EM Spezifische Ladung des Elektrons
EM Spezifische Ladung des Elektrons
EM Spezifische Ladung des Elektrons
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<strong>EM</strong><br />
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
1. Stichworte<br />
Bewegung eines geladenen Teilchens im elektrischen und magnetischen Feld, Plattenkondensator,<br />
Lorentzkraft, Helmholtzspulen<br />
2. Literatur<br />
W. Demtröder, Elektrizität und Optik (Experimentalphysik, Bd.2), Springer-Verlag<br />
G. Staudt, Experimentalphysik Bd. 2, Wiley-VCH, Berlin 2002.<br />
Bergmann/Schaefer, Elektromagnetismus (Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 2), de Gruyter<br />
2006<br />
3. Bestimmung der spezifischen <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
3.1. Elektronen im elektrischen Längsfeld<br />
Bringt man ein freies Elektron in ein elektrisches Feld, das durch eine Spannung U erzeugt<br />
wird, die an zwei Elektroden (Katode und Anode) anliegt, so wirkt eine Kraft auf das Elektron,<br />
da es eine Elementarladung q = e trägt (siehe dazu Abbildung <strong>EM</strong>.1). Diese Kraft ist<br />
proportional zur Stärke <strong>des</strong> elektrischen Fel<strong>des</strong> und zur <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> Teilchens (Gleichung<br />
<strong>EM</strong>.1).<br />
E<br />
q<br />
F<br />
U<br />
Abbildung <strong>EM</strong>.1: Elektronen im homogenen elektrischen Feld<br />
Das Elektron trägt neben seiner <strong>Ladung</strong> auch Masse. Deshalb wird es nach dem zweiten<br />
Newtonschen Gesetz, F = m · a, beschleunigt und erhält somit über E kin = F · d (wobei<br />
d der Weg ist, auf dem das Elektron beschleunigt wurde) eine kinetische Energie, die vom<br />
angelegten elektrischen Feld herrührt.<br />
1
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
Durchläuft das Elektron das elektrische Feld längs der Feldlinien, so erhält es die elektrische<br />
Energie<br />
W e = q · U = e · U<br />
(<strong>EM</strong>.1)<br />
in Form von Bewegungsenergie. Hierbei ist q allgemein die <strong>Ladung</strong> eines Teilchens und e<br />
die Elementarladung <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong>.<br />
Da die elektrische Energie <strong>des</strong> Fel<strong>des</strong> gleich der kinetischen Energie <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong> beim<br />
Verlassen <strong>des</strong> Fel<strong>des</strong> ist, können wir am Ende einer Beschleunigungsstrecke diese beiden<br />
gleich setzen und erhalten daraus die Geschwindigkeit v <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong>:<br />
W e<br />
= W kin<br />
→ e · U = 1 2 · m · v2<br />
√<br />
→ v = 2 · U · e<br />
m .<br />
(<strong>EM</strong>.2)<br />
Bewegte Elektronen lassen sich mit elektrischen oder magnetischen Feldern ablenken. Letzere<br />
haben den Vorteil, dass sie die Bahngeschwindigkeit <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong> nicht ändern.<br />
3.2. Elektronen im Magnetfeld<br />
Bewegt sich ein Teilchen mit der <strong>Ladung</strong> q (bei einem Elektron ist q = −e) und der Geschwindigkeit<br />
⃗v durch ein homogenes (gleichmäßiges) Magnetfeld ⃗ B senkrecht zu den Magnetfeldlinien,<br />
so wirkt eine Kraft auf das Teilchen, die sogenannte Lorentz-Kraft ⃗ F Lorentz :<br />
⃗F Lorentz = q · (⃗v × ⃗ B) .<br />
(<strong>EM</strong>.3)<br />
Diese Kraft steht senkrecht auf der Ebene, die durch den Vektor der Geschwindigkeit und <strong>des</strong><br />
Magnetfel<strong>des</strong> aufgespannt wird. Damit kann eine <strong>Ladung</strong> nur abgelenkt, nicht aber längs der<br />
Bahn beschleunigt werden. Solche Kräfte bezeichnet man als Zwangskräfte. Ein Teilchen,<br />
das sich parallel zu den Feldlinien <strong>des</strong> Magnetfel<strong>des</strong> bewegt, erfährt keine Kraft.<br />
