Differentielle Psychologie, - Universität Regensburg

Differentielle Psychologie,
persönliche Unfallgefährdung
WS 2010/11
Prof. Dr. Jan Drösler
Universität Regensburg
Thematik
Dargelegt wird, unter welchen Umständen
beobachtetes Verhalten etwas für eine Person
„bedeutet“, d. h. auch zukünftig entsprechendes
bei dieser Person zu erwarten.
Dies ist ein speziell naturwissenschaftliches
Wahrheitskriterium. Andere Wissenschaften
benutzen auch andere Kriterien,
etwa die Übereinstimmung der Aussage
mit einem vorher festgelegten Kanon von
„Grundwahrheiten“.
Grundbegriffe
Die in dieser Aussage vorkommenden Begriffe
sind mit Rücksicht auf eine wissenschaftliche
Behandlung des Themas ausgewählt.
Der Begriff Verhalten erinnert
daran, daß nicht beliebige Bezüge auf die
Erfahrungsgrundlage des Faches vorkommen,
sondern nur solche, die objektiv,
d. h. unabhängig vom Beobachter registrierbar
sind.
Vorhersagbarkeit
Gerade bei der Vorhersagbarkeit beginnt
aber eine besondere Schwierigkeit vieler
Wissenschaften, wie Meteorologie, Volkswirtschaftslehre,
Biologie oder Kernphysik
ebenso wie der Psychologie: Bereits die
einfachsten Zugriffe auf die Erfahrung, die
elementaren Experimente lassen in aller
Regel ihr Ergebnis nicht im einzelnen
vorhersagen.
„Versuchs-Personen“.
Mit Personen sind, der Wiederholbarkeit
der Beobachtungen wegen, stets Versuchspersonen
gemeint Das sind Individuen,
die sich zur Beobachtung ihrer Verhaltensäußerungen
bereiterklärt haben und
nichts von etwaigen theoretischen Überlegungen
des Untersuchers wissen. Dieser
Grundsatz schließt das Verfahren der früher
in der Psychologie verbreiteten Selbstbeobachtung
des Untersuchers zur Datengewinnung
aus.
Naturwissenschaftlicher Wahrheitsbegriff
Zukünftiges ist deshalb angesprochen, weil
auch in der Psychologie die sachliche
Richtigkeit einer theoretischen Behauptung
allein durch die korrekte Vorhersage von
zukünftigen Beobachtungen belegt ist.
Fehlende Determiniertheit
Der Ausgang eines Experiments kann stets
nur als eine Palette von Möglichkeiten
angegeben werden. Der Wetterbericht
prognostiziert Regen oder Sonnenschein,
der Volkswirtschaftler ein Steigen oder
Fallen bestimmter Aktienkurse, der Biologe
ein mehr oder weniger starkes Wachstum
eines Organismus, der Kernphysiker
eine vielleicht stattfindende Spaltung usw.
Zufall
Das Fehlen einer Vorhersagbarkeit im einzelnen
nennt man Zufall. Ihr Vorherrschen
verhindert nicht grundsätzlich die Vorhersagbarkeit
von Ereignissen und damit den
Einsatz des naturwissenschaftlichen Wahrheitskriteriums.
Unter bestimmten Umständen
wird Zufälliges durch den Einsatz
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des Wahrscheinlichkeitsbegriffs kalkulierbar.
Daten als wiederholbare Erfahrungsbindung
Wiederholbare Verhaltensbeobachtungen
werden bei Verwendung von standardisierten
Aufgaben erreicht. Dabei zeigt sich
immer, daß ein erheblicher Teil der Personen
die Aufgaben nicht, wie erwartet löst,
andere Personen aber, von denen man es
nicht erwartet hat, gelegentlich als schwierig
geltende Aufgaben lösen. Menschliches
Verhalten ist zufällig. Das bedeutet auch in
diesem Zusammenhang weiter nichts, als
„im einzelnen nicht vorhersagbar“. Umso
gewichtiger ist die Konvention, nicht beliebige
Resultate von Verhaltensbeobachtungen
als wissenschaftliche Daten gelten
zu lassen, sondern nur solche, die sich bei
Wiederholung des Experiments wenigstens
mit einer statistischen Tendenz reproduzieren
lassen.
