Rechenbuch Metall - Europa-Lehrmittel

EUROPA-FACHBUCHREIHE 

für Metallberufe 

J. Dillinger W. Escherich R. Gomeringer 

R. Kilgus B. Schellmann C. Scholer 

Rechenbuch Metall 

Lehr- und Übungsbuch 

31. neu bearbeitete Auflage 

Verlag Europa-Lehrmittel · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG 

Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten 

Europa-Nr.: 10307

Autoren: 

Dillinger, Josef Studiendirektor München 

Escherich, Walter Studiendirektor München 

Gomeringer, Roland Dipl.-Gwl., Studiendirektor Balingen 

Kilgus, Roland Dipl.-Gwl., Oberstudiendirektor Neckartenzlingen 

Schellmann, Bernhard Oberstudienrat Kißlegg 

Scholer, Claudius Dipl.-Ing., Dipl.-Gwl., Studiendirektor Metzingen 

Lektorat und Leitung des Arbeitskreises: 

Roland Kilgus, Neckartenzlingen 

Bildentwürfe: Die Autoren 

Bildbearbeitung: 

Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern 

Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt. 

31. Auflage 2012 

Druck 5 4 3 2 1 

Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander 

unverändert sind. 

ISBN 978-3-8085-1853-3 

Umschlaggestaltung: Michael M. Kappenstein, Frankfurt a.M., unter Verwendung eines Fotos der 

Firma TESA/Brown & Sharpe, CH-Renens 

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich 

geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. 

© 2012 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten 

http://www.europa-lehrmittel.de 

Satz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 Erftstadt 

Druck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt

Vorwort 

Vorwort 

Das Rechenbuch Metall ist ein Lehr- und Übungsbuch für die Ausund 

Weiterbildung in Fertigungs- und Werkzeugberufen. Es vermittelt 

rechne rische Grund- und Fachkenntnisse, fördert und vertieft 

das Verständnis für technische Abläufe und technologische Zusammenhänge. 

Das Buch eignet sich sowohl für den unterrichtsbegleitenden 

Einsatz als auch zum Selbststudium. 

Zielgruppen: 

Industriemechaniker • 

Verfahrensmechaniker für 

Feinwerkmechaniker 

Kunststoff- und Kautschuk- 

Zerspanungsmechaniker 

technik 

Werkzeugmechaniker • 

Meister- und Techniker- 

• Fertigungsmechaniker 

ausbildung 

Technischer Produktdesigner 

Jeder Lernbereich bildet eine in sich geschlossene Einheit mit identischem 

methodischem Aufbau. Nach der Einführung in das Fachgebiet 

werden die notwendigen Formeln hergeleitet und erläutert. 

Nachfolgende Musterbeispiele zeigen die technische Anwendung. 

Daran schließen sich Übungsaufgaben an, die nach steigendem 

Schwierigkeitsgrad geordnet sind. Aufgaben mit höherem Schwierigkeitsgrad 

sind durch einen roten Punkt ( ) gekennzeichnet. 

Die Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung im Kapitel 8 stellen 

einen Querschnitt durch alle Stoffgebiete dar und können zur 

Leistungs kontrolle und zur Prüfungsvorbereitung verwendet werden. 

Die Projektaufgaben im Kapitel 9 unterstützen in besonderer 

Wei se die Unterrichtskonzeption nach Lernfeldern. Sie umfassen 

neben den fachmathematischen Aufgaben auch Fragen der Technologie, 

Werkstofftechnik, Steuerungstechnik und Arbeitsplanung. 

Die zahlreichen Bilder zu den Beispielen und Aufgaben sind in Form 

eines „Klebeanhanges“ erhältlich. Die „Lösungen“ zum Rechenbuch 

Metall ermöglichen nicht nur das Überprüfen der Ergebnisse, sondern 

enthalten außerdem den ausführlichen Lösungsweg der Aufgaben. 

Vorwort zur 31. Auflage 

Der Inhalt des Rechenbuches wurde dem Stand der Technik angepasst 

und um 32 Seiten erweitert. Die Kapitel wurden, soweit möglich, 

so gegliedert, dass sich die Lernfeldkonzeption im Unterricht 

umsetzen lässt. Ein Lernfeldkompass, der sich dem Inhaltsverzeichnis 

direkt anschließt, sowie ein weiterer als Einleitung zum Kapitel 

8, erleichtern die Zuordnung der Kapitel des Rechenbuches zu den 

Lernfeldern. 

Neue Kapitel: 

ISO-Passungen 

Durchlaufzeit 

Rautiefe 

Maschinenstundensatz 

Schleifen 

• Deckungsbeitrag 

Standgrößen • 

Projekt Zerspanungstechnik 

Das Kapitel 8 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung wurde 

um 9 Seiten erweitert. Zusammen mit dem Buch wird eine CD ausgeliefert, 

auf der alle Bilder gespeichert sind und heruntergeladen 

werden können. 

Kritische Hinweise und Ergänzungen, die zur Verbesserung und 

Weiterentwicklung des Buches beitragen, nehmen wir gerne entgegen 

unter der Verlagsadresse oder per E-Mail: lektorat@europalehrmittel 

de. 