Betrachten wir nur die Geschwindigkeitskomponente, die senkrecht zum Magnetfeld ist, so<br />
erhält man die Gleichung für die Beträge der vektoriellen Größen ⃗ F Lorentz , ⃗v und ⃗ B. Aus<br />
dem Kreuzprodukt in Gleichung <strong>EM</strong>.3 wird ein normales Produkt:<br />
F Lorentz = q · v · B .<br />
(<strong>EM</strong>.4)<br />
Mit Gleichung <strong>EM</strong>.4 kann nun der Betrag der Lorentz-Kraft, die auf das geladene Teilchen<br />
wirkt, ausgerechnet werden.<br />
Bewegt sich das Teilchen senkrecht zu den Magnetfeldlinien <strong>des</strong> homogenen Magnetfel<strong>des</strong>,<br />
so stehen Lorentzkraft, Bewegungsrichtung und Magnetfeld senkrecht aufeinander. Um die<br />
Richtung der Kraft auf ein Teilchen mit negativer <strong>Ladung</strong> zu ermitteln bedient man sich der<br />
Linken-Hand-Regel:<br />
Dabei zeigt der ausgestreckte Daumen in die Bewegungsrichtung der negativen <strong>Ladung</strong> und<br />
der Zeigefinger, der dazu senkrecht ausgestreckt ist, in Richtung <strong>des</strong> Magnetfel<strong>des</strong>. Der<br />
2
Bestimmung der spezifischen <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
<strong>EM</strong><br />
gebeugte Mittelfinger, der senkrecht auf der Handfläche steht, zeigt nun in Richtung der<br />
Lorentz-Kraft.<br />
Ist die <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> betrachteten Teilchens jedoch positiv, verwendet man analog die Rechte-<br />
Hand-Regel. Sind die Bedingungen für ein positiv geladenes Teilchen genau gleich wie<br />
bei einem Teilchen mit negativer <strong>Ladung</strong>, das heißt gleiche Bewegungsrichtung und gleiche<br />
Richtung <strong>des</strong> Magnetfel<strong>des</strong>, wirkt die Lorentz-Kraft genau in entgegengesetzter Richtung.<br />
Wenn man Gleichung <strong>EM</strong>.3 betrachtet, sieht man, dass die Lorentz-Kraft für ein Teilchen mit<br />
<strong>Ladung</strong> q > 0 positiv ist. Für ein negativ geladenes Teilchen wie das Elektron mit <strong>Ladung</strong><br />
q = −e ist die Lorentz-Kraft negativ.<br />
Ist die Bewegungsrichtung ⃗v <strong>des</strong> Teilchens senkrecht zur Richtung <strong>des</strong> homogenen Magnetfel<strong>des</strong><br />
⃗ B, wird es durch die Lorentzkraft ⃗ F Lorentz auf eine Kreisbahn gezwungen, da sie an<br />
jedem Ort im homogenen Magnetfeld den gleichen Betrag hat.<br />
Tritt das Teilchen unter einem Winkel α in das homogene Magnetfeld ein, so trägt nicht der<br />
gesamte Betrag der Geschwindigkeit zur Lorentzkraft bei, sondern nur die Komponente, die<br />
senkrecht auf dem Magnetfeld steht, ⃗v ⊥ . Siehe dazu Abbildung <strong>EM</strong>.2.<br />
a<br />
v<br />
Abbildung <strong>EM</strong>.2: Das Teilchen tritt unter einem Winkel α in das Magnetfeld ein.<br />
Ist der Winkel α bekannt, ergibt sich folgende Formel für die senkrechte Geschwindigkeitskomponente:<br />
v ⊥ = v · sinα .<br />
(<strong>EM</strong>.5)<br />
Setzt man diese Formel <strong>EM</strong>.5 in die Gleichung <strong>EM</strong>.4 für die Lorentz-Kraft ein, so erhält<br />
man:<br />
F Lorentz = q · v ⊥ · B = q · v · B · sinα .<br />
(<strong>EM</strong>.6)<br />
Die Bahn, die das Teilchen beschreibt, ist eine Schraubenbahn. Die senkrechte Komponente<br />
der Geschwindigkeit bewirkt die Kreisbahn und die Komponente, die parallel zum Magnetfeld<br />
gerichtet ist, bewegt das Teilchen vorwärts.<br />
Den Radius r der Kreisbahn erhält man aus der Bedingung, dass die Lorentzkraft als Zentripetalkraft<br />
wirkt und die <strong>Ladung</strong> auf der Kreisbahn hält. Bei einem Teilchen der Masse m<br />
lautet die Gleichgewichtsbedingung:<br />
B<br />
v<br />
T<br />
F Lorentz<br />
= F Zentripetal<br />
→ q · v · B = m · v2<br />
r<br />
3<br />
.
