstandsklassifikation<br />
Beispiel<br />
Mittels eines Intelligenztests sollen hochbegabte<br />
Schüler klassifiziert werden. (rechte<br />
Verteilungsdichte der Ergebnisse).<br />
Jeder Schnitt bei irgendeinem c erzeugt<br />
vier Gruppen: true negative, true positive,<br />
false negative und false positive. Zu untersuchen<br />
ist eine in bestimmter Hinsicht optimale<br />
Entscheidung.<br />
.<br />
Aufgabenstellung<br />
Optimale <strong>Klassifikation</strong> setzt Validierung<br />
sämtlicher eingesetzter Verfahren voraus.<br />
.<br />
Die eingesetzten Begriffe entstammen der<br />
statistischen Entscheidungstheorie. Die<br />
verwendeten Abkürzungen variieren von<br />
Autor zu Autor. Schürmann (1977) benutzt<br />
anstelle der sonst in der entscheidungstheoretisch<br />
begründeten <strong>Diagnostik</strong> verwendete<br />
Bezeichnungen für die Naturzustände, die<br />
Entscheidungen, die Konsequenzen, die<br />
Befunde, die Optimalitätskriterien und die<br />
Entscheidungsregeln<br />
< W, A, S, X, K, D >,<br />
mit a = d(x) die Abkürzungen<br />
< W, W^, C, V, O, D >,<br />
mit W^ = d( v).<br />
Signaldetektion<br />
Die Erkennung schwacher Reize in einem<br />
gestörten Umfeld wird sonst gern als Beispiel<br />
psychologischer Experimentierkunst<br />
vorgeführt. Ist es den Experimentatoren<br />
ddort doch gelungen, den Einfluß von<br />
Reaktionsneigungen zu neutralisieren und<br />
dadurch besser die Sinnesleistungen zu<br />
studieren. Hier wird die Signalentdeckung<br />
kurz wegen des den Versuchspersonen<br />
unterstellten Entscheidungsprinzips kurz<br />
besprochen. Es ist der statistischen Entscheidungstheorie<br />
entlehnt und soll in der<br />
geschilderten Lage bei jedem von und<br />
wirksam sein.<br />
Der Wahrnehmungspsychologe studiert<br />
hier eigentlich eine Umkehrung des <strong>Klassifikation</strong>sproblems:<br />
Die Mittelwertsdifferenz<br />
α soll bestimmt werden.<br />
Neu war an diesem Ansatz, daß die Reaktion<br />
der Versuchsperson als Entscheidung<br />
aufgefasst wurde, deren Richtigkeit bzw.<br />
Falschheit mit unterschiedlichen Konsequenzen<br />
belegt wurde. Im Laborjargon<br />
spricht man zunächst von outcomes:
„Outcomes“<br />
ROC- Kurve<br />
Yes<br />
No<br />
Signal hit miss<br />
Noise false alarm correct<br />
rejection<br />
Diese sind mit monetären Konsequenzen<br />
verbunden, die man pay-off nennt.<br />
Pay-off<br />
Yes<br />
Signal C C<br />
SY<br />
N oise C C<br />
N Y<br />
No<br />
Nach der Theorie bestimmen die pay-offs<br />
zusammen mit den Auftretenswahrscheinlichkeiten<br />
von Signal und Noise das cut-off<br />
Kriterium, das die Versuchsperson gerade<br />
einsetzt. Von Interesse für den Wahrnehmungspsychologen<br />
ist nur die Mittelwertsdifferenz<br />
der beiden Verteilungen von<br />
Sinnesempfindungen, der ohne Signal<br />
(nois) und der anderen. Diese Mittelwertsdifferenz<br />
lässt sich aus den hit-Raten und<br />
den false alarm-Raten für jedes durch eine<br />
spezielle pay-off Matrix bestimmte Teilexperiment<br />
ermitteln.<br />
SN<br />
N N<br />
Sie enthält für alle Teilexperimente die hit-<br />
Raten gegen die false-alarm-Rate abgetrage.<br />
Der Grad ihrer Krümung ist ein Maß<br />
für die Mittelwersdifferenz der beiden Verteilungen<br />
von Sinnesempfindungen.<br />
Optimalität<br />
Die eigentliche Theorie der Signalentdeckung<br />
besteht darin, dem Organismus ein<br />
Optimierungsprinzip zu unterstellen. Es ist<br />
die Minimierung des Risikos: Die Versuchsperson<br />
wählt Alternative Yes bzw.<br />
No, deren Kostenerwartung am geringsten<br />
ist.<br />
Seien P( x | S ) bzw P( x | N ) die Flächen<br />
unter den Verteilungsdichten, die rechts<br />
von x liegen, dann soll gelten, die Versuchsperson<br />
reagiert entsprechend der folgenden<br />
Ungleichung::<br />
C (1 P ( x | N )) C (1 P ( x | S ))<br />
N N<br />
C P ( x | S ) C P ( x | N )<br />
SY<br />
N Y<br />
SN<br />
Sie verkörpert das Entscheidungsprinzip<br />
der Erwartungswertmaximierung, da in ihr<br />
Erwartungswerte (Risiken) verglichen<br />
werden.<br />
Das Scharlatanieproblem<br />
Scharlatane, die in Medizin oder Psychologie<br />
ihr Unwesen treiben werden oft erst<br />
überraschend spät enttarnt. Das kann daran<br />
liegen, daß sie sich bei diagnostischen<br />
Äußerungen intuitiv nach den a priori
Wahrscheinlichkeiten der Fallgruppen<br />
richten. Dieser Effekt läßt sich auch professionell,<br />
also unter Berücksichtigung von<br />
Symptomen ausnutzen, wie noch gezeigt<br />
werden wird..<br />
Neyman-Pearson-Statistik<br />
Die uns von der Hypothesenprüfung her<br />
geläufige Neyman-Pearson-Statistik gewichtet<br />
die Wahrscheinlichkeiten nicht. Sie<br />
berücksichtigt nur „Fälle“. Eine Gewichtung<br />
wirkt sich aus als ob bestimmte Fälle<br />
häufiger (bzw. seltener) auftreten als andere.<br />
Dieser Umstand erklärt die o. g. Tatsache,<br />
daß sowohl in der Psychologie wie<br />
auch in der Medizin diagnostische Scharlatane<br />
oft erstaunlich lange nicht als solche<br />