Im Sommer 2012 

Die Autoren 

1 

Grundlagen der 

technischen Ma thematik 

9 ... 64 

2 Mechanik 

65 ... 102 

3 

Prüftechnik und 

Qualitätsmanage ment 

103 ... 121 

4 Fertigungstechnik 

und Fertigungsplanung 

122 ... 198 

5 Werkstofftechnik 

199 ... 217 

6 

Automati sierungstechnik 

218 ... 236 

7 Elektrotechnik 

237 ... 252 

8 

Aufgaben zur Wiederholung 

und Vertiefung 

253 ... 276 

9 Projektaufgaben 

277 ... 309 

3

4 

Inhaltsverzeichnis 


Lernfeldkompass für Industrie- und Werkzeugmechaniker 6 

Lernfeldkompass für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker 

7 

Mathematische und physikalische Begriffe 8 

1 Grundlagen der technischen Mathematik 9 

1.1 Zahlensysteme 9 

1.1.1 Dezimales Zahlensystem 9 

1.1.2 Duales Zahlensystem 9 

1.1.3 Hexadezimales Zahlensystem 10 

1.2 Grundrechnungsarten 11 

1.2.1 Variable 11 

1.2.2 Klammerausdrücke (Klammerterm) 11 

1.2.3 Strich- und Punktrechnungen 11 

1.2.4 Bruchrechnen 14 

1.2.5 Potenzieren 15 

1.2.6 Radizieren 17 

1.3 Technische Berechnungen 19 

1.3.1 Formeln (Größengleichungen) 19 

1.3.2 Zahlenwertgleichungen 19 

1.3.3 Größen und Einheiten 20 

1.3.4 Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte 20 

1.3.5 Rechnen mit physikalischen Größen 21 

1.3.6 Umrechnen von Einheiten 21 

1.3.7 Umstellen von Formeln 24 

1.3.8 Technische Berechnungen mit dem Taschenrechner 

27 

1.4 Berechnungen im Dreieck 30 

1.4.1 Lehrsatz des Pythagoras 30 

1.4.2 Winkelfunktionen 33 

• Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 33 

• Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck 37 

1.5 Allgemeine Berechnungen 39 

1.5.1 Schlussrechnung (Dreisatzrechnung) 39 

1.5.2 Prozentrechnung 40 

1.5.3 Zeitberechnungen 41 

1.5.4 Winkelberechnungen 42 

1.6 Längen, Flächen, Volumen 44 

1.6.1 Längen 44 

• Teilung gerader Längen 44 

• Kreisumfänge und Kreisteilungen 46 

• Gestreckte und zusammengesetzte Längen 47 

1.6.2 Flächen 48 

• Geradlinig begrenzte Flächen 48 

• Kreisförmig begrenzte Flächen 50 

• Zusammengesetzte Flächen 52 

• Verschnitt 53 

1.6.3 Volumen 54 

1.6.4 Masse 55 

1.6.5 Gewichtskraft 55 

1.6.6 Gleichdicke Körper, Masseberechnung mithilfe 

von Tabellenwerten 57 

1.6.7 Volumenänderung beim Umformen 60 

1.7 Diagramme und Funktionen 61 

1.7.1 Kreisdiagramm 61 

1.7.2 Balkendiagramm 61 

1.7.3 Histogramm und Paretodiagramm 61 

1.7.4 Grafische Darstellungen von Funktionen und 

Messreihen 62 

2 Mechanik 65 

2.1 Bewegungen 65 

2.1.1 Konstante Bewegungen 65 

• Konstante geradlinige Bewegungen 65 

• Durchschnittsgeschwindigkeit 65 

• Vorschubgeschwindigkeit 66 

• Kreisförmige Bewegungen 68 

2.1.2 Beschleunigte und verzögerte Bewegungen 70 

2.2 Zahnradmaße 72 

2.2.1 Stirnräder mit Geradverzahnung 72 

2.2.2 Stirnräder mit Schrägverzahnung 73 

2.2.3 Achsabstand bei Zahnrädern 74 

2.3 Übersetzungen bei Antrieben 76 

2.3.1 Einfache Übersetzungen 76 

• Zahnradtrieb mit Zwischenrad 77 

• Zahnstangentrieb 77 

2.3.2 Mehrfache Übersetzungen 79 

2.4 Kräfte 81 

2.4.1 Darstellen von Kräften 81 

2.4.2 Grafische Ermittlung von Kräften 81 

• Zusammensetzen von Kräften 81 

• Zerlegen von Kräften 82 

2.4.3 Rechnerische Ermittlung von Kräften 83 

2.5 Hebel 85 

2.5.1 Drehmoment, Hebelgesetz 85 

2.5.2 Lagerkräfte 87 

• Bauteile mit zwei Lagerstellen 87 

• Bauteile mit einer Lagerstelle 87 

2.5.3 Umfangskraft und Drehmoment 89 

2.6 Reibung 91 

2.6.1 Haft- und Gleitreibung 91 

2.6.2 Rollreibung 91 

2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 93 

2.7.1 Mechanische Arbeit 93 

• Hubarbeit 93 

• Reibungsarbeit 93 

• Feder-Spannarbeit 93 

2.7.2 Mechanische Energie 94 

• Potentielle Energie 94 

• Kinetische Energie 94 

2.7.3 Mechanische Leistung 96 

• Mechanische Leistung, allgemein 96 

• Leistung bei Drehbewegung 96 

2.7.4 Wirkungsgrad 97 

2.8 Einfache Maschinen 100 

2.8.1 Schiefe Ebene 100 

2.8.2 Keil 100 

2.8.3 Schraube 102 

3 Prüftechnik und Qualitätsmanagement 103 

3.1 Maßtoleranzen und Passungen 103 

3.1.1 Maßtoleranzen 103 

3.1.2 Passungen 105 

3.1.3 ISO-Passungen 106 

3.2 Qualitätsmanagement 109 

3.2.1 Prozesskennwerte aus Stichprobenprüfung 109 

• Median- , Modal-, arithmetischer Mittelwert 109 

• Spannweite 110 

• Standardabweichung 110 

• Urliste, Strichliste, Häufigkeitsverteilung, Histogramm 

111 

• Summenhäufigkeit 111 

• Wahrscheinlichkeitsnetz 112 

3.2.2 Statistische Berechnungen mit dem Taschenrechner 

112 

3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit 114 

• Maschinenfähigkeit 114 

• Prozessfähigkeit 115 

3.2.4 Statistische Prozesslenkung mit Qualitätsregelkarten 

118 

• Urliste und Urwertkarte 118 

• Histogramm der Häufigkeitsverteilung 118 

• Qualitätsregelkarte 119 

• Mittelwert-Standardabweichungskarte 119 

• Median-Spannweitenkarte 120 

• Prozessbewertung 120 

4 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung 122 

4.1 Spanende Fertigung 122 

4.1.1 Drehen 122 

• Schnittdaten, Anzahl der Schnitte 122 

• Drehzahl 123 

• Schnittkraft 124 

• Schnittleistung und Antriebsleistung 125 

• Rautiefe 127 

• Hauptnutzungszeit mit konstanter Drehzahl 128 

4.1.2 Bohren 130 

• Schnittdaten und Drehzahl 130 


• Schnittleistung 132 

• Hauptnutzungszeit (Bohren, Senken, Reiben) 133 

4.1.3 Fräsen 135 

• Schnittdaten 135


5 


• Schnittleistung und Antriebsleistung 137 

• Hauptnutzungszeit 139 

4.1.4 Indirektes Teilen 141 

4.1.5 Schleifen 143 

• Hauptnutzungszeit beim Längs-Rundschleifen 143 

• Hauptnutzungszeit beim Umfangs-Planschleifen 145 

4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen 147 

• Geometrische Grundlagen 147 

• Koordinatenmaße 149 

4.1.7 Hauptnutzungszeit beim Abtragen und Schneiden 153 

4.1.8 Kegelmaße 155 

4.2 Trennen durch Schneiden 157 

4.2.1 Schneidspalt 157 

4.2.2 Streifenmaße und Streifenausnutzung 159 

4.3 Umformen 161 

4.3.1 Biegen 161 

• Zuschnittermittlung 161 

• Rückfederung 163 

4.3.2 Tiefziehen 165 

• Zuschnittdurchmesser 165 

• Ziehstufen und Ziehverhältnisse 166 

4.4 Exzenter- und Kurbelpressen 168 

4.4.1 Pressenauswahl 168 

4.4.2 Schneidarbeit 168 

4.5 Spritzgießen 170 

4.5.1 Schwindung 170 

4.5.2 Kühlung 171 

4.5.3 Dosierung der Formmasse 172 

4.5.4 Kräfte 173 

4.6 Fügen 175 

4.6.1 Schraubenverbindung 175 

• mit axialer Betriebskraft 175 

• ohne Betriebskraft 177 

4.6.2 Schmelzschweißen 179 

• Nahtquerschnitt und Elektrodenbedarf 179 

4.7 Fertigungsplanung 182 

4.7.1 Standgrößen (Standzeit, Standmenge, Standweg, 

Standvolumen) 182 

4.7.2 Durchlaufzeit, Belegungszeit 183 

4.7.3 Auftragszeit 186 

4.7.4 Kostenrechnung 188 

• Einfache Kalkulation 188 

• Erweiterte Kalkulation 188 

4.7.5 Maschinenstundensatz 192 

4.7.6 Deckungsbeitrag 194 

4.7.7 Lohnberechnung 196 

5 Werkstofftechnik 199 

5.1 Wärmetechnik 199 

5.1.1 Temperatur 199 

5.1.2 Längen- und Volumenänderung 199 

5.1.3 Schwindung beim Gießen 200 

5.1.4 Wärmemenge 202 

• Wärmemenge beim Erwärmen und Abkühlen 202 

• Schmelzwärme 202 

5.2 Werkstoffprüfung 204 

5.2.1 Zugversuch 204 

• Kraft-Verlängerungs-Diagramm 204 

• Werkstoffkennwerte 204 

• Spannungs-Dehnungs-Diagramm 205 

• Dehngrenze 205 

5.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches Gesetz 207 

• bei Zugbeanspruchung 207 

• bei Federn 208 

5.3 Festigkeitsberechnungen 210 

5.3.1 Beanspruchung auf Zug 210 

5.3.2 Beanspruchung auf Druck 212 

5.3.3 Beanspruchung auf Flächenpressung 213 

5.3.4 Beanspruchung auf Abscherung, Schneiden von 

Werkstoffen 214 

5.3.5 Beanspruchung auf Biegung 216 

• Biegespannung 216 

• Biegemoment 216 

• Axiales Widerstandsmoment 216 

6 Automatisierungstechnik 218 

6.1 Pneumatik und Hydraulik 218 

6.1.1 Druck und Kolbenkräfte 218 

• Druckarten, Druckeinheiten 218 

• Luftdruck, absoluter Druck, Überdruck 218 

• Kolbenkräfte 219 

6.1.2 Prinzip der hydraulischen Presse 222 

• Kolbenkräfte und Kolbenflächen 222 

• Kolbenwege und Kolbenflächen 222 

6.1.3 Kolben- und Durchflussgeschwindigkeiten 224 

6.1.4 Leistungsberechnung in der Hydraulik 226 

6.1.5 Luftverbrauch in der Pneumatik 228 

6.2 Logische Verknüpfungen 230 

6.2.1 Grundfunktionen 230 

6.2.2 Grundverknüpfungen 231 

6.2.3 Verknüpfungen mehrerer logischer Grundfunktionen 

232 

6.2.4 Speichern von Signalen, Selbsthalteschaltungen 234 

7 Elektrotechnik 237 

7.1 Ohmsches Gesetz 237 

7.2 Leiterwiderstand 238 

7.3 Temperaturabhängige Widerstände 239 

7.4 Schaltung von Widerständen 240 

• Reihenschaltung von Widerständen 240 

• Parallelschaltung von Widerständen 241 

• Gemischte Schaltung von Widerständen 242 