Gewissheit
Die Psychologie erfüllt das Vorhersagbarkeitskriterium
der Wissenschaftlichkeit,
indem sie den Bezug auf das Zufällige qualifiziert.
Das geschieht durch Skalierung
der Gewissheit mittels des Wahrscheinlichkeitsbegriffs.
Skalierung der Gewissheit nach Kolmogorov
(1933).
Ausgangspunkt ist die Betrachtung einer
Menge von Ergebnissen. Damit sind die
Möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiment
bezeichnet. Zum Beispiel
{richtig, falsch}, {konservativ, liberal, progressiv},
{Sonderschulbildung,
Volksschulabschluß, qualifizierter
Volksschulabschluß, Realschulabschluß,
Abitur, Hochschulabschluß}, { t | t =
Reaktionszeit }, { k | k = Blutalkoholkonzentration
}.
Ergebnisse und Ereignisse
Die ersten Beispiele betreffen endliche
Ereignismengen, die beiden letzten unendliche
(kontinuierliche). Sei Ω eine Menge
von Ergebnissen. Alle logischen Kombinationen
der Elemente von Ω sollen bezeichenbar
sein. Dazu muß man wissen, wie
man logische Kombinationen („und“ ,
„oder“) bzw. Operationen („nicht“) auf
Mengen anwendet.
Mengenlehre und Logik
Das geschieht wegen der gegebenen eins
zu eins Entsprechung von (Aussagen-)
Logik zur Mengenlehre mittels mengentheoretischer
Operationen (, , ). Die
Menge Ω bildet mit diesen Operationen
eine Algebra von Teilmengen von Ω ,
weil sie bezüglich dem Mengendurchschnitt
und der Mengenvereinigung
abgeschlossen ist.
Sobald alle logischen Kombinationen
der
Erge Ω
gebnismenge
als Ereignismenge verfügbar
sind, lässt sich darauf ein Maß der Gewissheit
definieren. Es hat die Eigenschaften,
die wir beispielsweise von einem Maß
für Flächen kennen. Wegen dieser Strukturgleichheit
lassen sich die mit Mengen
verknüpften Wahrscheinlichkeiten einem
Venn Diagramm als Flächen repräsentieren.
Ω
A
A AB B
B
Ω
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(Ω) = 1,
(A B) = (A) + (B) gdw. A B = .
Für disjunkte Ereignisse A, B bedeutet eine
Vereinigung (logisch „oder“), daß sich die
Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A
oder B als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten
errechnen läßt.
Das Gewißheitsmaß ist für disjunkte
Ereignisse additiv.
Disjunktheit darf nicht mit Unabhängigkeit
von Ereignissen verwechselt werden. Zu
deren Definition ist zunächst die bedingte
Wahrscheinlichkeit einzuführen. Die
Wahrscheinlichkeit von a unter der Bedingung
B ist definiert als
(A | B ) = ( A B ) / ( B).
Untersucht wird, ob ein Ergebnis B mit
irgend einer infragekommenden Bedeutung
A in Zusammenhang steht. Da von zufälligen
Ereignissen die Rede ist, wird nach
einem Zusammenhang in Wahrscheinlichkeit
gesucht.
Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B
liegt vor, wenn gilt P(A | B) = P(A). Flächenmäßig
ausgedrückt liegt dieser Fall
vor, wenn die Fläche von A B im Verhältnis
zu der von B gleich dem Flächenverhältnis
von A zu Ω ist. Abhängigkeit
ist gegeben, wenn statt dessen die Ungleichheit
gilt.
P(A | B) ≠ P(A).