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
Daraus ergibt sich nun die Formel für den Radius der Kreisbahn:<br />
r = m q · v<br />
B .<br />
(<strong>EM</strong>.7)<br />
Damit haben wir eine weitere Möglichkeit die spezifische <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong> e zu bestimmen.<br />
Hierfür müssen wir nun nur noch die Geschwindigkeit v <strong>des</strong> Teichens und den<br />
m<br />
Betrag <strong>des</strong> Magnetfel<strong>des</strong> B ermitteln.<br />
Wenn die Geschwindigkeit v <strong>des</strong> Teilchens daher rührt, dass es eine Beschleunigungsspannung<br />
U durchlaufen hat, ergibt sich der Radius der Kreisbahn durch Einsetzen von v nach<br />
Gleichung <strong>EM</strong>.2 zu<br />
√<br />
r = 1 B · 2 · m · U<br />
. (<strong>EM</strong>.8)<br />
q<br />
Durch Umstellen der Gleichung <strong>EM</strong>.8 ergibt sich eine Formel für die spezifische <strong>Ladung</strong>, in<br />
der uns nur noch der Betrag <strong>des</strong> Magnetfel<strong>des</strong> fehlt, den wir im nächsten Abschnitt erläutern<br />
werden:<br />
e<br />
m = 2 · U<br />
r 2 · B .<br />
(<strong>EM</strong>.9)<br />
2<br />
Hierbei wurde die <strong>Ladung</strong> q durch die Elementarladung e <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong> ersetzt.<br />
3.3. Das magnetische Feld eines Helmholtz-Spulenpaares<br />
Im Versuch wird ein Helmholtz-Spulenpaar zur Erzeugung <strong>des</strong> homogenen Magnetfel<strong>des</strong><br />
verwendet. So kann man auf eine direkte Messung von B verzichten, da das Magnetfeld aus<br />
dem Spulenstrom, der Windungszahl und der Spulengeometrie berechnet werden kann.<br />
Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei Spulen mit gleicher Windungszahl n und mit<br />
gleichem Radius R. Der Abstand der beiden Spulen ist genau so groß wie deren Radius und<br />
sie werden vom Strom I durchflossen (siehe dazu Abbildung <strong>EM</strong>.3).<br />
R<br />
R<br />
R<br />
Abbildung <strong>EM</strong>.3: Geometrie eines Helmholtz-Spulenpaares<br />
Das Magnetfeld B, das durch den Stromfluss ensteht, ist proportional zu der angelegten<br />
Stromstärke I. Es gilt also B = A · I, wobei A die Apparatekonstante ist, die sich aus der<br />
4
Versuchsdurchführung<br />
<strong>EM</strong><br />
Geometrie der Spulen und deren Eigenschaften ergibt:<br />
A = µ 0 ·<br />
n · R 2<br />
√(R 2 + ( R 2 )2 ) 3 . (<strong>EM</strong>.10)<br />
Hierbei ist µ 0 = 4π · 10 −7 Vs/Am die magnetische Feldkonstante.<br />
Damit ergibt sich nun eine Gleichung, mit der wir die spezifische <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
bestimmen können. Dazu setzt man B = A · I in die Gleichung <strong>EM</strong>.9 ein:<br />
e<br />
m = 2 · U 1<br />
·<br />
r 2 A 2 · I . 2<br />
(<strong>EM</strong>.11)<br />
Zur Bestimmung der spezifischen <strong>Ladung</strong> muss die Beschleunigungsspannung U, der Radius<br />
der Kreisbahn r und der Strom I, der durch die Spulen fließt, gemessen werden.<br />
4. Versuchsdurchführung<br />
Zur Erzeugung <strong>des</strong> homogenen Magnetfel<strong>des</strong> wird ein Helmholtz-Spulenpaar verwendet.<br />
Die beiden Spulen haben jeweils n = 124 Windungen und einen mittleren Radius von<br />
R = 14,75 cm. Das Magnetfeld in der Mitte zwischen den beiden Spulen kann man mit<br />
der Gleichung B = A · I berechnen.<br />
Der Elektronenstrahl wird in einer Fadenstrahlröhre erzeugt. Eine elektrisch geheizte Glühkathode<br />
wird auf ungefähr 850 ◦ C aufgeheizt, wodurch freie Elektronen erzeugt werden ( ”<br />
glühelektrischer<br />
Effekt“). Diese freien Elektronen werden durch das elektrische Feld zu der gegenüberliegenden<br />
Beschleunigungsanode, die auf positivem Potential liegt, hin beschleunigt.<br />
Diese Anode besitzt eine Bohrung, wodurch die Elektronen, nachdem sie beschleunigt<br />
wurden, in das Magnetfeld eintreten. Dort gibt es keine elektrischen Felder mehr, die die<br />
Elektronen weiter beschleunigen oder abbremsen könnten. Eine bezüglich der Kathode auf<br />
negativem Potential liegende Elektrode, der Wehneltzylinder, hilft den Elektronenstrahl zu<br />