7.5 Elektrische Leistung bei Gleichspannung 244 

7.6 Wechselspannung und Wechselstrom 246 

• Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz 246 

• Momentanwert von Spannung bzw. Strom 246 

• Effektivwert und Maximalwert von Spannung 

und Strom 247 

7.7 Elektrische Leistung bei Wechselstrom und bei 

Drehstrom 249 

• Wirkungsgrad 249 

7.8 Elektrische Arbeit und Energiekosten 251 

7.9 Transformator 252 

8 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung 253 

Lernfeldkompass 253 

8.1 Lehrsatz des Pythagoras, Winkelfunktionen 254 

8.2 Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichtskraft 

255 

8.3 Dreh- und Längsbewegungen, Getriebe 256 

8.4 Kräfte, Arbeit und Leistung 257 

8.5 Kräfte, Flächenpressung; Kennwerte 258 

8.6 Kräfte an Bauteilen 259 

8.7 Maßtoleranzen, Passungen und Teilen 260 

8.8 Qualitätsmanagement 1 261 

8.9 Qualitätsmanagement 2 262 

8.10 Spanende Fertigung 1 (Bohren, Senken, Reiben) 264 

8.11 Spanende Fertigung 2 (Drehen, Fräsen, Schleifen) 265 

8.12 CNC-Technik 267 

8.13 Schneiden und Umformen 268 

8.14 Fügen: Schraub-, Stift-, Passfeder- und Lötverbindungen 

269 

8.15 Wärmeausdehnung und Wärmemenge 270 

8.16 Pneumatik und Hydraulik 271 

8.17 Elektrotechnik: Grundlagen 273 

8.18 Elektrotechnik: Leistung und Wirkungsgrad 274 

8.19 Elektrische Antriebe und Steuerungen 275 

8.20 Kostenrechnung 276 

9 Projektaufgaben 277 

9.1 Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine 277 

9.2 Hubeinheit 280 

9.3 Zahnradpumpe 283 

9.4 Hydraulische Spannklaue 286 

9.5 Folgeschneidwerkzeug 289 

9.6 Tiefziehwerkzeug 292 

9.7 Spritzgießwerkzeug 295 

9.8 Qualitätsmanagement am Beispiel eines Stirnradgetriebes 

298 

9.9 Pneumatische Steuerung 301 

9.10 Elektropneumatik – Sortieren von Materialien 304 

9.11 Zerspanungstechnik 307 

Sachwortverzeichnis 310

6 Lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall 

Lernfeld 

Industrie - 

mechaniker 

1 Fertigen von Bauelementen 

mit handgeführten 

Werkzeugen 

Lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte 

im Rechenbuch Metall 

Kapitel im Rechenbuch 

1.6.1 Längen 

1.6.2 Flächen 

1.6.3 Volumen 

1.6.4 Masse 

1.6.5 Gewichtskraft 

3.1.1 Maßtoleranzen 

4.3.1 Umformen, Biegen 

Werkzeugmechaniker 

Fertigen von Bauelementen 


Werkzeugen 


1.6.1 Längen 


1.6.3 Volumen 

1.6.4 Masse 





mit Maschinen 

3.1.1 Passungen 

2.1.1 Konstante Bewegungen 

4.1.1 Drehen (v c ; n; f) 

4.1.2 Bohren (v c ; n; f) 

4.1.3 Fräsen (v c ; n; f) 

4.7.4 Kostenrechnen 


mit Maschinen 

3.1.1 Passungen 


4.1.1 Drehen (v c ; n; f) 

4.1.2 Bohren (v c ; n; f) 

4.1.3 Fräsen (v c ; n; f) 


3 Herstellen von einfachen 

Baugruppen 

2.4 Kräfte 

2.5 Hebel 

2.8 Einfache Maschinen 

Herstellen von einfachen 

Baugruppen 

2.4 Kräfte 

2.5 Hebel 


4 Warten technischer 

Systeme 

1.7 Diagramme 

7.1 Ohmsches Gesetz 

7.4 Schaltung v. Widerständen 

Warten technischer 

Systeme 

1.7 Diagramme 



5 Fertigen von Einzelteilen 

mit Werkzeugmaschinen 

3.2.1 Prozesskennwerte Stichproben 

4.1.1 Drehen (F c ; P c ; t h ) 

4.1.2 Bohren (F c ; P c ; t h ) 

4.1.3 Fräsen (F c ; P c ; t h ) 

Formgeben von Bauelementen 

durch spanende 

Fertigung 

4.1.1 Drehen (F c ; P c ; t h ) 

4.1.2 Bohren (F c ; P c ; t h ) 

4.1.3 Fräsen (F c ; P c ; t h ) 

4.1.4 Indirektes Teilen 

6 Installieren und in 

Betrieb nehmen steuerungstechnischer 

Systeme 

6.1 Pneumatik u. Hydraulik 

6.2 Logische Verknüpfungen (1) 

9.9 Projekt: Pneumatische Steuerung 

Herstellen technischer 

Teilsys teme des Werkzeugbaus 

4.3.1 Biegen, Rückfedern 

4.3.2 Tiefziehen 

4.4 Exzenter- und Kurbelpressen 

7 Montieren von technischen 

Teilsystemen 

5.3 Festigkeitsberechnungen 

2.5.2 Lagerkräfte 

5.2.1 Zugversuch 

Fertigen mit numerisch 

gesteuerten Werkzeugmaschinen 

1.4 Berechnungen im Dreieck (1) 

4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen (1) 

8 Fertigen auf numerisch 


1.4 Berechnungen im Dreieck 

4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen 

Planen und in Betrieb 

nehmen steuerungstechnischer 

Systeme 

6.1 Pneumatik und Hydraulik 

6.2 Logische Verknüpfungen 


7.2 Leiterwiderstand 

9 Instandsetzen von technischen 

Sys temen 

2.6 Reibung 

5.1 Wärmetechnik (2) 

4.7.4 Kostenrechnung (2) 

Herstellen von formgebenden 

Werkzeugoberflächen 

4.1.7 Hauptnutzungszeit beim Schneiden 

2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 

7.6 Wechselspannung und Wechselstrom 

10 Herstellen und in Betrieb 

nehmen von technischen 

Systemen 

2.2 Zahnradmaße 

2.3 Übersetzungen 

2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 

7.6 Wechselspannung und Wechselstrom 

7.7 El. Leistung 

7.8 El. Energiekosten 


in der rechnergestützten 

Fertigung 


4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen (2) 

11 Überwachen der 

Produkt- und Prozessqualität 

3.2 Qualitätsmanagement 

9.8 Projekt: Qualitätsmanagement am 

Bsp. eines Stirnradgetriebes 

Herstellen der technischen 

Sys teme des 

Werkzeugbaus 

4.2 Trennen durch Schneiden 

5.2 Werkstoffprüfung 


12 Instandhalten von technischen 

Sys temen 

5.2 Werkstoffprüfung 


In Betrieb nehmen und 

Instandhalten von technischen 

Systemen des 

Werkzeugbaus 

3.2 Qualitätsmanagement (1) 

7.7 El. Leistung 

7.8 El. Energiekosten 

9.5 Projekt: Folgeschneidwerkzeug 

13 Sicherstellen der Betriebsfähigkeit 

automatisierter 

Systeme 

6.2 Logische Verknüpfungen (2) 


9.10 Projekt: Elektropneumatik 

Planen und Fertigen 

technischer Systeme 

des Werkzeugbaus 

4.5 Spritzgießen 

9.7 Projekt: Spritzgießwerkzeug 

9.6 Projekt: Tiefziehwerkzeug 

14 Planen und Realisieren 


9.1 Projekt: Vorschubantrieb einer CNC- 

Fräsmaschine 

9.2 Projekt: Hubeinheit 

Ändern und Anpassen 


des Werkzeugbaus 

3.2 Qualitätsmanagement (2) 


Bsp. eines Stirnradgetriebes 

15 Optimieren von technischen 

Systemen 

9.3 Projekt: Zahnradpumpe 

9.4 Projekt: Hydraulische Spannklaue 

– –

Lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall 7 

Lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall 

Lernfeld 

Zerspanungsmechaniker 


Feinwerkmechaniker 




Werkzeugen 


mit Maschinen 

3 Herstellen von einfachen 

Baugruppen 

4 Warten technischer 

Systeme 

5 Herstellen von Bauelementen 

durch spanende 

Fertigungsverfahren 

6 Warten und Inspizieren 

von Werkzeugmaschinen 

7 In Betrieb nehmen 

steuerungstechnischer 

Systeme 

8 Programmieren und 

Fertigen mit numerisch 


9 Herstellen von Bauelementen 

durch Feinbearbeitungsverfahren 

10 Optimieren des Fertigungsprozesses 

11 Planen und Organisieren 

rechnergestützter 

Fertigung 

12 Vorbereiten und Durchführen 

eines Einzelfertigungsauftrages 

13 Organisieren und 

Überwachen von Fertigungsprozessen 

in der 

Serienfertigung 

1.6.1 Längen 


1.6.3 Volumen 

1.6.4 Masse 




3.1.2 Passungen (1) 


4.1.1 Drehen (v c ; n; f) 

4.1.2 Bohren (v c ; n; f) 

4.1.3 Fräsen (v c ; n; f) 


2.4 Kräfte 

2.5 Hebel 


1.7 Diagramme 



3.1 Passungen (2) 

4.1.1 Drehen (F c ; P c ; t h ) 

4.1.2 Bohren (F c ; P c ; t h ) 

4.1.3 Fräsen (F c ; P c ; t h ) 

4.7.1 Standzeit, -menge, -weg 

4.7.2 Durchlauf-, Belegungszeit 

5.3.3 Flächenpressung 

2.5.2 Lagerkräfte 

2.6 Reibung 



9.3 Projekt: Zahnradpumpe 


3.2.1 Qualitätsmanagement 

4.1.5 Schleifen (t h ) 

4.1.7 Abtragen und Schneiden (t h ) 

3.1.3 ISO-Passungen 

2.7.3 Mechanische Leistung 

3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit 

4.1 Spanende Fertigung (Schnittleis tung, 

Hauptnutzungszeit) 

4.7 Fertigungsplanung 

3.2.4 Statistische Prozesslenkung 

(Urliste, Histogramm, Qualitätsregelkarte, 

Standardabweichung, 

Prozessbewertung). 

4.1 Spanende Fertigung: Schnittdaten, 

Schnittkräfte 

9.4: Projekt Hydraulische Spannklaue 

4.7.5 Maschinenstundensatz 

4.7.6 Deckungsbeitrag 

9.11 Projekt: Zerspanungsmechanik 


Beispiel eines Stirnradgetriebes 



Werkzeugen 


mit Maschinen 

Herstellen von einfachen 

Baugruppen 

Warten technischer 

Systeme 

Herstellen von Drehund 

Frästeilen 

Programmieren und 

Fertigen auf numerisch 


Herstellen technischer 

Teilsysteme 

Planen und in Betrieb 

nehmen steuerungstechnischer 

Systeme 

Instandhalten von Funktionseinheiten 

Feinbearbeiten von 

Flächen 

Herstellen von Bauteilen 

und Baugruppen aus 

Kunststoff 

Planen und Organisieren 

rechnergestützter 

Fertigung 

Instandhalten technischer 

Systeme 

14 – – Fertigen von Schweißkonstruktionen 

1) 

15 – – Montieren, Demontieren 

und in Betrieb nehmen 

technischer Systeme 1) 

16 – – Programmieren automatisierter 

Systeme und 

Anlagen 1) 