Empirische Überprüfung
Zur Prüfung der Abhängigkeit eines Ergebnisses
und dessen mutmaßlicher
Bedeutung ist eine empirische Untersuchung
erforderlich. Beispiel: Bedeutet die
Lösung einer Denkaufgabe, daß die Person
das Klassenziel des Schuljahres erreichen
wird? Wir beobachten 104 Versuchspersonen
in einem Experiment:
erreicht
reeicht
Summrei
erreicht
nicht
er-
Der kritische Wert für die Prüfgröße ist –
bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von
0,05 – laut Tabelle von ² 3,841. Im vorliegenden
Beispiel wird dieser Wert der
Prüfgröße nicht erreicht. Die statistische
Entscheidung lautet „insignifikante Unter-
cht
nicht
gelöst“
17
(22)
37
(32)
54
Summe
gelöstllöst“ö
st“
25
(20)
25
(30)
Die empirisch zu beantwortende Frage
läuft auf eine Untersuchung hinaus, ob die
bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
„Klassenziel erreicht, gegeben Test
bestanden“ sich von der unbedingten
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Klassenziel
erreicht“ unterscheidet. Die Wahrscheinlichkeiten
werden durch relative
Häufigkeiten geschätzt. Als statistische
Nullhypothese wird die Gleichheit der beingten
und unbedingten Wahrscheinlichkeiten
angesetzt und in erwarteten relativen
Häufigkeiten ausgewiesen. Das sind die
Zahlen in Klammern. Eine statistische
Prüfgröße für derartige Fälle wurde von
Pearson (1922) als ² bereitgestellt.
Sie berechnet sich als Summe der auf die
erwarteten Häufigkeiten normierten quadrierten
Abweichungen der beobachteten
Häufigkeiten:
2
( fb fe )
i i
i
, i 1..4.
fe
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist 1.
Die unter der Nullhypothese erwarteten
Häufigkeiten müssen ihren entsprechenden
Randsummen proportional und der Gesamtsumme
umgekehrt proportional sein.
Ebenso werden sie berechnet: Das Produkt
der einer Zelle der Tabelle entsprechenden
Randsummen wird gebildet und durch die
Gesamtanzahl geteilt.
i
50
2
42
62
104
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schiede zwischen beobachteten und unter
der Nullhypothese erwarteten Häufigkeiten“.
Die Nullhypothese wird beibehalten.
Falsche Entscheidungen
Man vermeidet die Blamage, fälschlich
einen (neuen) Effekt für die Wissenschaft
zu behaupten, wenn man die entsprechende
Irrtumswahrscheinlichkeit „der ersten Art“
möglichst klein ( 0,01 oder 0,05) ansetzt.
Einen bestehenden Effekt zu übersehen gilt
als weniger ehrenrührig. Die entsprechende
Irrtumswahrscheinlichkeit „der zweiten
Art“ wird höher angesetzt (> 0.2).
Ausweitung der Erfahrungsgrundlage.
Die Binomialverteilung
Die Eigenschaften der Binomialverteilung
erkennt man am leichtesten durch Betrachtung
ihres Graphen.
Erwartungswert: X = n p,
Varianz var(X) = n p (1-p)
Theoretische Bedeutung
Die Binomialverteilung zeigt, daß extrem
Schiefe Verteilungen entstehen können,
auch wenn die Ereignisse – im Beispiel
Unfälle – als voneinander unabhängig vorausgesetzt
werden. Kennzeichnet diese
Verteilung eine brauchbare Modellvorstellung
für das psychologische Geschehen?
Wir beobachten Personen über einen längeren
Zeitraum, und treffen auf individuelle
Unfallhäufigkeiten, die nicht mehr durch
eine binäre Zufallsgröße mit Zweipunktverteilung
zu beschreiben sind. Das Beobachtungszeitraum
sei in zehn Perioden
aufgeteilt und man kann in jeder von diesen
unfallfrei oder unfallbehaftet sein. So
haben wir eine Zufallsgröße vor uns, die
die Werte 0 bis 10 annehmen kann.
Die Verteilung der individuellen Häufigkeiten
Unter der Annahme, daß die Ereignisse in
den einzelnen Perioden mit gleicher Wahrscheinlichkeit
aber statistisch unabhängig
voneinander Auftreten, ergibt sich folgende
Zufallgröße:
10
x
10
x
P ( X x) p (1 p ) , x 0...10.
x
10
10!
m it = und x! = x(x-1)(x-2)...1.
x x! (10-x)!