auffallen, sofern sie die tatsächlichen Häufigkeiten<br />
der Fallgruppen auch nur intuitiv<br />
berücksichtigen.<br />
Ein dreidimensionales Beispiel stammt von<br />
Rulon et al.(1973). Es handelt sich um<br />
Bewerber bei einer Fluggesellschaft die<br />
als Mechaniker (grün) bzw. als Schalterpersonal<br />
(rot) klassifiziert werden sollen,<br />
nachdem für jeden drei Testwerte erhoben<br />
worden sind.<br />
Ein zweidimensionales Beispiel bietet Eysencks<br />
Maudsley Personality Inventory<br />
(MPI) ,Eysenck, 1959, das den Versuchspersonen<br />
Werte in „Extraversion“ und<br />
„Neurotizismus“ zuweist. Die Graphik<br />
zeigt die Ergebnisse von zwei Fallgruppen,<br />
die mit Hilfe von <strong>Klassifikation</strong>sverfahren<br />
möglichst optimal zu trennen sind.<br />
Diese Trennung der Fallgruppen wird<br />
durch Konstruktion einer Trennlinie in der<br />
Ebene, im folgenden Diagramm als Ebene<br />
eingezeichnet, bewerkstelligt.<br />
Für ein Durchdenken des diagnostischen<br />
Vorgangs kann es von Vorteil sein, sich<br />
daran zu erinnern, daß dabei Information<br />
übertragen wird. Sofern diese Überlegungen<br />
nicht im oberflächlichen schematischen<br />
Darstellungen stecken geblieben<br />
sind, haben sie zu praktikablen <strong>Klassifikation</strong>sverfahren<br />
geführt (vgl. etwa Schürmann,<br />
1977),
Um hier exakte Schlüsse zu ziehen , muß<br />
zunächst das Verteilungsgesetz der Symptome,<br />
bezogen auf die Fallgruppen untersucht<br />
werden.<br />
Die Fallgruppenzugehörigkeit wird als<br />
zufällige Veränderliche angesetzt. Die<br />
Symptome bilden einen diskreten Merkmalsvektor<br />
v,<br />
Schürmann sieht <strong>Diagnostik</strong> als Dekodierung<br />
von Signalen an.<br />
p ( ) p ( , v)<br />
V<br />
p ( v) p ( , v)<br />
Man spricht von einer diskrete vektoriellen<br />
Zufallsvariable und hat damit Anschluß an<br />
das große einschlägige Repertoir der<br />
Wahrscheinlichkeittheorie und Statistik<br />
gefunden.<br />
Die Validierungsuntersuchung erzeugt<br />
Paare (, v).<br />
p(,v) = p(v, )<br />
das Verteilungsgesetz des Untersuchungs-<br />
Prozesses.<br />
Randverteilungen<br />
Der Untersuchungsprozeß ist ebenso zu<br />
entschlüsseln, wie eine technische Signalübertragung<br />
in Anwesenhet von Übertragungsstörungen<br />
Der Fallgruppenzugehörigkeiten bzw. der<br />
Symptome Bedingte Verteilungen<br />
Wahrscheinlichkeit der Fallgruppen bei<br />
gegebenem Symptom v, bzw. Wahrscheinlichkeit<br />
des Symptoms bei gegebener Fallgruppe<br />
ω :<br />
p( | v)<br />
p( v | )<br />
p( , v)<br />
p( v)<br />
p( , v)<br />
p ( )<br />
Beispiel: Taylor & Russel, 1939<br />
Fallgruppen bestehen hier aus Personen,<br />
für die gilt:„bewährt sich“ bzw.„bewährt<br />
sich nicht“. Auch ohne psychologische<br />
Eignungsuntersuchung bewährt sich ein<br />
bestimmter Anteil der Bewerber. Dieser
Anteil wird allein durch die Anforderungen<br />
des Arbeitgebers bestimmt.<br />
Validität ausgedrückt durch bedingte<br />
Wahrscheinlichkeit: Eine psychologische<br />
Eignungsuntersuchung taugt nur dann,<br />
wenn der Anteil der Bewährten unter den<br />
Zugelassenen größer ist als „von Natur<br />
aus“. Die Zusammenhänge lassen sich bei<br />
Betrachtung einer Isodensite der zweidimensionalen<br />
Verteilungsdichte von Testund<br />
Kriteriumswerten erläutern.<br />
f ( x, y )<br />
f ( y | x)<br />
f ( x)<br />
1 y<br />
m it f ( y ) exp( )<br />
2 2<br />
Eingesetzt ergibt sich<br />
1 1<br />
f ( y | x) exp(<br />
2<br />
2<br />
2 1<br />
2 (1 )<br />
2 2 2<br />
[ y x ] ) m it der Streuung<br />
2<br />
y|<br />
x<br />
1<br />
2<br />
xy<br />
Ungewissheitsreduktion und Validität<br />
Die diagnostisch interessanten Wahrscheinlichkeiten<br />
lassen sich in Abhängigkeit<br />
vom Validitätskoeffizienten, der natürlichen<br />
Bewährungsquote und dem Schnitt<br />
beim Test berechnen. Ausgangspunkt ist<br />
die bivariate Standardnormalverteilungsdichte<br />
von Test x und Kriterium y.<br />
Die bivariate Wahrscheinlichkeitsdichte<br />
Der Normalverteilung ist<br />
f ( x, y)<br />
1<br />
2 1<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
exp( [ x 2 x y y ])<br />
2<br />
2 (1 )<br />
Mit ihrer Hilfe lässt sich die bedingte Verteilungsdichte<br />
des Kriteriums bestimmen.<br />
Der Informationsgewinn durch psychologische<br />
Eignungsuntersuchung ist aus dem<br />
Vergleich von bedingter und unbedingter<br />
Verteilungsdichten der Kriteriumswerte<br />
ersichtlich.<br />
Bezeichnet man das Verhältnis der Fehlervarianz<br />
zur true-Varianz im Sinne der<br />
klassischen Testtheorie als verbleibende<br />
Unsicherheit nach der psychologischen<br />
Untersuchung, dann ergibt sich eine quadratische<br />
Abhängigkeit diese Größe vom<br />
Validitätskoeffizienten.<br />
. Die Bewährungsquote<br />
Aus diesen Beziehungen kann bei gegebener<br />
natürlicher Bewährungsquote, dem<br />
Validitätskoeffizienten und dem Schnitt<br />
beim Test die Bewährungsquote berechnet<br />
werden. (z. B. mittels Maple Skript „Taylor-Russel“).