1) Schwerpunkt Maschinenbau 

1.6.1 Längen 


1.6.3 Volumen 

1.6.4 Masse 






4.1.1 Drehen (v c ; n; f) 

4.1.2 Bohren (v c ; n; f) 

4.1.3 Fräsen (v c ; n; f) 


2.4 Kräfte 

2.5 Hebel 


1.7 Diagramme 




4.1.1 Drehen (F c ; P c ; t h ) 

4.1.2 Bohren (F c ; P c ; t h ) 

4.1.3 Fräsen (F c ; P c ; t h ) 



4.7.5 Maschinenstundensatz 

4.7.6 Deckungsbeitrag 

5.2.1 Zugversuch 

5.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches 

Gesetz 

5.1.2 Längen- und Volumenänderung 


2.5.2 Lagerkräfte (1) 

2.6 Reibung 




9.10 Projekt: Elektropneumatik 

2.5.2 Lagerkräfte (2) 

4.7.1 Standzeit, -menge, -weg 

4.7.2 Durchlauf-, Belegungszeit 


4.1.5 Schleifen (t h ) 

4.1.7 Abtragen und Schneiden 

4.7.3 Auftragszeit 

4.7.4 Kostenrechnung 

4.5 Spritzgießen 

9.7 Projekt: Spritzgießwerkzeug 

9.5 Projekt: Folgeschneidwerkzeug 

3.2.1 Prozesskennwert aus Stichprobenprüfung 

3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit 

4.1 Spanende Fertigung (Schnittleis tung, 

Hauptnutzungszeit) 

4.7 Fertigungsplanung 

4.6.2 Schmelzschweißen 

8.14 Fügen (Lötverbindungen) 

2.7 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad 

3.2 Qualitätsmanagement 

7 Elektrotechnik 

8.8 + 8.9 Qualitätsmanagement 

9.10 Projekt: Elektropneumatik

8 

Mathematische und physikalische Begriffe 

Mathematische und physikalische Begriffe 

Begriffe Erklärung Beispiele 

Größen und Einheiten 

Physikalische 

Größen 

Physikalische Größen sind objektiv messbare Eigen schaften 

von Zuständen und Vorgängen. Eine physi kalische Größe ist 

das Produkt eines Zahlenwertes mit einer Einheit. 

Bei der länge Œ = 30 mm ist 

30 der Zahlenwert und mm 

(Millimeter) die Einheit. 

Basisgröße 

Man unterscheidet Basisgrößen und Basiseinheiten. Sie sind 

im internationalen Einheitensystem (Sl = Système International) 

festgelegt. 

Basisgröße 

länge 

Masse 

Formelzeichen 

Œ 

m 

Basiseinheit Basiseinheit Zeichen 

Meter 

Kilogramm 

m 

kg 

Abgeleitete 

Größen und 

abgeleitete 

Einheiten 

Umrechnung 

von Einheiten 

Gleichungen 

Formeln 

Formel zeichen 

Größengleichungen 

Zahlenwertgleichungen 

Konstanten 

Koeffizienten 

Runden 

Die abgeleiteten Größen und deren Einheiten setzen sich aus 

den Basisgrößen und deren Einheiten zu sammen. 

Einheiten können in größere oder kleinere Einheiten oder andere 

Maßsysteme umgerechnet werden. 

Gleichungen und Formeln 

Gleichungen beschreiben die Abhängigkeit mathe matischer 

oder physikalischer Größen voneinander. 

technische oder physikalische Gleichungen mit Formelzeichen 

bezeichnet man als Formeln. 

Formelzeichen bestehen aus kursiv gedruckten Buchstaben 

und kennzeichnen Größen. Sie ersetzen Wörter und dienen 

zum Rechnen mit Formeln. 

Größengleichungen stellen Beziehungen zwischen physikalischen 

Größen dar. Sie sind unabhängig von der Wahl 

der Einheit und können Zahlenwerte, z.B. p, mathematische 

Zeichen, z.B. 022, enthalten. 

Kennzeichnung in diesem Buch: rote Umrandung. 

Die Zahlenwerte aller Formelzeichen sind an vorge gebene Einheiten 

gebunden. Der Zahlenwert des Ergebnisses erhält die 

gewünschte Einheit nur dann, wenn alle Zahlenwerte der Gleichung 

in den jeweils vorgeschriebenen Einheiten eingesetzt 

werden. Kennzeichnung in diesem Buch: graue Umrandung. 

Zahlenwerte 

Konstanten sind gleichbleibende Zahlenwerte oder Größen 

bei Berechnungen in der Mathematik und Physik. 

Koeffizienten sind Größen, die den Einfluss einer Stoffeigenschaft 

auf einen physikalischen Vorgang kennzeichnen. 

Es gilt DIN 1333: Ist die über die angegebene Stel lenzahl 

hinausgehende Ziffer = 5 oder > 5, wird auf gerundet. Ist die 

Ziffer < 5, wird abgerundet. 

Kraft = Masse · Beschleunigung 

· 

1N 1kg · 

m kg m 

= = 1 

s2 s2 

1 000 g 

1kg = 1kg · = 1 000 g 

1 kg 

1 — = 1dm 

3 = 10 d— = 0, 001 m 3 

16 + 9 = 100 – 75 

x + 15 = 25 

s = v · t 

(Weg = Geschwindigkeit • Zeit) 

m für Masse 

A für Fläche 

A 

d = 4·p 

P Q · 

= 

p 

600 

P in kW 

Q in —/min 

p in bar 

p = 3,141 592 654... (Kreiszahl) 

c fi 300 000 km/s (lichtgeschwindigkeit 

im Vakuum) 

a = 0,000 012 1/K 

(a = längenausdehnungs - 

koeffi zient für Stahl) 

25,5 N fi 26 N 

18,79 kg fi 18,8 kg 

164,4 cm 3 fi 164 cm 3

Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme 

9 

1 Grundlagen der technischen Mathematik 

1.1 Zahlensysteme 

Beim Rechnen wird allgemein das dezimale Zahlensystem 

verwendet. Die elektronische Datenverarbeitung 

(EDV) und die Automatisierungstechnik 

bauen jedoch auf dem dualen und hexadezimalen 

Zahlemsystem auf, weil die elektronischen Bauelemente 

nur binäre 1) Informationen, d. h. die Zustände 

0 und 1, verarbeiten können. 

Zahlensysteme setzen sich aus der Basis und den 

Zeichen zusammen (Tabelle 1). 

Bezeichnungen: 

z 10 Kurzzeichen für eine Dezimalzahl 2) 

z 2 Kurzzeichen für eine Dualzahl 3) 

z 16 Kurzzeichen für eine Hexadezimalzahl 2) 

1.1.1 Dezimales Zahlensystem 

Beim dezimalen Zahlensystem werden die Ziffern 

0 bis 9 verwendet. Alle Zahlen können als Zehnerpotenzen 

geschrieben werden. 

Beispiel: Dezimalzahl z 10 = 857 

z 10 = 8 · 10 2 + 5 · 10 1 + 7 · 10 0 

= 800 + 50 + 7 = 857 

Die Zehnerpotenzen werden nicht geschrieben, 

sondern nur die Faktoren (Tabelle 2). 

1.1.2 Duales (binäres) 

Zahlensystem 

Beim dualen Zahlensystem werden lediglich die 

Ziffern „0“ und „1“ verwendet. Alle Zahlen werden 

als Potenzen der Basis 2 dargestellt (Tabelle 2). 

Umwandlung von Dezimal- in Dualzahlen 

Beispiel: Die Dezimalzahl z 10 = 14 ist in eine Dualzahl 

umzuwandeln. 

Lösung: Die Dezimalzahl wird durch die höchstmögliche 

Zweierpotenz dividiert (Tabelle 3). Der 

verbleibende Rest wird wiederum durch die 

höchstmögliche Zweierpotenz dividiert, usw. 

Die Zweierpotenzen werden nicht geschrieben, 

sondern nur die Faktoren: z 2 = 1110 

Umwandlung von Dual- in Dezimalzahlen 

Beispiel: Die Dualzahl z 2 = 1101 ist in eine Dezimalzahl 

umzuwandeln. 

Lösung: Sämtliche Ziffern der Dualzahl erhalten unterschiedliche 

Zweierpotenzen. Die letzte 

Ziffer wird mit der Potenz 2 0 , die vorletzte 

mit 2 1 , die davor mit 2 2 usw. multipliziert. 

Danach werden die Potenzwerte berechnet 

und addiert (Tabelle 4). 

1) binär (lat.) aus zwei Einheiten bestehend 

2) hexa (griech.) = sechs, dezimal (lat.) = 10 

3) dual (lat.) aus zwei Einheiten bestehend 

Tabelle 1: Zahlensysteme 

Zahlensystem Basis Zeichen 

Dual 2 0, 1 

Dezimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 

Hexadezimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 

A, B, C, D, E, F 

Tabelle 2: Dezimal-, Dual- und Hexadezimalzahlen 

Zahlen im 

Dezimalsystem 

Zahlen im Dualsystem 

Zweierpotenzen 

Zahlen im 

Hexadezimalsystem 

Zehnerpotenzen 

Sechzehnerpotenzen 

10 1 10 0 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 16 2 16 1 16 0 

0 0 0 0 0 0 0 

1 0 0 0 0 1 1 

2 0 0 0 1 0 2 

3 0 0 0 1 1 3 

4 0 0 1 0 0 4 

5 0 0 1 0 1 5 

6 0 0 1 1 0 6 

7 0 0 1 1 1 7 

8 0 1 0 0 0 8 

9 0 1 0 0 1 9 

1 0 0 1 0 1 0 A 

1 1 0 1 0 1 1 B 

1 2 0 1 1 0 0 C 

1 3 0 1 1 0 1 D 

1 4 0 1 1 1 0 E 

1 5 0 1 1 1 1 F 

1 6 1 0 0 0 0 1 0 

Tabelle 3: Umwandlung einer Dezimalzahl in 

eine Dualzahl 

Rechenvorgang 2 3 2 2 2 1 2 0 

14 : 2 3 = 14 : 8 = 1 (Rest 6) 1 

16 : 2 2 = 16 : 4 = 1 (Rest 2) 1 

12 : 2 1 = 12 : 2 = 1 (Rest 0) 1 

10 : 2 0 = 10 : 1 = 0 (Rest 0) 0 

Ergebnis: z 2 = 1 1 1 0 

Tabelle 4: Umwandlung einer Dualzahl in eine 

Dezimalzahl 

z 2 1 1 0 1 

Zweierpotenz 1 · 2 3 1 · 2 2 0 · 2 1 1 · 2 0 

Potenzwert 8 4 0 1 

z 10 = 8 + 4 + 0 + 1 

z 10 = 13

10 

Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme 

1.1.3 Hexadezimales Zahlensystem 

Bei Mikroprozessoren verwendet man häufig auch das hexadezimale Zahlensystem. Bei diesem werden 

neben den Ziffern 0 bis 9 auch die Buchstaben A bis F benützt. Es hat den Vorteil, dass we niger Zeichen 

benötigt werden, als dies beim dezimalen und dualen Zahlensystem der Fall ist. 