Die Poisson-Verteilung
Setzt man in der Binomialverteilung den
Erwartungswert p = λ / n und läßt n so gegen
Unendlich streben, daß sich p nicht
ändert, dann wird die Binomialverteilung
zur Poissonverteilung:
Erwatungswert: (X) = λ, Varianz: var(X)
= λ
Kennwerte von Zufallsgrößen
Eine spezielle Verteilung läßt sich durch
ihre Momente beschreiben. Man unterscheidet
rohe und zentrale Momente. Das
erst zentrale Moment der Zufallgröße X ist
der Erwartungswert (X )= Σ xi Pi .
Das zweite zentrale Moment ist die Varianz
s²( X ) = X² - ( X)². Für die Zweipunktverteilung
ergeben sich (X )= 1*P(X =1)
+0* P(X = 0) = P(X=1) bzw. s²( X ) = 1² *
P(X=1) + 0² * P(X=0) – P(X=1)^2
=P(X=1)*(1- P(X=1)).
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Empirische Prüfung
Drei Schritte sind erforderlich
1. Schätzung der Parameter auf Grund
von Stichprobenmittelwert und
Stichprobenstreuung.
2. Aufzeichnen der nun errechenbaren
theoretischen Häufigkeiten gegen
die vorgefundenen empirischen
Häufigkeiten.
3. Zufallskritische Entscheidung mittels
Pearsons Anpassungstest.
4.
Die Alternativhypothese
Fällt de Pearsonsche Anpassungstest einer
Poissonverteilung an die empirische Verteilung
der individuellen Unfallhäufigkeiten
zur Ablehnung der Nullhypothese, so
wird eine Alternativhypothese formuliert.
Diese behauptet echte Unterschiede zwischen
den Personen hinsichtlich deren persönlicher
Gefährdung λ.
Im folgenden treten einige kompliziert
aussehende Ausdrücke und deren Umformungen
auf. Auch der weniger versierte
Leser kann diese heutzutage mittels Expertensystemen
wie Maple oder Mathematica
leicht nachvollziehen, sofern er sich auch
nur vage an das übliche Grundwissen zum
Abitur in Mathematik erinnert. Ein Maple-
Worksheet zum gegenwärtigen Stoff ist
diesem Skriptum in der Virtuellen Universität
Regensburg beigegeben.
Die Gammaverteilungsdichte
Eine nur zweiparametrige aber sehr flexibel
zu handhabende Verteilungsdichte ist
gegeben durch
( 1)
a exp( a)
f ( )
für 0
( )
( 1)
m it ( )= x exp( x)
dx
Bedingte Verteilungsdichten
0
Die gesuchten individuellen Ausprägungen
der Gefährdung werden mittels bedingter
Wahrscheinlichkeiten ermittelt. Sei k die
individuelle Unfallhäufigkeit im Berichtszeitraum.
Gegeben ist P (k | λ), gesucht ist
P( λ | k). Die Verbindung der beiden ist
durch die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
gegeben.
P(k | λ) = P( k, λ) / P( λ).
Die gemeinsame Verteilung
Die gemeinsame Verteilung P(k, λ) ergibt
sich daraus als
P ( X k , h)
1 1
P ( X k | h) * P ( h)
1 1 1 1
weil Wahrscheinlichkeiten für das kontinuierliche
λ als Flächen unter der Dichtefunktion
ermittelt werden.
Ein Grenzübergang
Die gemeinsame Verteilung von k und λ
erhält man durch Einsetzen und anschließenden
Grenzübergang als
1
lim P ( X k , h)
1 1
h 0
h
k
1
a ( 1)
a
1 1 1
exp( ) exp( )
k ! ( )
Die neue Verteilung der individuellen
Unfallhäufigkeiten
Sie ist als Randverteilung der gemeinsamen
Verteilung durch Integration über λ
gegeben:
a 1 ( k
)
P ( X k )
( ) k! ( a 1) k
(
)
Es ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
in der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannten
Negativen Binomialverteilung.