Taylor- Russel Nomogramm<br />
Das Risiko der diagnostischen Entscheidung<br />
e<br />
Im Nomogramm liest man ab, wie sich bei<br />
gegebner Validität – hier 0.60 – der Anteil<br />
der Bewährten unter den Zugelassenen mit<br />
größer werdender Zulassungsquote verändert.<br />
Läßt man sämtliche Bewerber zu, so<br />
erreicht man den rechten Rand des Nomogramms<br />
und damit die „natürliche“<br />
Bewährungsquote.<br />
Zuordnung der Diagnose K zur Fallgruppe<br />
ω:<br />
Der Erwartungswert E der Kosten C über<br />
die Symptome v und die Diagnosen e und<br />
die Fallgruppen k , mit eo der Rückweisung<br />
„weiß nicht“ :<br />
e<br />
{0,1, 2, ..., " k "}<br />
R E ( C ) C p ( C )<br />
R C ( k , e( v)) p ( v, k )<br />
v<br />
k<br />
p ( v, k ) p ( k | v) p ( v)<br />
Einsetzen zeigt, daß das Gesamtrisiko der<br />
Entscheidung der Erwartungswert der Einzelrisiken<br />
über die Symptome ist:<br />
R C ( k , e( v)) p ( k | v) p( v)<br />
v<br />
v k<br />
R<br />
( e, v) p( v)<br />
Bedingtes Risiko<br />
v<br />
Für die Berechnungen ist eine zweite Art<br />
der Zuordnung vorteilhafter, die den einzelnen<br />
Befunden eigene Dimensionen zuschreibt:<br />
R C ( k , e( v)) p ( k | v)<br />
v ( e , v )<br />
k<br />
0 C ( k , e)<br />
Gesucht ist das Minimum von R im Hinblick<br />
auf die Entscheidungsregel e(v).<br />
Minimum einer Summe<br />
Das bedingte Risiko wird betrachtet, da<br />
eine Summe dann minimal wird, wenn<br />
sämtliche Summanden minimal sind.
Optimale Entscheidungsfunktion<br />
Erwartungswertminimierung als Optimalitätskriterium<br />
bedeutet: Berechne für alle<br />
k+1 möglichen Entscheidungen e<br />
K<br />
R ( e) C ( k , e) p( k | v)<br />
k<br />
1<br />
und suche unter allen R(e) den kleinsten<br />
Wert.<br />
Test: gut mittel schlecht<br />
1.16 1.04 0.88<br />
R( e) 0.20 0.80 1.60<br />
3.78 2.52 0.84<br />
Die Berechnung im einzelnen<br />
Seien<br />
Gang der Berechnung<br />
A = [a1, a2, ...,ak]<br />
B = [b1,b2,...,bk]<br />
und<br />
Benötigt wird dazu die Kostenmatrix der<br />
diagnostischen Aufgabe (Zeilen: Diagnosen,<br />
Spalten: Fallgruppemzugehörigkeit, z.<br />
B.:<br />
P (k | v)<br />
Außerdem eine Berechnung der bedingten<br />
Wahrscheinlichkeiten der Fallgruppe, gegeben<br />
das Symptom aus den beobachteten<br />
„anderen“ bedingten Wahrscheinlichkeiten<br />
des Symptoms (Zeile), gegeben die Fallgruppe<br />
(Spalte), z. B.:<br />
Die Risikomatrix<br />
2 2<br />
C ( e, k ) 0 5<br />
7 0<br />
0.36 0.04<br />
P ( k | v) 0.18 0.12<br />
0.06 0.24<br />
Befund (Spalten) und Diagnosen (Zeilen:<br />
„weiß nicht“, „geeignet“, „nicht geeignet“)<br />
bestimmen die Risiken. Für einen gegebenen<br />
Befund wird die Diagnose mit dem<br />
geringsten Kostenrisiko verwendet.<br />
Vektoren gleicher Länge k, Dann ist<br />
T<br />
A B B A a b a b a b ... a b<br />
das Skalarprodukt derVektoren, nämlich<br />
die Summe der Elemente des einen Vektors,<br />
vor der Summierung gewichtet mit<br />
den entsprechenden Elementen des anderen<br />
Vektors.<br />
Beispiel Korrelationskoeffizient<br />
Der Schätzer r für den Produkt-Moment<br />
Korrelatonskoeffizienten r ist eine Funktion<br />
von fünf Skalarprodukten. Dabei ist 1<br />
= [1,1,...,1] eine Liste der Länge k von<br />
Einsen und X bzw. Y die k Meßwerte.<br />
r<br />
xy<br />
Optimierung<br />
T<br />
k<br />
i 1<br />
i i 1 1 2 2<br />
k k<br />
T T T<br />
k X Y X 1 Y 1<br />
T T 2 T T 2<br />
( k X X ( X 1) )( k Y Y ( Y 1) )<br />
Optimierung erfordert eine mit den Rückschlußwahrscheinlichkeiten<br />
p (k | v) gewichtete<br />
Summation über die Spalten der<br />
Kostenmatrix C.<br />
p ( v) [ p (1 | v), p (2 | v),..., p ( k | v)]<br />
R [ R (0), R (1),..., R ( k )]<br />
T<br />
R C p ( v)<br />
T<br />
T<br />
R ist der Risikovektor.