Die Zahlen werden in Potenzen der Basis 16 angegeben (Tabelle 2, vorherige Seite), z. B. z 16 = 1A (≙ z 10 

= 26). 

Umwandlung von Dezimalzahlen in 

Hexa dezimalzahlen 

Beispiel: Die Dezimalzahl z 10 = 2007 ist in eine Hexadezimalzahl 

umzuwandeln. 

Lösung: Die Dezimalzahl wird durch die höchstmögliche 

16er-Potenz dividiert. Der verbleibende 

Rest wird wiederum durch die höchstmögliche 

16er-Potenz dividiert usw. Ist der 

Rest schließlich nicht mehr ganzzahlig durch 

16 teilbar, wird er in einer entspre chenden 

Hexadezimalziffer ausgedrückt (Tabelle 1). 

Tabelle 1: Umwandlung einer Dezimalzahl in 

eine Hexadezimalzahl 

Rechenvorgang 

2007 : 16 2 = 7 Rest 215 7 

16er-Potenzen 

16 2 16 1 16 0 

215 : 16 1 = 13 (≙ D) Rest 7 D 

7 : 16 0 = 7 7 

z 16 = 7 D 7 

Umwandlung von Hexadezimalzahlen in 

Dezimalzahlen 

Beispiel: Die Hexadezimalzahl z 16 = A2F ist in eine Dezimalzahl 

umzuwandeln. 

Lösung: Sämtliche Ziffern der Hexadezimalzahlen 

erhalten unterschiedliche 16er Potenzen 

gemäß Tabelle 2. Die letzte Ziffer wird mit 

der Potenz 16 0 , die vorletzte mit der Potenz 

16 1 , die davor mit der Potenz 16 2 usw. multipliziert. 

Danach werden die Potenzwerte 

berechnet und addiert. 

Tabelle 2: Umwandlung einer Hexadezimalzahl 

in eine Dezimalzahl 

z 16 A 1) 2 F 2) 

16er-Potenz 10 · 16 2 2 · 16 1 15 · 16 0 

Potenzwert 2 560 32 15 

Dezimalzahl z 10 = 2 560 + 32 + 15 = 2 607 

1) A ‡ 10; 2) F ‡ 15 

Aufgaben 

Zahlensysteme 

1. Umwandlung von Dezimalzahlen (Tabelle 3). Die Dezimalzahlen sind in Dualzahlen sowie in Hexadezimalzahlen 

umzuwandeln. 

Tabelle 3 a b c d e f g h i 

Dezimalzahl 24 30 48 64 100 144 150 255 2000 

2. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 4). Wandeln sie die folgenden Dualzahlen in Dezimalzah len 

um. 

Tabelle 4 a b c d e f 

Dualzahl 100 10 10 1 11 11 110011 11 110000 11 11 11 11 

3. Umwandlung von Hexadezimalzahlen (Tabelle 5). Die Hexadezimalzahlen sind in Dezimalzah len und 

in Dualzahlen umzuwandeln. 


Hexadezimalzahl 68 A0 96 8F ED FF 

4. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 6). Die Dualzahlen sind in Hexadezimalzahlen umzuwandeln. 


Dualzahlen 10 10 10 11 10 00 1100 1100 11100011 10010010 10000111

Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 

11 

1.2 Grundrechnungsarten 

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zählen zu den Grundrechnungsarten. In diesem Abschnitt 

werden außerdem das Potenzieren, Radizieren (Wurzelziehen) und das Bruchrechnen behan delt. 

Die Einführung der Rechenregeln wird mit Zahlenbeispielen erläutert. Die daraus abgeleiteten Beispiele 

aus der Algebra führen in das technische Rechnen mit Formeln ein. 

1.2.1 Variable 

In der Algebra werden Variable (Platzhalter) eingesetzt, 

die beliebige Zahlenwerte darstellen können 

(Tabelle 1). Als Variable werden meist Kleinbuchstaben 

verwendet. 

Tabelle 1: Schreibweisen von Variablen 

Zeichen 

Das Multiplikationszeichen zwischen Zahl 

und Variable kann weggelassen werden 

Der Faktor 1 wird meist nicht geschrieben 

Beispiele 

3 · a = 3a 

a · b = ab 

1 · b = b 

1.2.2 Klammerausdrücke (Klammerterm) 

Mathematische Ausdrücke können mit Klammern zusammengefasst werden. Die in Klammern stehenden 

Werte müssen zuerst berechnet werden. Die Rechenregeln sind in Tabelle 2 beschrieben. 

Tabelle 2: Klammerausdrücke 

Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel 

Pluszeichen vor der Klammer 

Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelas sen 

werden. Die Vorzeichen der Glieder bleiben unverändert. 

Minuszeichen vor der Klammer 

Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, können nur auf gelöst 

(weggelassen) werden, wenn alle Glieder in der Klammer entgegengesetzte 

Vorzeichen erhalten. 

16 + (9 – 5) 

= 16 + 9 – 5 

= 20 

16 – (9 – 5) 

= 16 – 9 + 5 

= 12 

a + (b – c) 

= a + b – c 

a – (b – c) 

= a – b + c 

1.2.3 Strich- und Punktrechnungen 

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können auf Grund ihrer Rechenzeichen in Strich- 

(–, +) und Punktrechnungen (·, :) unterteilt werden. 

Strichrechnungen 

Zu den Strichrechnungen zählen die Addition und die Subtraktion. Die Rechenregeln für Strichrechnungen 

können Tabelle 3 entnommen werden. 

Tabelle 3: Rechenregeln für die Strichrechnungen 


Vertauschungsgesetz 

Zahlen und Buchstaben können ver tauscht werden. 

Zusammenfassung 

Einzelne Glieder können zu Teilsum men zusammengefasst 

werden. 

Summieren von Variablen 

Nur gleiche Variable können addiert oder subtrahiert 

werden. 

3 – 9 + 7 

= 7 + 3 – 9 

= –9 + 3 + 7 

= 1 

3 + 7 – 9 

= (3 + 7) – 9 

– 

a – b + c 

= a + c – b 

= –b + a + c 

a + b – c 

= (a + b) – c 

18a – 3a + 2b – 5b 

= 15a – 3b

12 


Punktrechnungen 

Multiplikationen und Divisionen bezeichnet man als Punktrechnungen. Die Rechenregeln für die Multiplikation 

sind in der Tabelle 1 zusammengestellt. 

Tabelle 1: Rechenregeln für die Multiplikation 


Vertauschungsgesetz: 

Faktoren dürfen vertauscht werden. 

Gleiche Vorzeichen 

Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so wird 

das Produkt positiv; + mal + = +; – mal – = + 

Ungleiche Vorzeichen 

Haben zwei Faktoren verschiedene Vorzeichen, so 

wird das Produkt negativ; – mal + = –; + mal – = – 

Faktor mit Klammer: 

Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor multipliziert, 

in dem man jedes Glied der Klammer mit 

dem Faktor multipliziert. Wenn möglich, sollte man 

zuerst den Inhalt der Klammer zusammenfassen 

und dann den Wert der Klammer mit dem Faktor 

multiplizieren. 

Klammer mit Klammer 

Zwei Klammerausdrücke werden miteinander multipliziert, 

indem man jedes Glied der einen Klammer 

mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. 

Bei Zahlen können auch zuerst die Klammerausdrücke 

berechnet und danach kann das Produkt 

gebildet werden. 

3 · 4 · 5 = 4 · 3 · 5 

= 5 · 3 · 4 = 5 · 4 · 3 

Vorzeichenregeln 

2 · 5 = 10 

(–2) · (–5) = +10 = 10 

3 · (–8) = –24 

(–3) · 8 = –24 

Produkte mit Klammern 

7 · (4 + 5) 

= 7 · 4 + 7 · 5 

= 63 

oder: 

7 · (4 + 5) 

= 7 · 9 = 63 

(3 + 5) · (10 – 7) 

= 3 · 10 + 3 · (–7) + 5 · 10 + 5 · (–7) 

= 30 – 21 + 50 – 35 

= 24 

oder: 

(3 + 5) · (10 – 7) 

= 8 · 3 = 24 

a · b · c = b · a · c 

= c · a · b = c · b · a 

a · x = ax 

(–a) · (–x) = +ax = ax 

a · (–x) = –ax 

(–a) · x = –ax 

a · (b + 2b) 

= a · 3b 

= 3ab 

(a + b) · (c – d) 

= ac – ad + bc – bd 

Die Rechenregeln für die Division sind in Tabelle 2 dargestellt. Das Rechenzeichen für die Division ist 

der Doppelpunkt (:) oder der Bruchstrich. 

Tabelle 2: Rechenregeln für die Division 


Bruchstrich entspricht Klammer 

Der Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusam men 

wie eine Klammer und ersetzt das Divisionszeichen. 

Vertauschungsgesetz gilt nicht! 

Zähler und Nenner dürfen nicht vertauscht werden. 

Gleiche Vorzeichen 

Haben Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen, so ist das 

Ergebnis positiv. 