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Die bedingte persönliche Gefährdung
Die Negative Binomialverteilung dient als
neue Nullhypothese. Kann sie nach Pearsonschen
Anpassungstest beibehalten werden,
so läßt sich die bedingte Dichte der λ,
gegeben k diskutieren. Die verschiedenen
Kurven zeigen die Gammaverteilten persönlichen
Gefährdungen für Personen, die
im Berichtszeitraum keinen, einen, zwei
usw. Unfälle auf sich zogen.
1
exp a exp( a
)
f ( k, )
k ! ( )
a
1
C ov( k , )
exp( ) exp( a ) d
( ) k !
E ( k ) E ( )
k
0
Wenn man die zur gemeinsamen Verteilung
von k und gehörige Kovarianz ausrechnet
(oder durch ein Expertensystem
wie Maple ausrechnen läßt) und sie durch
die bereits oben ermittelten Standardabweichungen
der Verteilungen von k bzw.
von dividiert, so erhält an den Korrelationskoeffizienten
zwischen den beiden Zufallsgrößen:
1
k
1 a
0
k
Der Parameter a der Negativen Binomialverteilung
war vorher unter realistischen
Verhältnissen mit a=3/4 bestimmt worden.
Eingesetzt ergibt sich ein Korrelationskoeffizient
von 0.75. Das bedeutete einen
deutlichen Informationsgewinn. Aus einer
gegebenen individuellen Unfallhäufigkeit k
läßt sich mittels linearer Regression die
erwartete persönliche Gefährdung recht
präzise bestimmen.
Die Bedeutung für den Einzelnen
Lassen sich unter diesen Umständen die
individuellen Unfallhäufigkeiten psychologisch
"auswerten"? Diese Frage ist zunächst
zu operationalisieren: Was weiß
man mehr über die persönliche Gefährdung
einer Person, wenn man ihre individuelle
Unfallhäufigkeit kennt?
Die gemeinsame Verteilung
Berechnung der Korrelation von k und
Bedeutung für den Einzelnen
Lassen sich unter derartigen Umständen die individuellen
Unfallhäufigkeiten psychologisch „auswerten“?
Besitzen sie eine diagnostische Bedeutung?
Diese Frage ist zunächst zu operationalisieren: Was
weiß man mehr über eine Person, wenn man deren
individuelle Unfallhäufigkeit kennt?
Die gemeinsame Verteilung
Berechnung der Korrelation von k und λ
k
1
exp a exp( a
)
f ( k, )
k ! ( )
a
1
C ov( k , )
exp( ) exp( a ) d
( ) k !
E ( k ) E ( )
0
0
k
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Unfallhäufigkeiten k und persönliche Gefährdung
lambda
„Reproduktivität“ der Poisson-Verteilung: Summen
von Poissonverteilten Zufallsgrößen sind ebenfalls
poissonverteilt.
Unfälle und Testaufgaben
In der Sicherheitsforschung sind individuelle Unfallhäufigkeiten
gleichzeitig das Kriterium und das
Diagnostikum. Die Frage nach der Bedeutung der
Befunde stellt sich nicht in der Weise, wie etwa bei
der Verwendung von Testaufgaben zur Prognose
der Schulreife. Wie wird die Brauchbarkeit einer
Testaufgabe für eine bestimmte Prognose bestimmt?
Beispiel: Intelligenztest
Korrelationen
Entsprechend der Definition des Korrelationskoeffizienten
läßt sich die Formel für die Korrelation
zwischen der individuellen Unfallhäufigkeit k
und dem Gefährdungs-parameter λ bestimmen: ρkλ
= (1+a)^(-1/2). Für a= ¾ ergibt sich ein Koeffizient
von 0,75. Das Quadrat aus diesem Koeffizienten,
0.57, kennzeichnet die Korrelation der individuellen
Unfallhäufigkeiten in verschiedenen Beobachtungszeiträumen,
ρkk´ .