Optimales Diagnosesystem<br />
.<br />
Einfache symmetrische Kostenmatrix<br />
Bei einer größeren Anzahl von zu klassifizierenden<br />
Fallgruppen und damit einer<br />
ebensogroßen Zahl von möglichen Entscheidungen<br />
führt der Ansatz einer einfachen<br />
Symmetrischen Kostenmatrix zu erheblichen<br />
Vereinfachungen im Ver-fahren.<br />
Das Verteilungsgesetz<br />
Über den merkmalserzeugenden Prozeß<br />
{v,k} ist nicht mehr als Kenntnis der rückschlußwahrscheinlichkeiten<br />
erforderlich,<br />
nicht das vollständige Verteilungsgesetz p<br />
(v,k ). Ist dies jedoch gegeben, können<br />
daraus Rückschlußwahrscheinlich-keiten<br />
abgeleitet werden:<br />
p( v, k)<br />
p ( k | v) , m it<br />
p( v)<br />
K<br />
p ( v) p ( v, k )<br />
k<br />
Minimum und isotone Abbildung<br />
1<br />
Die Minimumsuche wird nicht beeinflußt,<br />
wenn man alle Werte der gleichen isotonen<br />
Transformation unterwirft, etwa mit p(v)<br />
multipliziert. Man betrachtet anstelle des<br />
Risikovektors R den Ausdruck<br />
'<br />
T<br />
R p( v) * C p( v) C p ( v)<br />
Dabei ist p‘(v) ein Vektor, der entsteht,<br />
wenn man die Komponenten von p(v)<br />
sämtlich mit p(v) multipliziert, der Auftretenswahrscheinlichkeit<br />
von v. Während<br />
p(v) die Rückschlußwahrscheinlichkeiten<br />
von v auf k enthält, gibt p´(v) die entsprechenden<br />
Verbundwahrscheinlichkeiten an.<br />
Für die Bestimmung des Risikovektors<br />
spielt der Unterschied keine Rolle.<br />
T<br />
'<br />
C ( k , kˆ) C für kˆ<br />
0,<br />
r<br />
0 für kˆ<br />
0,<br />
C für kˆ<br />
0, kˆ<br />
k .<br />
f<br />
Dabei sind Cr die Kosten für die Rückweisungsentscheidung.<br />
Deshalb ist die<br />
Matrix, genau betrachtet, nicht symmetrisch.<br />
Das Risiko bei gegebener Entscheidung<br />
lässt sich ausdrücken als<br />
R ( e 0)<br />
k<br />
K<br />
1<br />
e 1<br />
C<br />
r<br />
R ( e 0) C p ( k | v) C p ( k | v)<br />
f<br />
k 1 k e 1<br />
Eine Vereinfachung ist möglich:<br />
W egen p ( k | v ) 1 gilt<br />
k<br />
R ( e 0) C und<br />
K<br />
1<br />
r<br />
R ( e 0) C (1 p ( e | v))<br />
f<br />
Die Rückweisungsentscheidung<br />
Praktisch wird zuerst die größte Rückschlußwahrscheinlichkeit<br />
herausgesucht<br />
K<br />
f
und diese dann mit dem Schwellenwert b<br />
verglichen.<br />
1<br />
C<br />
C<br />
Die Kosten für eine Zurückweisung müsen<br />
daher > 0 sein und nicht größer als Cf.<br />
Bayessche Regel<br />
Die Bayessche Regel<br />
p( k | v)<br />
ist nichts anderes als die hier abgeleitete<br />
Entscheidungsregel, nur um den die Entscheidung<br />
nicht beeinflussenden Faktor<br />
1/p(v) erweitert. Dadurch wird deutlich,<br />
daß Risikominimierung als Erwartungsweertminimierung<br />
auf die Anwendung der<br />
Bayesschen Regel hinausläuft.<br />
Entscheidungsregel<br />
r<br />
f<br />
C<br />
Die Entscheidungsregel lautet:<br />
f<br />
C<br />
f<br />
C<br />
p( v | k ) p( k )<br />
p( v)<br />
p ( v | e) p ( e) k { p ( v | k ) p ( k )} und<br />
m ax<br />
p ( v | e) p ( e) p ( v)<br />
r<br />
Umgekehrt proportionale Kostenfunktion<br />
Einheitliche Kostenfestsetzung führt dazu,<br />
daß häufig eintretende Fälle sicherer klassifiziert<br />
werden, als seltene Fälle. Beispiel:<br />
p (1) = 0,01, p (2) = 0,99. Die Entscheidungsregel,<br />
alle Fälle der Klasse 2 zuzuordnen,<br />
garantiert eine Fehlerrate von<br />
nur 1 %. Andererseits sollen, etwa bei Vorsorgeuntersuchungen,<br />
gerade die seltenen<br />
Fälle gefunden werden! Man setzt unter<br />
solchen Umständen die Kosten der Fehlentscheidung<br />
umgekehrt proportional zur<br />
Auftretenswahrscheinlichkeit.<br />
Berechnung des bedingten Risikos<br />
R ( e 0) C p ( k | v)<br />
Dieser Ausdruck läßt sich durch Einfügen<br />
des fehlenden Terms k = e und anschließendem<br />
Wiederabzuges rechnerisch vereinfachen:<br />
Vereinfachung<br />
Die Entscheidung bleibt dieselbe, wenn<br />
man die bedingten Risiken R ausdrückt<br />
durch<br />
Das führt zum Minimumvergleich:<br />
Gebiete<br />
k<br />
K<br />
1<br />
e 1<br />
r<br />
R ( e 0) C ( k ) p ( k | v) C ( k ) p ( k | v)<br />
k<br />
k 1 k e 1<br />
K<br />
R ( e 0) C ( k ) p( k | v) C ( e) p( e | v)<br />
k<br />
D C ( k ) p ( k | v)<br />
R<br />
k<br />
K<br />
1<br />
k<br />
w egen p ( k | v ) 1<br />
k<br />
K<br />
1<br />
1<br />
k<br />
D ( e 0) C ( k ) p ( k | v)<br />
C<br />
k<br />
D ( e 0) C ( e) p ( e | v)<br />
K<br />
1<br />
k<br />
k<br />
Bereits im Eindimensionalen, d. h. bei Berücksichtigung<br />
nur eines einzigen Tests als<br />
Symptom führt die entscheidungsregel zu<br />
einer Zerlegung der Testergebnisse in<br />
„Gebiete“ der Testwerte.<br />
k<br />
K<br />
r<br />
k<br />
C ( k)<br />
k<br />
C<br />
K p ( k )<br />
f<br />
Die Rückweisungskosten bleiben wie<br />
sonst.