+ geteilt durch + = + 

– geteilt durch – = + 

Vorzeichenregel 

Ungleiche Vorzeichen 

Haben Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen, so ist 

das Ergebnis negativ. 

+ geteilt durch – = – 

– geteilt durch + = – 

Klammerausdrücke 

Klammer geteilt durch Wert 

Ein Klammerausdruck wird durch einen Wert (Zahl, Buch stabe, 

Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes ein zelne Glied in 

der Klammer durch diesen Wert dividiert. Man kann auch den 

Klammerausdruck erst berechnen und danach dividieren. 

3+ 4 

a+ b a b 

= ( 3 + 4 ): 2 = 3,5 = + 

2 

2 2 2 

3: 4≠ 

4: 

3 

3 4 

≠ 

4 3 

15 

3 

= 15 : 3 = 5 

−15 

= ( −15):( − 3) 

= +5 

−3 

15 

= 

– 3 15 :( − 3 ) = –5 

−15 

3 

= ( − 15): 

3 = –5 

(16 – 4) : 4 

= 16 : 4 – 4 : 4 

= 4 – 1 = 3 

oder 

(16 – 4) = 12 : 4 = 3 

a: b ≠ b: 

a 

a b 

≠ 

b a 

a 

b 

–a 

–b 

a 

–b 

–a 

b 

a 

= 

b 

a 

= 

b 

a 

= – 

b 

a 

= – 

b 

a– 

b a b 

= – = a b b b b –1

Gemischte Punkt- und Strichrechnungen 

Kommen in einer Rechnung sowohl Strich- als auch Punktrechnungen oder Klammern vor, so ist die 

Reihenfolge der Lösungsschritte zu beachten. Die Rechenregeln sind in Tabelle 1 zusammengestellt. 

Tabelle 1: Rechenregeln für gemischte Punkt- und Strichrechnungen 

Reihenfolge der Lösungsschritte Zahlenbeispiele Algebraische Beispiele 

1. Punktrechnungen 

2. Strichrechnungen 


8 · 4 – 18 · 3 

= 32 – 54 

= –22 

3a · 2b – 4a · 6b 

= 6ab – 24ab 

= –18ab 

13 

Klammerausdrücke sowie gemischte 

Punkt- und Strichrechnungen: 

1. Klammern 

2. Punktrechnungen 

3. Strichrechnungen 

16 

4 

20 18 

+ − = 4+ 4− 6 =2 

5 3 

8 · (3 – 2) + 4 (16 – 5) 

= 8 · 1 + 4 · 11 

= 8 + 44 = 52 

16a 

4 

3b 

6c 

+ − = 4a 

+ 3− 3 =4a 

b 2c 

a · (3x + 5x) – b · (12y – 2y) 

= a · 8x – b · 10y 

= 8ax – 10by 

Aufgaben 

Gemischte Punkt- und Strichrechnungen 

Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 5 sind zu berechnen und auf 2 Dezimalstellen nach dem Komma zu 

runden. 

1. a) 217,583 – 27,14 · 0,043 + 12 

c) 7,1 + 16,27 + 14,13 · 17,0203 

e) 857 – 3,52 · 97,25 – 16,386 + 1,1 

b) 16,25 + 14,12 · 6,21 

d) 74,24 – 1,258 · 12,8 

f) 119,2 + 327,351 – 7,04 · 7,36 

2. a) 17,13 + 13,25 + 15,35 : 2 b) 34,89 + 241,17 : 21,35 – 12,46 : 2,2 

3. a) 243 : 0,04 – 92,17 – 13,325 + 124,3 : 3,5 b) 507 : 0,05 – 261,17 – 114,325 + 142,3 : 18,4 

4. a) 18 · (–5) + (–3) · (–7) 

−96 

65 

c) + 

16 − 15 

b) 120 : (–6) – (–15) : 5 

148 85 

d) − − 

37 17 

5. 24, 

75 + 15 38, 7− 

2, 

08 44, 2 · 131 , 

a) 

+ 

− 

12, 

6 036 , 20, 

05 −17 , 

, , 

c) ( 23, 7 2, 8)· 

15 1 − 

− 

3 7 

16, 

9 

b) 

d) 

34 2 23 , 4 − 8 , 6 13, 8+ 

227 , 

, · − 

· 20, 

6 

24 , 27 − 35 , 

25 ·( 20, 1−1658 

, ) 

( 34, 85 − 297 , )· 4, 

6 

Die Ergebnisse der Aufgaben 6 bis 8 sind zu berechnen. 

6. a) 3a · 4b – 10a · 2b 

c) –8m · 2n + 7,5m · (–2n) 

b) 25x · (–10y) + 13x · (–5y) 

d) (–16a) · (–5c) – (–5a) · (–2c) 

7. 30x 

15x 

a) + 

10y 

2y 

75 , x 33x 

c) + 

25 , y 22y 

b) 

d) 

12m 

30m 

− 

15n 

15 , n 

−2x 

− − 15x 

−8y 

−60y 

8. a) –3a · (8x – 5x) – 2a · (20x – 12x) b) –3x · (8x – 5x) + 3x · (–12x – 33x)

14 

1.2.4 Bruchrechnen 

Der Bruchterm ist ein Zahlenverhältnis und besteht aus dem Zähler 

und dem Nenner. Der Nenner ist die Bezugsgröße und gibt die Gesamtheit 

der Teile an. Der Zähler bezeichnet die Anzahl der Teile. 

Das Bruchrechnen wird in der technischen Mathematik z. B. bei Teilkopf, Kegel oder Wechselräderberechnungen 

angewandt. Es wird hier nur so weit behandelt, als es für die genannten Anwendungen 

notwendig ist. In Tabelle 1 sind verschiedene Arten von Brüchen aufgeführt. 

Tabelle 1: Brucharten 

Art Beispiel Kennzeichen Wert Bild 

Echter Bruch 

Unechter Bruch 

Gemischte Zahl 


1 

3 

5 

4 

1 1 4 

Zähler < Nenner Nenner >1 

Ganze Zahl und ein 

echter Bruch 

>1 

Bruchterm 

Zähler 3 

= = = 

Nenner 4 

1 3 

2 

4 

1 

5 

1 

075 , 

Dezimalbruch 0,75 Dezimalkomma

ö 

ö 

1.2.5 Potenzieren 


15 

Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann abgekürzt geschrieben 

werden. Die abgekürzte Schreibweise nennt man Potenz; 

der Rechenvorgang wird als Potenzieren bezeichnet. Eine Potenz 

(Bild 1) besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten 

(Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst 

multipliziert werden muss. 

Man unterscheidet Potenzen mit positiven und Potenzen mit negativen 

Exponenten. 

Exponent 

5 · 5 · 5 = 5 3 = 125 

Basis Potenzwert 

Bild 1: Potenz 

Potenzen mit positiven Exponenten 

Beispiele: Fläche des Quadrats A = Œ · Œ = Œ 2 

(Bild 2) = 5 mm · 5 mm = (5 mm) 2 = 25 mm 2 

Volumen des Würfels V = Œ · Œ · Œ = Œ 3 

(Bild 3) = 5 mm · 5 mm · 5 mm = (5 mm) 3 

= 125 mm 3 

ö 2 

ö 

Bild 2: Quadrat 

5 2 

5 

5 

Auch Produkte, Brüche oder Klammerausdrücke können die Basis 

von Potenzen sein. 

Beispiele: Produkt: (5a) 2 = 5a · 5a = 25a 2 

oder (5a) 2 = 5 2 · a 2 = 5 · 5 · a · a = 25a 2 

Bruch: 

33 

3 3 3 27 

b = · · 

3 b · b · b = 

b3 

ö 3 

ö 

ö 

5 3 

5 

5 

5 

Klammer: (a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 

Bild 3: Würfel 

Potenzen mit negativen Exponenten 

Eine Potenz, die im Nenner steht, kann auch mit einem negativen 

Exponenten im Zähler geschrieben werden. Umgekehrt kann eine 

Potenz mit negativem Exponenten im Zähler als Potenz mit positivem 

Exponenten im Nenner geschrieben werden. 

1 

1 

10 1 10 100 1000 

10 –2 10 –1 10 0 10 1 10 2 10 3 

Beispiele: 

1 

1 

= 4−2 15− 3 = ; 15 km ·h − 1 km 

= 15 

42 

153 

h 

Bild 4: Zehnerpotenzen 

1 1 

= a−n; 

= −1 

g 

an 

min min ; · −1 

kW · h 

Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen) 

Potenzen mit der Basis 10 werden häufig als verkürzte Schreibweise 

für sehr kleine oder sehr große Zahlen verwendet. Werte größer 

1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten, 

Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem 

Exponenten dargestellt werden (Bild 4 und Tabelle 1). 

Die Zahl vor der Zehnerpotenz wird meist im Bereich zwischen 1 

und 10 angegeben. 

Beispiele: 4 200 000 = 4,2 · 1 000 000 = 4,2 · 10 6 

0,000 0042 = 4,2 · 0,000 001 = 4,2 · 10 –6 

( ) = 

g 

kW · h 

Die Schreibweise 4,2 · 10 6 ist übersichtlicher als 0,42 · 10 7 oder 42 · 10 5 . 

Tabelle 1: Zehnerpotenzen 

Schreibweise als 

ausgeschriebene 

Zahl 

1 000 000 

100 000 

10 000 

1 000 

100 

10 

1 

0,1 

0,01 

0,001 

0,000 1 

0,000 01 

0,000 001 

Zehnerpotenz 

Vorsatz 

bei 

Einheiten 

10 6 Mega (M) 

10 5 – 

10 4 – 

10 3 kilo (k) 

10 2 hekto (h) 

10 1 deka (da) 

10 0 – 

10 –1 deci (d) 

10 –2 centi (c) 

10 –3 milli (m) 

10 –4 – 

10 –5 – 

10 –6 mikro (µ)

16 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 

Beim Rechnen mit Potenzen gelten besondere Regeln (Tabelle 1): 

Tabelle 1: Potenzieren 

Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel Formel 

1. Addition und Subtraktion von 

Potenzen 

Potenzen dürfen nur dann addiert 

oder subtrahiert werden, wenn sie 

sowohl denselben Exponenten als 

auch dieselbe Basis haben. 