bündeln (siehe dazu Abbildung <strong>EM</strong>.4).<br />
Nachdem die Elektronen durch die angelegte Beschleunigungsspannung auf eine bestimmte<br />
Geschwindigkeit gebracht wurden und durch die Öffnung in der Anode in das Magnetfeld<br />
eingetreten sind, bewegen sie sich auf einer Kreisbahn durch die Fadenstrahlröhre. In der<br />
Mitte der Röhre gibt es einen Maßstab, <strong>des</strong>sen waagerechten Markierungen einen Abstand<br />
von 2 cm haben. Mit <strong>des</strong>sen Hilfe kann der Durchmesser d <strong>des</strong> Elektronenstrahls ermittelt<br />
werden.<br />
Damit sich Elektronen im Inneren der Fadenstrahlröhre ungehindert bewegen können, sollte<br />
sie eigentlich evakuiert sein. Um den Elektronenstrahl sichtbar zu machen, befindet sich jedoch<br />
ein wenig Neon darin. Der Druck ist mit ungefähr 1,3 Pa allerdings sehr klein. Wenn<br />
nun ein Elektron auf ein Neon-Atom stößt, so kann dieses angeregt oder sogar ionisiert werden.<br />
Dabei verliert das Elektron einen Teil seiner Energie. Geht das Atom anschließend wieder<br />
in seinen Grundzustand über, sendet es sichtbares Licht aus. So wird die Elektronenbahn<br />
sichtbar. Der Neondruck ist jedoch genügend niedrigt, so dass der Elektronenstrahl nicht zu<br />
5
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
Abbildung <strong>EM</strong>.4: Versuchsaufbau links: Fadenstrahlröhre und Helmholtz-Spulenpaar,<br />
rechts: Steuerelement für Beschleunigungsspannung und Spulenstrom<br />
stark abgebremst wird. Ein Elektron, das ein Neon-Atom aufleuchten lässt, wird sich also in<br />
der Regel bis zu diesem Punkt ungestört bewegt haben (siehe dazu Abbildung <strong>EM</strong>.5).<br />
Für die drei äußeren, durch Markierungen gekennzeichneten Kreisdurchmesser von d =<br />
6 cm, 8 cm und 10 cm bestimme man bei Beschleunigungsspannungen U von 200 V bis<br />
400 V in Schritten von 25 V die dazugehörigen Spulenströme I, die nötig sind um den<br />
Durchmesser <strong>des</strong> Elektronenstrahls beizubehalten. Um Parallaxe zu vermeiden, müssen die<br />
Markierungen <strong>des</strong> Maßstabs so angepeilt werden, dass die vordere Markierung die hintere<br />
überdeckt. dadurch vermeidet man Messfehler beim Ablesen <strong>des</strong> Durchmessers. Durch die<br />
Wehneltspannung kann der Strahl so eingestellt werden, dass er nicht zu breit ist und der<br />
Durchmesser gut abgelesen werden kann.<br />
6
Auswertung<br />
<strong>EM</strong><br />
Abbildung <strong>EM</strong>.5: Elektronenstrahl, der durch Stöße mit den Neon-Atomen sichtbar gemacht<br />
wird<br />
Eine Tabelle, in die die Messwerte eingetragen werden, könnte folgendermaßen aussehen:<br />
Kreisdurchmesser = 6 cm<br />
U / V 200 225 250 275 300 . . .<br />
I / A<br />
I 2 / A 2<br />
5. Auswertung<br />
Aufgabe 1<br />
Berechnen Sie die Apparatekonstante A mit den in Abschnitt 3.3. angegebenen Werten.<br />
7
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
Aufgabe 2<br />
• Bestimmung der spezifischen <strong>Ladung</strong> e : m<br />
Zeichnen Sie mit den Messwerten ein Diagramm für jeden der drei Kreisdurchmesser.<br />
Tragen Sie dafür die Wertepaare für U und I 2 in das Diagramm ein, wobei I 2 die x-<br />
Achse angibt. Berechnen Sie aus der Steigung der Ausgleichsgeraden die spezifische<br />
<strong>Ladung</strong> e , denn, wie man nach Umformen der Gleichung <strong>EM</strong>.11 erkennt, enthält der<br />
m<br />
Wert für die Steigung den gesuchten Wert für die spezifische <strong>Ladung</strong>:<br />
U = r2 e 2 A2 ·I 2 . (<strong>EM</strong>.12)<br />
} {{ m}<br />
Steigung<br />
Achtung: Abgelesen wurde der Durchmesser. Für die Berechnung benötigen Sie den<br />
Radius der Kreisbahn.<br />
• Sie erhalten für jeden Durchmesser einen Wert für die spezifische <strong>Ladung</strong>, also insgesamt<br />
3 Werte. Daraus ermitteln Sie den Mittelwert und die Standardabweichung.<br />
Aufgabe 3<br />
• Bestimmen Sie die Masse <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong> aus Ihrer experimentell bestimmten spezifischen<br />
<strong>Ladung</strong> und der Elementarladung (e = 1,6022 · 10 −19 C).<br />
• Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse jeweils mit den Literaturwerten: e m = 1,7588 · 1011 C/kg<br />
und m = 9,1096 · 10 −31 kg.<br />
Aufgabe 4<br />
• Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines <strong>Elektrons</strong>, das eine Beschleunigungsspannung<br />
von 400 V durchlaufen hat. Vergleichen Sie diesen Wert mit der Lichtgeschwindigkeit<br />
(c =299 792 458 m/s).<br />
• Berechnen Sie ebenso die Endgeschwindigkeit eines <strong>Elektrons</strong> nach Durchlaufen einer<br />
1 MV Spannungsdifferenz.<br />
8
Bestimmung der <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
<strong>EM</strong><br />
6. Bestimmung der <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
6.1. Der Millikan-Versuch<br />
Robert A. Millikan konnte 1910 erstmals die Quantisierung der elektrischen <strong>Ladung</strong> experimentell<br />
nachweisen. Dabei brachte er kleine geladene Öltröpfchen in das homogene elektrische<br />
Feld eines Plattenkondensators und beobachtete die Bewegung der Tröpfchen. So kann<br />
beispielsweise durch Messung der Sink- und Steiggeschwindigkeit eines Öltröpfchens auf<br />
<strong>des</strong>sen <strong>Ladung</strong> Q geschlossen werden. 1923 erhielt Millikan für seine Arbeiten den Nobelpreis<br />
für Physik. Ziel dieses Praktikumsversuchs ist es, die Quantisierung der elektrischen<br />
<strong>Ladung</strong> nachzuweisen und aus den Messdaten einen Wert für die Elementarladung e zu bestimmen.<br />
Beim vorliegenden Praktikumsversuch werden elektrisch geladene Öltröpfchen in einem horizontalen<br />
Plattenkondensator beobachtet, die ohne Einfluss eines elektrischen Fel<strong>des</strong> mit<br />
konstanter Geschwindigkeit v Sink sinken (Abb. <strong>EM</strong>.6a). Die Geschwindigkeit v Sink wird mit<br />
Hilfe der Versuchsanordnung gemessen. Danach werden, durch Anlegen einer geeigneten<br />
Spannung U (Abb. <strong>EM</strong>.6b) an den Plattenkondensator, die Tröpfchen zum Steigen gebracht<br />
und die konstante Steiggeschwindigkeit v Steig bestimmt. Nachfolgend wird gezeigt, wie bei<br />
Kenntnis von v Sink , v Steig und U die <strong>Ladung</strong> Q eines Tröpfchens bestimmt werden kann.<br />
Dabei wird angenommen, dass alle Kräfte, die auf ein Öltröpfchen wirken, entlang einer<br />
senkrechten Linie zu den Platten <strong>des</strong> Plattenkondensators wirken 1 .<br />
Abbildung <strong>EM</strong>.6: Schematische Darstellung <strong>des</strong> Plattenkondensators mit einem<br />
Öltröpfchen und den wirkenden Kräften. (a): Öltröpfchen sinkt im Plattenkondensator<br />
ohne elektrisches Feld mit der Geschwindigkeit v Sink . (b): Bei Anlegen einer geeigneten<br />
Spannung U steigt ein negativ geladenes Öltröpfchen mit der Geschwindigkeit v Steig .<br />
1 Daher werden im Folgenden nur die Beträge der eigentlich vektoriellen Größen Geschwindigkeit ⃗v und<br />
Kraft ⃗ F betrachtet.<br />
9
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
6.2. Sinkfall (U = 0 V):<br />
Zunächst betrachten wir den Sinkfall, bei dem keine Spannung am Plattenkondensator anliegt<br />
und somit kein elektrisches Feld vorhanden ist. Bringt man ein Öltröpfchen zwischen<br />
die Platten, dann wirkt auf das Tröpfchen die Gewichtskraft F G :<br />
F G = m Oel · g = ρ Oel · V · g = ρ Oel · 4<br />
3 · π · r3 · g<br />
Dabei ist g die Erdbeschleunigung und ρ Oel die Dichte <strong>des</strong> verwendeten Öls. Für die Berechnung<br />
<strong>des</strong> Volumens wird davon ausgegangen, dass die Tröpfchen kugelförmig sind mit dem<br />
Radius r.<br />
Auf das Öltröpfchen wirkt zusätzlich eine Auftriebskraft F A , die nach oben wirkt, also<br />
entgegen der Gewichtskraft. Das Phänomen <strong>des</strong> Auftriebs kennt man aus dem Alltag zum<br />
Beispiel von Heißluftballons. Gemäß dem archimedischen Prinzip entspricht die Auftriebskraft<br />
der Gewichtskraft der Luftmenge, die vom Öltröpfchen verdrängt wird. F A ist also<br />
gegeben durch:<br />
F A = m Luft · g = ρ Luft · V · g = ρ Luft · 4<br />
3 · π · r3 · g<br />
Diese beiden Kräfte kann man zur Vereinfachung zu einer effektiven Gewichtskraft F Geff<br />
für das Tröpfchen zusammenfassen:<br />