Informationsgewinn
Am Anfang einer Untersuchung kennt man allein
die Streuung der Befunde zwischen den Personen,
also hier der Unfallhäufigkeiten. Mit Hilfe der Korrelationskoeffizienten
kann man die verbleibende
Ungewißheit bestimmen. Sie ist definiert als das
Verhältnis der bedingten Varianz zur unbedingten
Varianz. Dieses Verhältnis ist gegeben durch 1
minus dem Quadrat des Reliabilitätskoeffizienten,
hier also durch 0,43.
Unsicherheitsreduktion
Man spricht von einer Unsicherheitsreduktion , hier
von 43 %.Allgemein kann man sich merken
ρ² xλ = s²λ/s²x =ρx1x2
Die Unsicherheitsreduktion ist
Additive Fehlerkomposition
x
1
Traditionell bevorzugt die psychologische Diagnostik
additive Fehlermodelle: X = T + E. Die negative
Binomialverteilung als Mischung von individuell
verschiedenen Poisson-Verteilungen läßt sich auch
als additives Modell auffassen. Das liegt an der
2
xx
Thurstone & Thurstone (1941) haben die Bedeutung
von bestimmten Testaufgaben dadurch zu
bestimmen versucht, daß sie 63 Aufgabenarten, die
von anderen zur Intelligenzdiagnose verwendet
worden sind, mit statistischen Mitteln in Äquivalenzklassen
zerlegt haben. Sie erhielten ca. 10 Klassen,
die sie „Faktoren“ nannten.
Beispiele
1 Buchstabenkombinationen herstellen:
Zwei gleiche (aus A;B;C) erzeugen diesen Buchstaben.
Verschiedene zwei erzeugen den dritten
Buchstaben.
2. Absurditäten erkennen: „Frau Schmidt hatte
keine Kinder, ebenso wie Ihre Mutter.“
3. Arithmetik (Textaufgaben mit ein- und zweistelligen
Geldbeträgen)
4. Anagramme. Konstruiere Worte aus Buchstaben
eines vorgegebenen Wortes.
6. Addition: (von drei zweistelligen Zahlen).
7.Assoziationen: Schreibe alle Worte, die „Trinkbares“
bezeichnen.
8.Spiegelschrift lesen (einzelne Worte).
9 Drehungen und Drehung mit Klappung unterscheiden.
10. Satzergänzung
11. (vierstellige) Zahlen wiedergeben
12. Anweisungen befolgen: „wenn eine Katze ein
Tier ist, schreibe eine 4“.
13. Worte zu einem Satz ordnen (drank milk she)
14. Punktmuster auszählen.
15.- 16. Abweichend Muster markieren
17. Figuren sortieren
18. Figuren benennen
19. Möglicht viele Worte mit einem vorgegebenen
Anfangsbuchstaben aufschreiben.
20. Personennamen lernen
21. Geometrische Formen
22. Zahlen ordnen
23. Gleiche Zahlen markieren
24. Gleiche Figuren markieren.
25. Buchstabenlücken in Worten füllen.
26. Abweichende Buchstabenkombinationen markieren
Prof. Dr. J. Drösler Seite 7 15.02.2011

Thurstones Faktoren der Intelligenz
Numerisches Denken N
Wortflüssigkeit W
Räumliche Vorstellung S
Sprachverständnis V
Gedächtnis
M
Induktives Denken I
Perzeptive Auffassung P
Unklare Interpretierbarkeit
für drei weitere gemeinsame
Faktoren X1,X2,X3
Störabstand
In Wissenschaft und Technik wird der Störabstand
(von Signal T zum „Rauschen“ E) definiert als
10 log( var(T) / var (E) ).
Er wird mittels des dimensionslosen Maßes
Dezibel [ dB ] angegeben.