Das Gebiet Gk einer Klasse ist dadurch<br />
definiert, daß die Unterscheidungsfunktion<br />
Dk(v) alle anderen Unterscheidungsfunktionen<br />
überragt.<br />
f ( x, y )<br />
Isodensiten<br />
1<br />
2 1<br />
1 ( x )<br />
x<br />
exp{ [<br />
2<br />
2(1 )<br />
x<br />
y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2 ( x )( y )<br />
x<br />
1 2<br />
( y )<br />
y<br />
y<br />
2<br />
]}<br />
y<br />
Der gesamte Merkmalsraum ist auf diese<br />
Weise erfaßt. Es gibt keine natürlichen<br />
Zurückweisungsgebiete.<br />
Merkmalsverteilungen bekannt<br />
Linien gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte<br />
heißen Isodensiten. Sie sind beim Vergleich<br />
mehrerer Dichten zur Einteilung des<br />
Symptombereichs in Gebiete ausschlaggebend.<br />
Im Mehrdimensionalen, also bei der Verwendung<br />
mehrerer Tests als Entscheidungsgrundlage,<br />
gestalten sich die Verhältnisse<br />
besonders übersichtlich, wenn die<br />
Merkmalsverteilungen als bekannt vorausgesetzt<br />
werden. Da viele Test-ergebnisse<br />
stets sich unimodal und symmetrisch verteilen,<br />
werden häufig normalverteilte<br />
Merkmale vorausgesetzt. Wegen der Anschaulichkeit<br />
sei die Darstellung hier zunächst<br />
auf zwei zunächst standardnormalverteilte<br />
Merk-male beschränkt,<br />
1 1<br />
2 2<br />
f ( x, y ) exp{ [ x 2 x y y ]}<br />
2<br />
2<br />
2 1<br />
2(1 )<br />
N-dimensionale Normalverteilung<br />
Sind die Streuungen s ≠ 1, verändert sich<br />
der Ausdruck zu<br />
f ( x, y )<br />
1<br />
2 1<br />
x<br />
y<br />
Nehmen schließlich die Erwartungswerte<br />
Ausprägungen µ ≠ 0 an, so schlägt auch<br />
dies sich in dem Ausdruck nieder:<br />
2<br />
2 2<br />
1 x 2 xy y<br />
exp{ [ ]}<br />
2<br />
2(1 )<br />
x<br />
1 2<br />
y<br />
Bei der Verwendung von mehr als zwei<br />
Tests zur diagnostischen Entscheidungsfindung<br />
ist unsere viuelle Anschauung<br />
überfordert. Um dennoch die Übersicht zu<br />
behalten, führt man Matrixschreibweise an.<br />
Die fettgedruckten Buchstaben kennzeichnen<br />
nun ganze Listen von Testergebnissen<br />
mehrere Tests für alle in der<br />
Validierungsstudie untersuchten Personen.<br />
1 (v - μ) K (v - μ )<br />
p ( v ) exp( )<br />
N<br />
(2 ) | K |<br />
2<br />
μ = E (v), K E{( v - μ) (v - μ )}<br />
T<br />
T -1
K ist die Kovarianzmatrix,. Sie ist quadratisch<br />
und symmetrisch<br />
Quadratische Formen<br />
Quadratische Formen kommen in der Formel<br />
der mehrdimensionalen Normalverteilung<br />
vor. Sie sind es, die die Intensität (im<br />
Ein- und Zweidimensionalen die Höhe) der<br />
Dichte bestimmen. Der geometrische Ort<br />
ihrer gleichen Ausprägung kennzeichnet<br />
die Isodensiten, die für die Gebietsaufteilung<br />
benötigt werden.<br />
Q<br />
T<br />
a K a<br />
Q wird nicht negativ, man sagt,<br />
Q ist nicht-negativ definit.<br />
Q definiert den Ort konstanter<br />
Wahrscheinlichkeitsdichte<br />
Matrizenrechnung<br />
Matrizenrechnung behandelt die Arithmetik<br />
ganzer Listen von Untersuchungsdaten<br />
so, als ob es sich um einzelne Zahlen handeln<br />
würde. Die praktischen Implikationen<br />
des Verfahrens versteht besser, wer über<br />
etwas Einsicht in die Struktur von Vektorräumen<br />
verfügt.<br />
Ein Vektorraum V = < , , > liegt vor,<br />
wenn eine für eine Menge von Vektoren <br />
(Listen von reellwertigen Eintragungen)<br />
eine kommutative Addition definiert ist.<br />
Weil die Untersuchungsergebnisse einzelner<br />
Personen als solche Listen angesehne<br />
werden können, die etwa bei der Mittelwertbildung<br />
über die Personen addiert<br />
werden, ist der Begriff des Vektorraumes<br />
in der psychologischen <strong>Diagnostik</strong> leicht<br />
anwendbar.<br />
M : V V<br />
M()<br />
Varianz-Kovarianz-Matrizen<br />
Von besonderem psychodiagnostischen<br />
Interesse sind Varianz-Kovarianz-<br />
Matrizen. Sie enthalten die Information<br />
über den statistischen Zusammenhang von<br />
Listen von Untersuchungsergebnissen, z.<br />
B. von Tests.<br />
Varianz-Kovarianzmatrizen sind Symmetrisch,<br />
weil die Kovarianz von Test A und<br />
Test B die gleiche ist, wie die von Test B<br />
und Test A. Außerdem sind die auf der<br />
Hauptdiagonalen eingetrageenen Varianzen<br />
stets positiv. Dadurch sind diese Matrizen<br />
spezielle Vektorraum-Homomorphismen.<br />
Sie sind diagonalähnlich. Das<br />
bedeutet, ihre Wirkung auf einen Vektor<br />
kann – in einem geeigneten Koordinatensystem<br />
- durch eine Diagonalmatrix beschrieben<br />
werden, Diagonalmatrizen<br />
enthalten nur auf der Hauptdiagonalen von<br />
Null verschiedene Eintragungen. Ihre statistische<br />
Interpretation ist die Varianz-<br />
Kovarianz-Matrix von Untersuchungsergebnissen,<br />
die paarweise nicht korrelieren,<br />
weil sämtliche Kovarianzen verschwinden.<br />
Paarweise unkorrelierte Größen<br />
Für Varianz-Kovarianzmatrizen kann man<br />
wegen ihrer Diagonalähnlichkeit deshalb<br />
ein Bezugssystem finden in dem sämtliche<br />
mittels der Ausgangsvariablen neu definierte<br />
Größen unkorreliert sind. Ein einfaches<br />
Beispiel ist die 2 x 2 Matrix der Korrelation<br />
von Zeit und Fehlern in einem<br />
Geschicklichkeitstest, z. B. Springreiten.<br />
Wirklich zum Tragen kommt diese Theorie,<br />
wen es um Matrizen M geht, das sind<br />
Listen von Listen Sie werden als Vektorraum-Homomorphismen<br />
angesehen, weil<br />
sie auf Vektoren operieren und aus ihnen<br />