F Geff = F G − F A = (m Oel − m Luft ) · g = (ρ Oel − ρ<br />
} {{ Luft ) · V · g = ρ · 4<br />
}<br />
3 · π · r3 · g<br />
ρ<br />
Das Tröpfchen wird also mit der Kraft F Geff nach unten beschleunigt. Sobald sich das Tröpfchen<br />
bewegt, wirkt durch die Luft zusätzlich eine Reibungskraft, die der Bewegung entgegengesetzt<br />
wirkt und proportional zur Geschwindigkeit v <strong>des</strong> Tröpfchens ist, die Stokes’sche<br />
Reibungskraft F R :<br />
mit der Viskosität der Luft η.<br />
F R = 6 · π · η · r · v<br />
Die Stokes’sche Reibungskraft gilt nur für Teilchen, die min<strong>des</strong>estens einige µm groß sind.<br />
Für die im Versuch kleineren Tröpfchen muss die sogenannte Cunningham-Korrektur benutzt<br />
werden, mit der sich die Stokes’sche Reibungskraft ergibt zu:<br />
F R = 6 · π · η · r · v<br />
1 + b<br />
p·r<br />
= 6 · π · η · r · v<br />
1 + a r<br />
mit b = 8 · 10 −5 mhPa und dem Umgebungsluftdruck p (p = 1013,25 hPa). 2<br />
2 b und p sind strenggenommen von den jeweiligen Umgebungsbedingungen abhängig. Für die Auswertung<br />
sollen jedoch die angegebenen Werte verwendet werden, es wird a = b/p = const. gesetzt.<br />
10
Bestimmung der <strong>Ladung</strong> <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
<strong>EM</strong><br />
Die Reibungskraft F R steigt mit zunehmender Geschwindigkeit <strong>des</strong> Tröpfchens so lange an,<br />
bis sie genauso groß ist wie F Geff . Dann befinden sich die Kräfte im Gleichgewicht, das<br />
heißt, die Summe der Kräfte, die auf das Tröpfchen wirken, ist gleich Null. Das Tröpfchen<br />
wird also nicht weiter beschleunigt, sondern sinkt nach dem 1. Newtonschen Gesetz mit der<br />
konstanten Geschwindigkeit v Sink . 3<br />
F Geff − F R = 4 3 · π · ρ · g · r3 − 6 · π · η · r · v Sink<br />
1 + a r<br />
= 0<br />
Durch Auflösen dieser Gleichung nach r lässt sich bei Kenntnis der konstanten Sinkgeschwindigkeit<br />
v Sink zunächst der Radius r <strong>des</strong> Öltröpfchens bestimmen:<br />
√<br />
r = − a 2 + a 2<br />
4 + 9 η<br />
2 ρ · g · v Sink<br />
(<strong>EM</strong>.13)<br />
6.3. Steigfall (U > 400 V):<br />
Zur Bestimmung der <strong>Ladung</strong> Q <strong>des</strong> Tröpfchen wird eine zweite Gleichung benötigt, in der<br />
die <strong>Ladung</strong> vorkommt. Dazu betrachten wir den Fall, dass eine Spannung U an dem Plattenkondensator<br />
anliegt. Dann wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen eine elektrische Kraft F E<br />
der Form:<br />
F E = Q · E = Q · U<br />
d<br />
mit der elektrischen Feldstärke E und dem Kon<strong>des</strong>atorplattenabstand d.<br />
Die obere Platte sei positiv geladen, sodass die elektrische Kraft F E auf ein negativ geladenes<br />
Öltröpfchen nach oben wirkt. Außerdem wird die Spannung U so groß eingestellt, dass die<br />
elektrische Kraft F E größer ist als die effektive Gewichtskraft F Geff . Ein negativ geladenes<br />
Öltröpchen wird nun also nach oben beschleunigt 4 . Entgegen der Bewegungsrichtung wirkt<br />
wieder die Reibungsrakft F R , bis die Kräfte im Gleichgewicht sind und das Tröpfchen mit<br />
der konstanten Geschwindigkeit v Steig steigt (Siehe Abb. <strong>EM</strong>.6b). Es gilt also:<br />
F Geff + F R − F E = 4 3 · π · ρ · g · r3 + 6 · π · η · r · v Steig<br />
1 + a r<br />
− Q U d = 0<br />
Diese Gleichung wird nach der <strong>Ladung</strong> Q aufgelöst. Für den Radius r wird der Ausdruck<br />
aus <strong>EM</strong>.13 verwendet. Wir erhalten somit für die <strong>Ladung</strong> Q:<br />
3 Die Beschleunigungsphase ist sehr kurz und kann im Versuch kaum wahrgenommen werden.<br />
4 Überlegen Sie sich zur Vorbereitung, wie sich bei dieser Spannung ein Tröpfchen bewegt, dass a) nicht<br />
geladen ist, b) positiv geladen ist!<br />
11
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
Q =<br />
(<br />
3 · d · π · η a −<br />
U<br />
(<br />
a +<br />
√<br />
a 2 + 18 · η<br />
√<br />
a 2 + 18 · η<br />
g · ρ · v Sink<br />
) 2<br />
g · ρ · v Sink<br />
) · (v Sink + v Steig ) (<strong>EM</strong>.14)<br />
Um die <strong>Ladung</strong> Q für ein einzelnes Tröpfchen zu berechnen, müssen also nach <strong>EM</strong>.14 die<br />