Beispiele
Schallplatte: 100 dB
CD: 120 dB
Gesichtssinn: 120 dB
Lenkradspiel im Kfz:
Zwei Fingerbreiten Spiel auf 60 Fingerbreiten
Gesamtausschlag entspricht 10 log( (2/60)^2)
= 68 dB
Anwendung auf Testergebnisse
Ein Test wird a) einschlägige, b) gleichartige Aufgaben
enthalten. Die Einschlägigkeit prüft man
durch Korrelation des Tests mit dem Kriterium, die
Gleichartigkeit durch Untersuchung von Erwartungswert,
Streuung und Korrelation der Aufgaben
untereinander bzw. mit dem Gesamttest.Aufgabenparameter:
E(X) = piDer Aufgabenerwartungswert
ist zu bestimmen als Erwartungswert
E(X) einer Zufallsgröße X, die nur die Werte
Eins („gelöst“) und Null („nicht gelöst“) annimmt:
E(X) = 1 p(X=1) + 0 P(X=0).
Heraus kommt die Lösungswahrscheinlichkeit pi
der Aufgabe i.Aufgabenvarianz: Var(X) = p (1-
p)Die Varianz einer Zufallgröße X ist definiert als
Var(X) = ΣX²p(X) – [E(X)]² . Für unsere binäreZufallsgröße
ergibt sich
Var(X) = pi - pi² = pi ( 1- pi).
Besitzen demnach zwei Aufgaben den gleichen
Erwartungswert, so besitzen sie auch die gleiche
Varianz.
Varianz einer Summe von Zufallsgrößen
²(X+Y)= ²(X)+ ² (Y) + 2 ρ (X) (Y)Die
Varianz einer Summe hängt also von der Korrelation
ρ der beiden ab. Für unabhängige Zufallsgrößen
(ρ = 0) ergibt sich also einfach deren Summe. Ist ρ
=1, wie bei den True-Werten paralleler Tests, dann
ergibt sich ein Anwachsen im Quadrat der Anzahl
der Summanden, da ja alle paarweisen ρ zu berücksichtigen
sind.
Störabstand und Testlänge
Für eine Testverlängerung läßt sich zeigen, daß die
Fehlervarianz sigma(E)^2proportional zum Verlängerungsfaktor
n wächst, die True-Varianz sigma(T)^2
aber quadratisch, also mit n^2. Deshalb
wirkt sich Testverlängerung auf den Störabstand
(wegen der Logarithmierung) als Addition eines
konstanten Zuwachses aus:
Zehnfache Testlänge
In der klassischen Testtheorie wird vorausgesetzt,
daß der beobachtete Rohwert X sich als Summe des
„wahren“ Werts T und des Testfehlers E zusammensetzt
und daß T und E stochastisch unabhängig
sind. Außerdem ist die Reliabilität rho als Verhältnis
der wahren Varianz zur Gesamtvarianz definiert.
Daraus läßt sich der Störabstand als 10 log
rho/(1-rho) bestimmen.
Störabstand abhängig von der Reliabilität
Testkonstruktion
Prof. Dr. J. Drösler Seite 8 15.02.2011

Reliabilität und Testlänge
Weil das Verhältnis ²(T)/²(E) = ρ/(1-ρ) mit der
Testlänge n Proportional wächst, steigt die
Ausgangsreliabilität Reliabilität ρ (X,X‘) mit der
Testlänge wie
ρ(X,X‘)
ρ(n X, n X‘) = -------------------
1+(n-1) ρ(X,X‘)
(Spearman-Brown-Formel).
Die Spearman-Brown Formel
Es gilt ρ11/(1-ρ11)=²(T)/ ²(E). Das Verhältnis
Von True- zu Fehlervarianz verändert sich durch n-
fache Testverlängerung mittels paralleler Testaufgaben
zu ρnn/(1-ρnn) = n² ²(T)/ n ²(E)= n
²(T)/²(E) weil die E untereinander unabhängig
und die T identisch sind. Durch Auflösen nach ρnn
und Einsetzen von ρ11 ergibt sich die S-B-Formel.