neue Vektoren erzeugen:
Merkmale. Wie Zeit und Fehler ausgedrückt<br />
sind, lassen sich nicht in eine mit<br />
irgendeiner arithmetischen Operation verträglichen<br />
Rangreihe bilden. Rangreihen<br />
von Personen sind aber ein Hauptziel der<br />
psychologischen <strong>Diagnostik</strong>. Deshalb ordnet<br />
man nun die neue Variable Zeit + Fehler<br />
und bezeichnet sie als Geschicklichkeit.<br />
Die andere davon unabhängige Variable<br />
Zeit – Fehler vernachlässigt man als irrelevant.<br />
Faktorenanalyse<br />
Abb.: Zeit (Abszisse) und Fehler (Ordinate)<br />
korrelieren negativ. Durch Drehung der<br />
Achsen mit Winkel 45° um das Zentroid<br />
entstehen Linearkombinationen Zeit + Fehler<br />
und Zeit – Fehler als neue, nun stochastisch<br />
unabhängige Bezugsgrößen. Approximiert<br />
man die Informationen nur durch<br />
eine von ihnen (Zeit + Fehler) so lassen<br />
sich die Probanden sinnvoll, nämlich nach<br />
Geschicklichkeit rangordnen.<br />
Eine Beschreibung der in der Varianz-<br />
Kovarianz-Matrix enthaltenen Information<br />
durch eine Diagonalmatrix erhält man graphisch<br />
auf einfache Weise: Man verlegt<br />
den Ursprung des Korrelationsdiagramms<br />
in den Ort der Mittelwerte von Zeit und<br />
Fehlern (das Zentroid). Dann dreht man<br />
das neue Koordinatensystem um 45° gegen<br />
den Uhrzeiger. Nun staucht man in diesen<br />
neuen Koordinaten die Achsenmaßstäbe<br />
auf die Länge Eins (dividiert durch die<br />
Länge der Halbachsen der isodensen Ellipse).<br />
Die Ellipse wird dadurch zum Kreis.<br />
Kreisförmige Isodensiten stehen für das<br />
Fehlen einer Korrelation. In dem neuen<br />
(gedrehten) Koordinatensystem korrelieren<br />
die (neuen) Variablen also nicht. Die Information<br />
die sie vermitteln ist nicht mehr<br />
redundant.<br />
Ermöglichung von Rangordnung<br />
Der Zweck der Umformung besteht darin,<br />
die Untersuchungsergebnisse brauchbarer<br />
zu machen. Leistungen, die durch zwei<br />
Daß die neuen Variablen Linearkombinationen<br />
der alten sind, ist kennzeichnend für<br />
das Verfahren. Es ist Ausdruck des Umstandes,<br />
daß das gesuchte Koordinatensystem<br />
für statistisch unabhängige Größen aus<br />
dem gegebenen allein durch Drehung hervorgeht.<br />
Nur unter dieser Einschränkung<br />
ist das Problem auch rechnerisch als so<br />
genannte Eigenwertlösung zu bewältigen.<br />
In der Psychologie heißt die Annäherung<br />
der Information einer bestimmten Anzahl<br />
von Untersuchungsergebnissen durch eine<br />
geringere Anzahl Faktorenanalyse.<br />
Quadratische Formen<br />
Q<br />
T<br />
a K a<br />
Die Größe Q im Exponenten der multivariaten<br />
Normalverteilung wird nicht negativ,<br />
man sagt, Q ist nicht-negativ definit. Q<br />
definiert den Ort konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte.<br />
Im Zweidimensionalen ist<br />
das eine Ellipse, im Dreidimensionalen<br />
eine Ellipsoid und in –nicht mehr anschaulich<br />
darstellbaren – höheren Dimensionen<br />
ein Hyperellipsoid.<br />
Orientierung der Ellipsen<br />
Die Lösung des Gleichungssystems<br />
[ K - I] b = 0<br />
ergibt die Längen der Halbachsen und<br />
die Matrix der b, der Tansformation auf<br />
diese „Hauptachsen“. Man nennt die
„Eigenwerte“ und die b die „Eigenvektoren“<br />
der Korrelationsmatrix K. I ist eine<br />
DiagonalMatrix mit lauter Einsen auf der<br />
Hauptdiagonalen.<br />
Eigenwertproblem algebraisch<br />
Die Gleichung<br />
[ K - I]<br />
b = 0<br />
hat für b nur dann eine nichttriviale Lösung,<br />
wenn die Matrix in der Klammer<br />
singulär ist, d. h. eine Determinante von<br />
Null besitzt. Dadurch sind die bestimmt.<br />
Nun können die b berechnet werden.<br />
Eigenwertproblem geometrisch<br />
Testwerte und Kovarianzmatrizen<br />
Der Zusammenhang wird besonders deutlich,<br />
wenn man auf Erwartungswert Null<br />
umgerechnete Testwerte betrachtet: In der<br />
Definition der Kovarianz<br />
cov(x,y) = E(X*Y) - E(X)*E(Y)<br />
wird nun der hintere Term gleich Null.<br />
Testwerte und Korrelationsmatrizen<br />
Normiert man die Testwerte außerdem auf<br />
Varianzen von Eins, so sind bereits die<br />
Kovarianzen identisch mit den Korrelationskoeffizienten.<br />
Das ist zulässig, weil die<br />
Varianz in der Normalverteilung nichts<br />
anderes als ein Maßstabsfaktor ist. Ist X<br />
die n x k Matrix der Testwerte, so ist unter<br />
diesen Umständen die Schätzung der Kovarianzmatrix<br />
S = X‘ X gegeben, also<br />
durch ein einziges Matrixprodukt. Die<br />
Matrix S ist symmetrisch.<br />
Diagonalähnlichkeit<br />
Faktorenanalyse<br />
Die Information, die in einer Varianz-<br />
Kovarianzmatrix bzw. einer Korrelationsmatrix<br />
steckt, ist direkt nur schwer zu entnehmen.<br />
Wegen der ‚positive manifold‘<br />
hängen normalerweise alle psychologischen<br />
Größen untereinander zusammen.<br />
Geometrisch betrachtet hat man stets<br />
schiefwinklige Koordinatensysteme vor<br />
sich, die eine Orientierung erschweren.<br />
Faktoranalyse findet ein passendes rechtwinkliges<br />
Koordinatensystem und zeigt,<br />
wie man dessen Achsen interpretieren<br />
kann.<br />
Eine symmetrische Matrix ist diagonalähnlich,<br />
wenn eine Koordinatentransformation<br />
für die Größen, z. B. Tests ausführbar<br />
ist, nach deren Anwendung nur<br />
unkorrelierte Werte auftreten. Für je zwei<br />
korrelierende Zufallsgrößen lassen sich<br />
Linearkombinationen der beiden finden,<br />