Sink- und Steiggeschwindigkeit v Sink und v Steig gemessen werden, sowie die Spannung U,<br />
die im Steigfall an dem Kondensator anliegt. Alle anderen Größen sind gegeben (Siehe Anleitung<br />
zur Auswertung).<br />
Vereinfachung zur Berechnung <strong>des</strong> Radius r und der <strong>Ladung</strong> Q<br />
Zur einfacheren Berechnung von Q mit der Gleichung <strong>EM</strong>.14 können für die vorliegende<br />
Versuchsanordnung wie folgt zusammengefasst werden:<br />
−6 kg<br />
C := 3 · d · π · η = 1,024 · 10<br />
s<br />
18 · η<br />
g · ρ = 3,23 · 10−8 m · s<br />
a = 7,89 · 10 −8 m<br />
Zudem bietet es sich an, den Wurzelterm aus Gleichung <strong>EM</strong>.14 in einer Zwischenrechnung<br />
separat zu berechnen 5 :<br />
Mit der Definition für den Wurzelterm<br />
W :=<br />
√<br />
a 2 + 18 · η<br />
g · ρ · v Sink<br />
vereinfacht sich die Gleichung <strong>EM</strong>.14 durch Substitution zu<br />
Q =<br />
C (a − W )2<br />
U (a + W ) (v Sink + v Steig )<br />
(<strong>EM</strong>.15)<br />
und die Gleichung <strong>EM</strong>.13 zur Berechung <strong>des</strong> Tröpfchenradius r vereinfacht sich zu<br />
r = 1 (W − a)<br />
2 (<strong>EM</strong>.16)<br />
5 Vorsicht: Der Wurzelterm ist von der Sinkgeschwindigkeit <strong>des</strong> jeweils vermessenen Tröpfchens abhängig,<br />
ist also NICHT konstant.<br />
12
Messanleitung<br />
<strong>EM</strong><br />
7. Messanleitung<br />
7.1. Versuchsaufbau<br />
Abbildung <strong>EM</strong>.7: Versuchsaufbau der Millikanapparatur mit Netzgerät.<br />
Nr. Millikanapparatur<br />
1 Stellfüße mit Nivellierschraube zum Waagerechtstellen der Apparatur<br />
2 Plattenkondensator mit Schutzhülle und Halterung für den Zerstäuber<br />
2a Buchsen zum Anschließen der Kabel<br />
3 Öl-Zerstäuber mit Gummiball<br />
4 Mikroskop<br />
4a Okular mit Messskala<br />
4b Fokussier-Schraube<br />
5 Beleuchtungseinrichtung, Schraube zum Verstellen der Kondensorlinse, Anschlussbuchsen<br />
für 12V-Stecker<br />
Nr.<br />
N1<br />
N2<br />
N3<br />
N4<br />
N5<br />
N6<br />
Netzgerät<br />
Hauptschalter <strong>des</strong> Netzgeräts<br />
Hochspannungsausgang für den Plattenkondensator bis 650 Volt<br />
Spannungsregler<br />
Polaritäts-Umschalter mit Leuchte: Rot entspricht der am Ausgang N2 angezeigten<br />
Polung, blau entspricht der umgekehrten Polung.<br />
Start/Stop für den Timer, mit Leuchte<br />
Display: Zeigt die Zeit und die Spannung der aktuellen und der letzten Messung an.<br />
13
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
Abbildung <strong>EM</strong>.8: Netzgerät <strong>des</strong> Versuchsaufbaus<br />
Der Versuch wird wie in <strong>EM</strong>.7 aufgebaut. Vor dem Einschalten <strong>des</strong> Netzgeräts den Aufbau<br />
vom Betreuer überprüfen lassen! Für die Vorbereitung <strong>des</strong> Versuchs sind folgende Punkte zu<br />
beachten:<br />
• Plattenkondensator mit Hilfe der Dosenlibelle und den Nivellierschrauben waagerecht<br />
ausrichten, damit die Tröpfchen nicht seitlich wegdriften.<br />
• Im Öl-Zerstäuber sind zwei kleine Röhrchen. Im Steigrohr steigt beim Pumpen mit<br />
dem Gummiball das Öl an, durch das andere Röhrchen wird Luft geblasen. Sobald das<br />
Öl im Steigrohr an der Oberkante ist, wird ein- bis zweimal etwas kräftiger gepumpt.<br />
Dabei wird das Öl in kleine Öltröpfchen zerstäubt, die sich durch die Reibung teilweise<br />
elektrisch laden.<br />
• Die Beleuchtung erfolgt mit der sogenannten “Dunkelfeldmethode” seitlich. Man beobachtet<br />
im Mikroskop kleine Beugungsscheiben der Tröpfchen, die größer und kontrastreicher<br />
erscheinen, als würde man die Tröpfchen direkt beobachten. Der Praktikumsraum<br />
sollte für besseren Kontrast abgedunkelt sein. Man kann die Beleuchtung<br />
justieren, indem man das Rohr mit der Kondensorlinse etwas löst verschiebt.<br />
14
Messanleitung<br />
<strong>EM</strong><br />
• In das Mikroskopokular ist eine Mikrometerskala<br />
eingraviert, die in Abb. <strong>EM</strong>.9 skizziert ist. Mit<br />
dieser Skala kann die von den Öltröpfchen zurückgelegte<br />
Wegstrecke s beobachtet werden. Zusammen<br />