2 · 5 2 + 4 · 5 2 

= 5 2 · (2 + 4) 

a 3 + a 3 = 2a 3 

= 5 2 · 6 

7 4 3 

− = = 3 · d −n 

2 1 1 

− = = 3 − 2 dn dn dn 

32 32 32 

ax n + bx n 

= (a + b) · x n 

a b a b 

+ = + 

x n x n x n 

= ( a+ b)· 

x −n 

2. Multiplikation von Potenzen mit 

gleicher Basis 

Potenzen mit gleicher Basis werden 

multipliziert, indem man die 

Exponenten addiert und die Basis 

beibehält. 

x 4 · x 2 

3 2 · 3 3 

= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 

= 3 5 

oder: 

3 2 · 3 3 

= 3 (2 + 3) = 3 5 = x · x · x · x · x · x 

= x 6 

oder: 

x 4 · x 2 

= x (4 + 2) = x 6 x m · x n = x m + n 


gleichem Exponenten 

Potenzen mit gleichem Exponenten 

werden multipliziert, indem 

man ihre Basen multipliziert 

und den Exponenten beibehält. 

4 2 · 6 2 

= (4 · 6) 2 

= 24 2 

= 576 

6x 2 · 3y 2 

= 18x 2 y 2 

= 18(x · y) 2 x n · y n = (xy) n 

4. Division von Potenzen mit 

gleicher Basis 

Potenzen mit gleicher Basis werden 

dividiert, indem man ihre 

Exponenten subtrahiert und die 

Basis beibehält. 

43 

4 

= 4 · 4 · 4 

4 

2 4 · 4 

= 

oder: 

4 3 : 4 2 = 4 3 – 2 = 4 1 = 4 

m3 

m· m· 

m 

= = 

m2 

m· 

m 

m 

oder : 

m3 m2 

m 3 

: = = 

m2 

m 3 · m −2 

= m3−2 = m1 

= m 

= 

x m 

= xm 

· x−n 

x n 

x m−n 

5. Division von Potenzen mit 

gleichen Exponenten 

Potenzen mit gleichen Exponenten 

werden dividiert, indem man 

ihre Basen dividiert und den Exponenten 

beibehält. 

152 

2 

15 

= ⎛ ⎞ 

52 

32 

⎝ ⎜ 3 ⎠ 

⎟ = 

= 25 

a3 

3 

a 

= ⎛ ⎞ 

b3 

⎝ ⎜ b ⎠ 

⎟ 

an 

n 

a 

= ⎛ ⎞ 

bn 

⎝ ⎜ b ⎠ 

⎟ 


einem Faktor 

Werden Potenzen mit einem Faktor 

multipliziert, so muss zuerst 

der Wert der Potenz berechnet 

werden. 

6 · 10 3 

= 6 · 1000 

= 6000 – – 

7 

7 · 10 − 2 = = 

100 007 , 

7. Potenzwert mit dem Exponenten 

Null 

Jede Potenz mit dem Exponenten 

Null hat den Wert 1. 

104 

= 104− 4= 100 

= 1 (m + n) 0 = 1 

104 

a 0 = 1 

a Ï0


1.2.6 Radizieren ( Wurzelziehen) 

17 

Das Radizieren 1) oder Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. 

Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikanden 

und dem Wurzelexponenten (Bild 1). Der Radikand steht 

unter dem Wurzelzeichen; aus dieser Zahl wird die Wurzel gezogen. 

Der Wurzelexponent steht über dem Wurzelzeichen und gibt an, in 

wie viel gleiche Faktoren der Radikand aufgeteilt werden soll. 

Eine Wurzelrechnung kann auch in Potenzschreibweise dargestellt 

werden. Der Radikand erhält im Exponenten einen Bruch. Der Zähler 

entspricht dem Exponenten des Radikanden, der Nenner entspricht 

dem Wurzelexponenten. 

1 

Beispiel: 2 

9 = 91 

= 92 

Quadratwurzel 

16 (sprich QuadratWurzel aus 16 oder Wurzel aus 16) bedeutet, 

man sucht eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 16 

ergibt. 

Beispiel: 16 = 4, denn 4 · 4 = 16 

Der Wurzelexponent 2 bei der Quadratwurzel wird meist weggelassen. 

Beispiel: 2 2 

16 = 16 = 4 4 2 = 4 · 4 = 16 = 4 

Kubikwurzel 

3 

27 (sprich 3. Wurzel aus 27 oder Kubikwurzel aus 27) bedeutet, 

dass man eine Zahl sucht, die dreimal mit sich selbst multipliziert 

den Wert 27 ergibt. 

3 

Beispiel: 27 = 3, denn 3 · 3 · 3 = 27 

Wurzelexponent 

Wert der Wurzel 

2 

16 = 4 

Radikand 

Bild 1: Darstellung einer Wurzel 

Schreibweisen einer Wurzel 

n 

Quadratwurzel 

2 

Kubikwurzel 

3 

n 

a = a1 

= a 

2 

1 

2 

a2 

= a2 = a1 

= a 

3 

a3 

= a3 = a1 

= a 

Tabelle 1: Radizieren 

Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel Formel 

1. Addition und Subtraktion von 

Wurzeln 

Wurzeln dürfen nur dann addiert oder 

subtrahiert werden, wenn sie gleiche 

Exponenten und Radikanden haben. 

Man addiert (subtrahiert) die Faktoren 

und behält die Wurzel bei. 

2. Radizieren eines Produktes 

Ist der Radikand ein Produkt, so kann 

die Wurzel entweder aus dem Produkt 

oder aus jedem einzelnen Faktor gezogen 

werden. 

3. Radizieren einer Summe oder 

Differenz 

Ist der Radikand eine Summe oder 

eine Differenz, so kann nur aus dem 

Ergebnis die Wurzel gezogen werden. 

4. Radizieren eines Quotienten 

Ist der Radikand ein Quotient (Bruch), 

so kann die Wurzel aus dem Quotienten 

oder aus Zähler und Nenner 

getrennt gezogen werden. 

1) radix (lateinisch) Wurzel 

2 6 + 3 6 

= ( 2+ 

3) 

6 

= 5 6 

9 · 16 = 144 = 12 

oder 

9 · 16= 

9 · 16 

= 3 · 4= 

12 

9+ 16 = 25 = 5 

oder 

52 − 42= 25 −16 

= 9 = 3 

9 

= 036 , = 0, 

6 

25 

oder 

9 

25 

9 3 

= = = 

25 5 06 , 

8 m − 3 m 

= ( 8−3) 

m 

= 5 m 

a m + b m 

= ( a+ 

b) 

m 

3 3 3 

n n n 

a · b = a · b ab = a · b 

3 3 

a− b = (a − b) 

4 

a 

b 

4 

a 

= 

4 

b 

n n 

a− b = (a − b) 

n 

a 

b 

n 

a 

= 

n 

b

18 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 

Aufgaben 

Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen) 

1. Potenzschreibweise. Die Ausdrücke der Aufgaben a bis f sind in Potenzform zu schreiben. 

a) 4a · 2a · a b) 16 dm · 2 dm · 4 dm c) 2,5 m · 6 m · 1,3 m 

d) 6a 

5b 

1 

e) 1 3 f) 16 m 2 : 8 m 

· · b 

05 , cm · cm · cm 

2 3a 

5 

10 4 

2. Zehnerpotenzen. Die Zahlen sind in Zehnerpotenzen zu verwandeln. 

a) 100; 1 000; 0,01; 0,001; 1 000 000; 1/1 000 000 b) 55 420; 1 647 978; 356 763; 33 200 

c) 0,033; 0,756; 0,0021; 0,000 02; 0,000 000 1 d) 1/10; 5/100; 7/1 000; 33/100; 321/1 000 

3. Potenzschreibweise. Die folgenden Zahlen sind in Zehnerpotenzen umzuformen. 

a) Lichtgeschwindigkeit c = 299 790 000 m/s 

b) Umfang des Äquators U = 40 076 594 m 

c) Mittlerer Abstand der Erde von der Sonne R = 149,5 Millionen km 

d) Oberflächen der Erde O = 510 100 933 km 2 

4. Addition und Subtraktion. Die Potenzen sind zu addieren bzw. zu subtrahieren. 

a) 5b 3 + 7b 3 + 3b 3 b) 9m 3 – 9n 3 + 12n 3 – 5m 3 – n 3 

c) 15x 4 y – 3x 2 y 3 – 5x 4 y d) 2,6a 2 + 5,9a 3 – 3,1a 3 + 19,7a 2 – a 3 

5. Multiplikation und Division. Die Potenzen sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren. 

a) 4 2 · 4 3 b) a 5 · a 4 c) 2x 2 · 4x · 5x 3 d) 0,5b 3 · 1,3b 2 e) 441x 6 : 21x 2 

f) 51a 4 b 3 : 17a 2 b 3 493 

572 

68 , a2 

( 4a) 

g) h) i) k) 

73 

192 

017 , a2 

ax 

6. Berechnung von Wurzeln. Folgende Wurzeln sind zu berechnen bzw. vereinfacht zu schreiben. 

x 

a) 

3 

3 

49; 100; 121; 169; 1000; 121 , ; 0, 36; 0, 

008 

b) 

3 2 

a 2 ; 9a 4 ; a · 8m 3 ; ( a+ 

b) ; 

25 225 a2 

; ; ; 

49 16 b2 

9c 

4b 

2 

2 

7. Wurzeln mit Variablen. Wie groß ist x2 + y2 

für die folgenden Werte? 

a) x = 8; y = 6 b) x = 10 m; y = 7,5 m c) x = 0,48 cm; y = 0,36 cm 

Wie groß ist 

c 

− b 

2 2 

für die folgenden Werte? 

a) c = 15; b = 12 b) c = 2,5 m; b = 1,5 m c) c = 0,2 dm; b = 0,16 dm 

8. Addition und Subtraktion. Die Wurzeln sind zu addieren bzw. zu subtrahieren. 

a) a + a; b) 2 m + 7 m; c) 

2m b + 3n b d) 5 9−3 9; e) 

c c −2 

c 

9. Multiplikation und Division. Die Ausdrücke sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren. 

a) 4 · 9 b) 42 · 7 c) 5a · 20a 

d) 16 · 49 

e) 4x 2 · y 2 f) 81m 4 · n 2 g) 32 : 8 h) 7ax : 7a

Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen 

1.3 Technische Berechnungen 

19 

Technische Zusammenhänge werden häufig in mathema tischen 

Formeln ausgedrückt, die dann zur Lösung von Problemstellungen, 

zum Beispiel zur Berechnung von Geschwindigkeiten, Kräften, Beanspruchungen 

und Zeiten, angewandt werden. 