die unkorreliert sind. Geometrisch wird die<br />
gegebene elliptische Isodensite dadurch in<br />
dem neuen Koordinatensystem zum Kreis.<br />
Begriffserklärung<br />
Der Begriff „diagonalähnlich“ rührt daher,<br />
daß für sämtlich paarweise unkorrelierte<br />
Größen die Kovarianzmatrix eine Diagonalmatrix<br />
ist. Die Algebra lehrt, daß für<br />
symmetrische reellwertige Matrizen mit<br />
posotiven Eintragungen auf der Hauptdiagonalen<br />
die gesuchte Transformation der<br />
Kovarianzmatrix auf Diagonalform stets<br />
existiert. Die Eintragungen in der Diagonalmatrix<br />
heißen Eigenwerte der Kovarianzmatrix,<br />
die Transformationen des
Koordinatensystems heißen Eigenvektoren.<br />
Die gewünschte Rangreihe lässt sich jetzt<br />
(eindimensional) nach Zeit + Fehler erstel-<br />
1 .7 .5 .644 .751 -.142 2.01 len 0 und 0 als „Geschicklichkeit“ .664 .587 .490 interpretie<br />
.7 1 .3 .587 -.605 -.537 0 .261 0 .751 .605 .263<br />
.5 .3 1 .490 -.263 .831 0 0 .721 .142 .537 .831<br />
Praktische Durchführung<br />
Die Berechnung der Matrix der Eigenvektoren<br />
E und der Eigenwerte Λ ist recht<br />
aufwendig. Seit uns Expertensysteme wie<br />
Maple oder Mathematica zur Verfügung<br />
stehen, erfordert die Berechnung nur die<br />
Eingabe eines einzigen Befehls „Eigenvalues(Σ)“Er<br />
zerlegt die Kovarianzmatrix Σ<br />
Σ = E . Λ . E´<br />
Das einfachste Beispiel<br />
Im universellen psychologischen Beispiel<br />
einer Testleistung, die nach „Zeit“ und<br />
„Fehler“ bewertet wird, lässt sich zunächst<br />
wegen der Mehrdimensionalität des Ergebnisses<br />
keine Rangreihe der Leistungen<br />
der Versuchspersonen herstellen. Eine Eigenwertanalyse<br />
ergibt bei gegebener Korrelationsnmatrix<br />
von Zeit und Fehlern Σ :<br />
G egeben<br />
1<br />
1<br />
1 1 1 1<br />
1 0<br />
2 2 2 2<br />
1 1 0 1 1 1<br />
2 2 2 2<br />
Die Transformation mittels E<br />
1 1<br />
2 2 1<br />
x y x y x y<br />
1 1 2<br />
2 2<br />
ren. Die andere neue Dimension Zeit –<br />
Fehler wird vernachlässigt, weil sie als<br />
irrelevant angesehen wird.<br />
Drei Dimensionen<br />
Auch hier bewirkt die Transformationsmatrix<br />
Drehungen, diesmal aber solche um<br />
die drei Achsen im Raum.<br />
Räumliche Interpretation<br />
Man kann die Transformationsmatrix nach<br />
den drei Winkeln auflösen und erhält 42°,<br />
17° und 29°. Nach der Formel für die multivariate<br />
Normalverteilung (Folie 65) kann<br />
man eine räumliche Darstellung zeichnen:<br />
Klassenweise normalverteilte Merkmale<br />
besitzen fallgruppenspezifische Erwartungswertvektoren<br />
und ebenso fallgruppenspezifische<br />
Kovarianzmatrizen. Bei<br />
einfacher symmetrischer Kostenfunktion<br />
wird nun die Unterscheidungsfunktion<br />
Dk(v)=p(k)p(v|k)<br />
für jede Ort und jede Fallgruppe berechnet<br />
und von diesen das Maximum gesucht.<br />
Dadurch ergibt sich eine Gebietseinteilung.<br />
Gebietsgrenzen<br />
sind dort gegeben, wo gilt Dk (v)=Dj(v).<br />
läuft hier auf eine Drehung des Bezugssystems<br />
um 45° hinaus, denn die neuen Achsen<br />
sind y – x = const. bzw. x+y = const.
Quadratischer Klassifikator<br />
Im Zweidimensionalen sind die Trennlinien<br />
Kurven zweiten Grades, also Parabeln,<br />
Ellipsen oder Hyperbeln. Im Grenzfalle<br />
können auch Geraden auftreten.<br />
g<br />
Der Maximumvergleich wird durch monotone<br />
Transformationen nicht gestört. Deshalb<br />
logarithmiert man die Formel der n-<br />
dimensionalen Normalverteilung und erhält<br />
eine einfachere Entscheidungsfunktion:<br />
1 1<br />
T -1<br />
D ( v ) ln( p ) ln | K | [( v - μ ) K (v - μ )]<br />
k<br />
k<br />
k k k k<br />
2 2<br />
Bestimmung der Grenzen<br />
Setzt man in die Gleichung Dk(v)=Dj(v)<br />
ein und erweitert mit dem Faktor 2, so<br />
erhält man die Gleichung der Grenzfläche<br />
gjk(v)=0:<br />
| K | p<br />
k<br />
k<br />
T -1<br />
ln 2 ln ( v μ ) K (v μ )<br />
| K | p<br />
kj k k k<br />
T -1<br />
)<br />
j j j ).<br />
( v-μ K (v - μ<br />
j<br />
Diese Differenz von quadratischen Formen<br />
läßt sich selbst als quadratische Form<br />
schreiben:<br />
T 1<br />
0 0 0<br />
g g ( v v ) M ( v v )<br />
kj<br />
Dabei bedeuten g0, v0 und M<br />
j<br />
Zuordnung der Fälle zu den Fallgruppen<br />
Die Zuordnung geschieht durch Berechnung<br />
der Wahrscheinlichkeitsdichten am<br />
Ort des zu klassifizierenden Falles für alle<br />
Fallgruppen und Auswahl der Fallgruppe,<br />
bei der diese Dichte am größten ist. Dabei<br />
vereinfachen sich die Berechnungen, wenn<br />
die Varianz-Kovarianzmatrizen für alle<br />
Fallgruppen gleich sind.<br />
Validität<br />
Die Bestimmung der Verschiedenheit von<br />
Fallgruppen. <strong>Klassifikation</strong> setzt voraus,<br />
daß sich die anfallenden Fälle tatsächlich<br />
nachweislich verschiedenen Fallgruppen<br />
zuordnen lassen. Diese Unterscheidung ist<br />
uns im eindimensionalen Falle, d. h. bei<br />
Verwendung eines einzigen Tests oder<br />
sonstigen Merkmals als Varianzanalyse<br />
geläufig.<br />
Abhängige und unabhängige Zufallsgrößen<br />
Die für Korrelationsmatrizen Σ stets mögliche<br />
Umformung T auf eine Diagonalmatrix<br />
Λ<br />
Läßt sich umkehren<br />
T´ Σ T = Λ<br />
Σ = T Λ T´<br />
wenn man von einer Korrelationsmatrix Λ<br />
unkorrelierter Zufallsgrößen ausgeht, wie<br />
sie Zufallszahlengenaratoren benutzen.<br />
Durch geeignte Wahl von T können Zufallsgrößen<br />
mit vorgegebener Interkorrelation<br />
erzeugt werden.