Reliabilität und Testlänge graphisch
Validität und Testlänge
Aufgaben-Test-Korrelation
Aufgaben sind äquivalent („parallel“), wenn siegleiche
Erwartungswerte, Varianzen sowie
Aufgaben-Test-Korrelationen besitzen. Der Korrelationskoeffizient
ist definiert als
ρxy = cov(X,Y)/(sx sy)
Mit cov(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) .Eingesetzt ergibt
sich der punkt-biseriale Korrelationskoeffizient
ρxy = [E(Y | X=1) – E(Y | X = 0)(pi(1- pi)] /sy
Aufgabenauswahl
Der Einfluß der Testlänge auf die Reliabilität
Wirkt sich auch auf die Validität des Test aus:
n ρ²(X,Y)
Ρ(nX,Y)=(----------------------------)^(1/2)
1+(n-1)ρ(X,X‘)
Validität und Testlänge n graphisch für verschiedene
Reliabilitäten
Diagnostik in anderen Bereichen
Eine große Gruppe von Verfügbaren Tests bezieht
sich auf Verhaltensattribute wie „Geschicklichkeit“
oder „Aufmerksamkeit“. Diese Tests zeichnen sich
zwar durch hohe Reliabilitäten aus, sind aber meist
schwer zu interpretieren, weil es die Geschicklichkeit
oder die Aufmerksamkeit nicht gibt, sondern
sehr viele verschiedene.
Prof. Dr. J. Drösler Seite 9 15.02.2011

„Persönlichkeitstests“
Fragebogen mit Fragen, die sich auf individuelle-
Vorlieben, Gewohnheiten. Manchmal sogar auf das
Intimleben beziehen, werden von ihren Autoren
gern Persönlichkeitstests genannt. Diese Fragebogen
leiden darunter, daß die damit erzielten Äußerungen
besonders anfällig gegen Simulation und
Dissimulation seitend ser Befragten sind, und daß
sie sich kaum validieren lasssen. Ihre Reliabilität ist
meist gering.
Fisz, M.,Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische
Statistik. Berlin, Dt. Verl. D. wiss., 1958
Gulliksen, H.,Theory of mental Tests, New York,
Wiley, 1950.
Lundberg, O.,On random processes and their application
to sickness and accident statistics. Almquist
& Wiksells, Uppsala 1940.
Renyi, A. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin, Dt.
Verl. d. Wiss., 1962
„Projektive“ Tests
Die Schwierigkeiten bei der Entwicklung objektivierter
diagnostischer Verfahren haben immer wieder
Autoren veranlaßt, sogenannte „freie“ Außerungen
der Personen zu bestimmten Materialien,
z.B. Tintenklexe oder Bildern von Personengruppen
zu protokollieren und „auszuwerten“. Dieser Verzicht
auf die Definition einer Grundmenge Ω eines
Wahrscheinlichkeitsraumes der Antworten hat
fatale Folgen für die Diagnostik.
Stevens, S. S. Psychology and the Science of Science.
Psychological Bulletin, 1939, 36, 221 – 263.
Nachgedruckt in Marx, M. Theories in contemporary
Psychology. New York, 1968..
Stevens, S. S. Psychology and the Science of
Science. Psychological Bulletin, 1939, 36, 221
– 263. Nachgedruckt in Marx, M. Theories in
contemporary Psychology. New York, 1968..
Motivations-Tests
Szenische Darstellungen sollen bei den Versuchspersonen
Äußerungen provozieren, die sich als
deren Motiviertheit interpretieren lassen.
Diese Erwartung ist äußerst gewagt, wie Untersuchungen
von McClelland und Atkinson zeigen:
Überwindet man die geringe Reproduzierbarkeit der
Antworten durch Zusammenfassung vieler Versuchspersonen,
dann spiegeln die Antworten die
motivationalen Autostereotype des jeweiligen Landes
wider.
(Wird fortgesetzt.)
Literatur
Arbous, A. G. & Kerrich, J.E. Accident Statistics
and the concept of Accident Proneness. Biometrics,7,
340 – 432, 1951
Bosch, K. (1976). Elementare Einführung in
die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Reinbeck:
Rowohlt.
Bosch, K. (1982). Elementare Einführung in
die angewandte Statistik. Braunschweig:
Vieweg.
Drösler, J., Zur Methodik der Verkehrspsychologie,
245 – 290 in: Hoyos, C.,: Psychologie des
Straßenverkehrs, Bern, Huber,1965
Prof. Dr. J. Drösler Seite 10 15.02.2011