1.3.1 Formeln ( Größengleichungen) 

Formeln bestehen aus 

Formelzeichen 

Operatoren 

(Rechenvorschriften) 

Beispiele: 

P für die Leistung 

s für den Weg 

t für die Zeit 

= ist gleich (Gleichheits zeichen) 

· Multiplikation 

– (Bruchstrich), Division 

Konstanten p (Zahl Pi = 3,141592654...) 

Zahlen 4,10,112... 

Beim Lösen von Aufgaben gelten die allgemeinen Rechenregeln Berechnung 

der 

916 

Nm 

220 NNm 

s 

1 Ws · 

der Mathematik (Seite 11). Anstelle der Platzhalter werden bekannte 

· 05 , m 

P 

= 

916 , 

· 

Nm 

· 1Nm 

Ws · · 

gesuchten 

12 

physikalische Größen (Seite 20) in die Formel eingesetzt. Anschließend 

kann die gesuchte Größe berechnet werden. 

t 

= 916 , s 

s 

· 

P F · 

= 

s 

s Nm · 

Größe =9,16WNm 

· 

=9,16W 

= 

916 

916 

, 

1 Ws · 

Umrechnung 

der 

Das Ergebnis ist ein Zahlenwert mit einer Einheit (eine sog. Grö- 

s · 

220 N· 05 , m 

Nm · 

ße), zum Beispiel: 4 m; 12,6 s; 145 N/mm 2 P = 

. Die Einheiten werden 12 

Einheit 

s 

Nm · 1 Ws · 

=9,16W= 

916 , · 

s Nm · 

vor, während oder nach der Berech nung so umgeformt, dass der Nm · 

= 916 , 

Rechengang möglich wird oder im Ergebnis die gewünschte Einheit s 

=9,16W 

steht (Seite 19). 

in W (Watt) 

Nm · 1 Ws · 

= 916 , · 

1. Beispiel: Leistung. Wie groß ist die Leistung in W (Watt) für die Kraft s Nm · 

F = 220 N, den Weg s = 0,5 m und die Zeit t = 12 s? 

=9,16W 

Lösung: siehe Tabelle 1. 

Tabelle 2: Formelumstellung 

Beschreibung Lösungsschritt 

Umstellung von Formeln 

Steht in einer Formel die gesuchte Größe nicht allein auf einer Seite, 

so kann sie erst nach einer Umstellung der Formel be rechnet 

werden (Seite 24). 

2. Beispiel: Formelumstellung. Die Formel für die mechanische Leistung P 

ist nach der Zeit t umzustellen. 

Lösung: siehe Tabelle 2. 

1.3.2 Zahlenwertgleichungen 

In Zahlenwertgleichungen sind die üblichen Umrechnungen von 

Einheiten bereits in die Formeln eingearbeitet. Beachte: 

• 

Die Zahlenwerte der Größen dürfen nur in den vorgeschriebenen 

Einheiten in die Gleichung eingegeben werden. 

• 

Die Einheiten der einzelnen Größen werden bei der Berechnung 

nicht mitgeführt. 

Die Einheit der gesuchten Größe (Ergebnis) ist vorgegeben. 

• 

3. Beispiel: Drehmoment M. Die Hauptspindel einer Drehmaschine wird mit 

der Leistung P = 25 kW angetrieben. Wie groß ist das Drehmoment 

bei einer Drehzahl n = 710/min? 

Lösung: 9 549 · P 9 549 · 25 

M = = Nm · = 336, 23 Nm · 

n 710 

Beispiel: Formel zur Berechnung der 

mechanischen Leistung 

P F · 

= 

s 

t 

220 N· 05 , m 

P = 

12 s 

Tabelle 1: Rechnen Nm · 

= 916 , mit 

Formeln s 

Lösungsschritt 

s Nm · 

Rechengang Nm · 1 Ws · 

= 916 , · 

Ausgangsformel 

P F · =9,16W 

= 

s 

t 

P F · 

= 

s 

220 t 

Einsetzen 

N· 05 , m 

der bekannten 

12 Nm 

s 

P F · 

= 220 s 

N12· s05 

, m 

P = t 

Größen 

P 916 

F 220 

· 

= , 

s N· 05 , m 

t Nm s· 

= 916 , 12 s 

Formel P F · 

= 

s 

t 

P F · 

= 

beide Formelseiten 

s 

Ft· 

s 

mit t multiplizieren, P · t = 

· t 

t 

rechte Seite kürzen 

F 

· s 

P · t = 

P 

· t 

· 

t 

beide Formelseiten 

Ft 

· s 

= 

P 

durch P dividieren, P 

· t 

FP· 

s 

= 

linke Seite kürzen P 

F · Ps 

t = 

F P· 

s 

umgestellte Formel: t = 

P 

Beipiel: Zahlenwertgleichung 

Drehmoment 

P 

M = 9 549 · 

n 

vorgeschriebene Einheiten 

Bezeichnung 

Einheit 

M Drehmoment N · m 

P Leistung kW 

n Drehzahl 1/min

20 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen 

1.3.3 Größen und Einheiten 

In technischen Berechnungen sind die Formelzeichen aller Formeln 

Platzhalter für physikalische Größen (Bild 1). Sie bestehen 

aus einem 

• 

Zahlenwert, der durch Messung oder Berechnung ermittelt 

wird, und aus einer 

• 

Einheit, zum Beispiel m, kg, s, N. 

Die Größen, ihre Kurzzeichen und ihre Einheiten 

sind in DIN 1301 festgelegt (Tabelle 1). 

Tabelle 1: Größen und Einheiten (Auszug) 

Bezeichnung 

Größe 

Formelzeichen 

Kurzzeichen 

Basiseinheit der Größe 

Name 

Länge Œ m Meter 

Fläche A m 2 Quadratmeter 

Volumen V m 3 Kubikmeter 

Winkel a, b ... ° Grad 

Masse m kg Kilogramm 

Dichte r kg/m 3 Kilogramm pro Kubikmeter 

Kraft F N Newton 

Gewichtskraft F G N Newton 

Leistung P N · m/s Newton mal Meter pro Sekunde 

Zeit t s Sekunde 

Drehzahl n 1/min Eins pro Minute 

Beschleunigung a m/s 2 Meter pro Sekunde 2 

In allen Kapiteln des Rechenbuches sind die nötigen Formelzeichen 

und ihre Einheiten unter „Bezeichnungen“ zusammengefasst. 

1.3.4 Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte 

Große und kleine Zahlenwerte in physikalischen Größen lassen 

sich durch Vorsatzzeichen übersichtlicher darstellen (Tabelle 2). Die 

Vorsatz zeichen stehen ohne Zwischenraum vor der Einheit, zum 

Beispiel µm, kN, mm, cm. 

Bezeichnungen 

Z Zahlenwert der physikalischen Größe 

K Kennzahl der physikalischen Größe 

x Umrechnungsfaktor 

Aus der Kennzahl K und dem Umrechnungsfaktor x (Tabelle 2) kann 

der Zahlenwert der physikalischen Größe berechnet werden. 

1. Beispiel: Das Lager eine NCDrehmaschine wird mit der Kraft F = 12 kN 

belastet. Wie groß ist die Kraft in N? 

Lösung: Z = x · K; x = 10 3 nach Tabelle 2 

Z = x · K =10 3 · 12 = 12000 

F = 12 000 N 

2. Beispiel: Die Masse einer Stange von 2355 g ist in kg zu berechnen. 

Lösung: Z = x · K; x = 10 –3 nach Tabelle 2 

Z = 10 –3 · 2 355 = 2,355 

m = 2,355 kg 

Beispiel: Längenangabe 


Zahlenwert 

125 mm 

Bild 1: Physikalische Größe 



Bild 2: Schreibweise mit Vorsatzzeichen 

Kennzahl 

K 

Tabelle 2: Vorsatzzeichen 

und Umrechnungsfaktoren 

Vorsatzzeichen 

Bezeichnung 

Einheit 

Zahlenwert 

15 µm 

Vorsatzzeichen 

Z = x · K 

Einheit 

Faktor x 

P Piko 10 –12 

n Nano 10 –9 

µ Mikro 10 –6 

m Milli 10 –3 

c Zenti 10 –2 

d Dezi 10 –1 

da Deka 10 1 

h Hekto 10 2 

k Kilo 10 3 

M Mega 10 6 

G Giga 10 9 

T Tera 10 12

Rechenbuch Metall - Europa-Lehrmittel

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