Erzeugung von korrelierten (Pseudo-<br />
)Daten<br />
Man zieht zunächst mittels eines Zufallsgenerators<br />
unabhängige Reihen von Zufallszahlen<br />
und transformiert sie dann mit<br />
der auf der vorigen Folie beschriebenen<br />
Transformation T auf Zufallszahlenreihen<br />
mit den gewünschten korrelativen Zusammenhängen.<br />
Die Trennlinie der beiden Verteilungen ist<br />
durch die Linie gleicher Dichte definiert.<br />
Beispiel, Eysenck, 1959<br />
Varianzanalyse<br />
Dysthymiker- und Psychosomatiker-<br />
Pseudodaten, auf Grund der Stichprobenparameter<br />
erzeugt.<br />
Verteilungsdichten<br />
Validitätsfragen im Zusammenhang der<br />
<strong>Klassifikation</strong> werden meist varianzanalytiscvh<br />
behandelt. Geprüft wird die Nullhypothese,<br />
nach der sämtliche Stichproben<br />
aus einer einzigen Fallgruppe stammen.<br />
R.A. Fisher hat gezeigt, daß unter diesen<br />
Umständen zwei unabhängige Schätzungen<br />
der gleichen Varianz existieren. Eine<br />
Schätzung die Varianz greift auf die Varianzen<br />
der verschiedenen Stichproben<br />
zurück, die andere auf die Varianz der<br />
Stichprobenmittelwerte.<br />
Voraussetzungen<br />
Der Zusammenhang zwischen Varianz und<br />
Standardfehler des Stichprobenmittels besteht<br />
nur bei Normalverteilung des Merkmals.<br />
Daher die Voraussetzung der Normalität.<br />
Diese Voraussetzung wird außerdem<br />
bemüht, wenn die Prüfgrößen der Quadratsummen<br />
„zwischen“ und „innerhalb“<br />
(beide Chi-Quadrat) in das F-Verhältnis<br />
gesetzt werden, weil nur Summen standardnormalverteilter<br />
Quadrierte Zufallsgrößen<br />
chiquadrat-verteilt sind.
Die Mächtigkeit (Power) eines statistischen<br />
Tests<br />
Vier Größen hängen bei statistischen Tests<br />
zusammen: Effektgröße , Wahrscheinlichkeit<br />
des Fehlers der ersten Art ,<br />
Wahrscheinlichkeit des Fehlers der zweiten<br />
Art und Stichprobengröße N.<br />
Ein Beispiel aus der <strong>Klassifikation</strong> kann<br />
diesen Zusammenhang veranschaulichen<br />
(vgl. Maple-Skript).<br />
Statistische Weiterungen<br />
Falls die Varianz-Kovarianzmatrizen nicht<br />
gleich sind, müssen weiterreichende statistische<br />
Prüfungen der Differenz der Mittelwerts-Vektoren<br />
angestellt werden, die z.<br />
B. in Tatsuoka, beschrieben sind.<br />
Signifikanz der Abweichung einer einzigen<br />
Fallgruppe von μ0<br />
ei bei bekannter Varianz-Kovarianz-Matrix<br />
Σ ist für p Merkmale und N Versuchspersonen<br />
die Prüfgröße<br />
T 1<br />
0 0<br />
N ( X ) ( X ) verteilt<br />
2<br />
p<br />
w ie (1 )<br />
Bei zu schätzender Varianz-<br />
Kovarianzmatrix S<br />
Hier ist die Prüfgröße<br />
T 1<br />
S X - μ<br />
0 0<br />
N ( N 1)( X-μ ) ( )<br />
verteilt wie<br />
p( N 1)<br />
F<br />
( N p)<br />
p<br />
N p<br />
Vergleich von zwei Stichproben<br />
Vergleich von mehreren Stichproben<br />
Wilks Kriterium<br />
Die Prüfgröße ist Λ . Bartlett(1947) hat<br />
gezeigt, daß<br />
V = [ N – 1 - ( p + K ) / 2 ] log (Λ)<br />
angenähert Chi-Quadrat-verteilt ist, mit p *<br />
(K-1) Freiheitsgraden. Dabei ist N die Anzahl<br />
der Versuchspersonen, p die Anzahl<br />
der Tests und K die Anzahl der (mutmaßlichen)<br />
Fallgruppen.<br />
(Wird fortgesetzt).<br />
Literatur<br />
Anderson, T. W.,1958 : An Introduction to<br />
Multivariate Statistical Analysis, New<br />
York, Wiley<br />
Schürmann, J., 1977. Polynom Klassifikatoren<br />
für Zeichenerkennung, Ansatz Adaption,<br />
Anwendung. München: Oldenbourg<br />
Tatsuoka, M.,M.,1971, Multivaariate<br />
Analysis, Techniques for Educational and<br />
Psychological Research, New York,<br />
Wiley.<br />
ist mit W der „within“ Schätzung der Varianz-Kovarianz-Matrix<br />
die Prüfgröße<br />
n n ( n n 2) (1) (2) (1) (2)<br />
1 2 1 2<br />
T -1<br />
( X - X ) W ( X - X )<br />
n n<br />
1 2<br />
1 2<br />
verteilt w ie<br />
(n n 2) p<br />
1 2 F<br />
n n p 1<br />
p<br />
n1 n2<br />
p 1