¨Ubungsblatt 3 vom 4.11.2011 Aufgabe 1 (4 Punkte) - Fachgebiet ...

Institut für Praktische Informatik
Fachgebiet Programmiersprachen und Übersetzer
Prof. Dr. Rainer Parchmann
Programmieren (Scheme) - WS 2009/10
Übungsblatt 3 vom 4.11.2011
Abgabe der Lösungen am 11.11.2011 bis 09:15 Uhr
Aufgabe 1
(4 Punkte)
Ein für die Untersuchung zweier Zeichenketten auf Ähnlichkeiten wichtiger Begriff ist der ihrer Ausrichtungen,
in der Bioinformatik auch Sequenz-Alignments genannt. Eine Ausrichtung zweier Zeichenketten
a, b ist wiederum ein Paar von Zeichenketten a’, b’, die durch das Einfügen neutraler Zeichen (-)
gestreckt wurden. Dabei müssen a’ und b’ gleich lang sein und dürfen nicht an der gleichen Stelle ein
neutrales Zeichen enthalten.
Beispiele für a = PROZEDUR und b = REKURSIV:
a’ = PROZEDUR--- a’ = --PRO-ZE-DUR
b’ = -R--EKURSIV b’ = REK-URSIV---
Aber auch:
a’ = PROZEDUR a’ = --------PROZEDUR
b’ = REKURSIV b’ = REKURSIV--------
Wie man sieht, kann man im letzten Beispiel keine weiteren Zeichen einfügen, ohne die zweite oben
genannte Regel zu verletzen. Die Anzahl der Ausrichtungen zweier Zeichenketten ist eine endliche Größe,
die nun in Abhängigkeit der Länge der beiden Zeichenketten berechnet werden soll.
Man kann dazu folgende rekursive Formel konstruieren, wobei m und n die Längen der Zeichenketten
und f(m, n) die gesuchte Anzahl der Ausrichtungen seien:
{ 1 falls m = 0 oder n = 0
f(m, n) :=
f(m − 1, n) + f(m − 1, n − 1) + f(m, n − 1)
sonst
Implementieren Sie die Prozedur (alignments m n), die die Anzahl der Ausrichtungen nach dieser Methode
berechnet.
(alignments 5 9) --> 22363
Welchen Prozess beschreibt diese Funktion? Was zeichnet diesen Prozesstypen aus?
Es existiert allerdings auch die folgenden beiden Formeln zur Berechnung von f:
f(m, n) =
=
m+n
∑
l=max{m,n}
m+n
∑
l=max{m,n}
l!
(l − m)!(l − n)!(m + n − l)!
( ) ( )
l n
·
l − n l − m
(1)
(2)
Implementieren Sie Formel (1) in einer Prozedur (alignments-fac m n) und Formel (2) in einer Prozedur
(alignments-binom m n). Beide Prozeduren sollen einen iterativen Prozess erzeugen. Verwenden
Sie für hierfür die aus der Übung bekannten Prozeduren für Fakultät und Binomialkoeffizient. Verwenden
Sie lokale Hilfsprozeduren, wo es sinnvoll erscheint.
(alignments-fac 50 90) --> 8041316950496409391577164244714439684895916569565
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Aufgabe 2
(3 Punkte)
Eine Funktion f : N → Z sei definiert durch
{ 1 für n < 3
f(n) :=
2f(n − 1) + f(n − 2) − 3f(n − 3) sonst
Schreiben Sie zwei Prozeduren, von denen die eine f in einem rekursiven, die andere f in einem iterativen
Prozess berechnet. Benutzen Sie dabei lokale Hilfsprozeduren, falls notwendig.
(f 10) --> -176
Welchen Unterschied gibt es zwischen den beiden Prozessen in Hinsicht auf die Laufzeit?
Geben Sie das Ergebnis von f(100) mit Hilfe der iterativen Implementierung an. Berechnen Sie anschließend
die theoretische Laufzeit des rekursiven Prozesses für diesen Aufruf, indem Sie den Proportionalitätsfaktor
nach der Methode der Übung berechnen. Benutzen Sie als Basis 1.84.
Können Sie sich erklären, dass die reale Laufzeit der iterativen Version in Abhängigkeit ihres Arguments
stärker als linear wächst?
Aufgabe 3
(5 Punkte)
In der Vorlesung wurde die folgende Scheme-Prozedur zur Potenzierung vorgestellt:
(define (fast-exp b n)
(cond ((= n 0) 1)
((even? n) (square (fast-exp b (/ n 2))))
(else (* b (fast-exp b (- n 1))))))
(a) Konstruieren Sie eine neue Scheme-Prozedur fast-exp-i für einen iterativen Potenzierungsprozess,
die wie fast-exp sukzessive Quadratbildung bzw. Multiplikation mit b verwendet und dafür nur
O(log n) Rechenschritte (also rekursive Funktionsaufrufe) benötigt. Schreiben Sie unter Verwendung
von check-expect mindestens drei Testfälle.
Hinweis: Beachten Sie, dass (b n/2 ) 2 = (b 2 ) n/2 gilt. Implementieren Sie eine (lokale) Prozedur
exp-iter mit drei Formalparametern a, b und n und definieren Sie die Zustandsübergänge so,
dass das Produkt ab n von Zustand zu Zustand unverändert bleibt.
(b) Erklären Sie, wie es zur oben genannten Laufzeitkomplexität von fast-exp-i kommt.
Bemerkungen
• Die check-expect Prozedur wird bereits durch DrRacket bereitgestellt. Um Sie zu verwenden
fügen Sie am Anfang Ihres Quelltestes den Aufruf (require test-engine/racket-tests) ein.
Nach dem letzen Aufruf von check-expect fügen Sie dann (test) ein um die Ergebnisse Ihrer
Tests zu erhalten.
• Verwenden Sie bei der Lösung der Aufgaben nur die folgenden Befehle und Operationen: +, -, *,
/, quotient, remainder, even?, odd?, =, >, =,