mit dem im Netzgerät integrierten Timer wird<br />
über die Beziehung v = s die Geschwindigkeit der<br />
t<br />
Tröpfchen ermittelt. Das Okular so drehen, dass die<br />
Skala entlang der senkrechten Fluglinie der Tröpfchen<br />
steht. Die Skala ist relativ schmal, weshalb<br />
man nur Tröpfchen nahe der Skala vermessen kann. Abbildung<br />
skala<br />
<strong>EM</strong>.9: Okular-<br />
• Durch Drehen der Fokussier-Schraube <strong>des</strong> Mikroskops stellt man ein, welcher Bereich<br />
<strong>des</strong> Plattenkondensator scharf beobachtet werden kann. Für die Messung kann<br />
man so in verschiedenen Ebenen nach geeigneten geladenen Tröpfchen suchen.<br />
• Am Netzgerät 6 kann über den Spannungsregler eine Spannung von bis zu ca. 650 V<br />
eingestellt werden. Ist die Spannung zu gering eingestellt, so gilt F E < F Geff und die<br />
geladenen Tröpfchen steigen nicht. Bei F E = F Geff schweben die geladenen Tröpfchen.<br />
7<br />
• Der Polaritätsumschalter ist hilfreich um geladene Tröpfchen zu finden, da diese<br />
bei genügend großer Spannung dann plötzlich ihre Bewegungsrichtung umkehren.<br />
Beachten Sie, dass beim Aufstellen <strong>des</strong> Kräftegleichgewichts für den Sinkfall keine<br />
Spannung vorlag. Also muss bei der Messung der Sinkgeschwindigkeit die Spannung<br />
U = 0 V sein, d.h. der Polaritätsschalter in der mittleren Position sein.<br />
7.2. Messung<br />
Messen Sie für 12 geladene Tröpfchen jeweils die Sink- und Steiggeschwindigkeiten, sowie<br />
die Spannung U im Steigfall. Beachten Sie:<br />
• Die Wegstrecke <strong>des</strong> Tröpfchens sollte min<strong>des</strong>tens 1 mm betragen.<br />
• Die Spannung muss während <strong>des</strong> Steigvorgangs konstant sein<br />
• Die meisten Tröpfchen sind nicht oder nur einfach geladen. Um die Quantelung der<br />
<strong>Ladung</strong> zu zeigen, sollten aber auch mehrfach geladene Tröpfchen gemessen werden.<br />
Diese kann man gezielt suchen. Überlegen Sie sich zur Vorbereitung:<br />
– Wie unterscheidet sich die Bewegung eines einfach geladenen Tröpfchens von<br />
der eines mehrfach geladenen Tröpfchens?<br />
6 Wichtiger Hinweis für die Praktikumsleiter: Die Netzgeräte sollten schon zu Beginn der Theoriebesprechung<br />
eingeschaltet werden, da die Spannung bis ca. 30 Min nach Einschalten nicht stabil ist.<br />
7 Bei der “Schwebemethode” wird diese Gleichung genutzt, um die <strong>Ladung</strong> Q über die “Schwebespannung”<br />
zu berechnen, was jedoch ungenauer ist als die hier vorgestellt Sink-Steig-Methode.<br />
15
<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
7.3. Auswertung<br />
1. Berechnung Sie Radius r und <strong>Ladung</strong> Q der beobachteten Öltröpfchen.<br />
2. Tragen Sie die berechneten Werte für die <strong>Ladung</strong> Q in einem Histogramm auf, um die<br />
Quantelung der <strong>Ladung</strong> graphisch zu zeigen. Auf der x-Achse tragen Sie den Wert für<br />
die <strong>Ladung</strong> auf, auf der y-Achse die Häufigkeit. Die x-Achse sollte in Einheiten von<br />
10 −19 C skaliert werden, mit einer Klassenbreite von 0,1 · 10 −19 C oder 0,2 · 10 −19 C.<br />
Ein Beispielhistogramm finden Sie im Anhang, Sie können das Histogramm alternativ<br />
auch per Hand zeichnen.<br />
3. Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung für die von Ihnen gemessene<br />
Elementarladung e an. Bedenken Sie für beobachtete mehrfach geladene Tröpfchen,<br />
dass Sie die gemessene <strong>Ladung</strong> Q durch das (angenommene) Vielfache n der Elementarladung<br />
teilen müssen: e = Q n .<br />
4. Berechnen Sie die Masse eines <strong>Elektrons</strong> mit Hilfe der in diesem Versuchsteil bestimmten<br />
Elementarladung e und <strong>des</strong> Verhältnisses e/m aus dem Versuchsteil <strong>EM</strong>.<br />
Vergleichen Sie die experimentell bestimmten Daten für die Elementarladung und der<br />
Masse <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong> mit den Literaturwerten e Lit und m Lit .<br />
Wichtige Konstanten für die Berechnungen:<br />
Viskosität von Luft: η = 1,81 · 10 −5 Ns/m 2<br />
Dichte Öl: ρ Oel = 1030 kg/m 3<br />
Dichte Luft: ρ Luft = 1,20 kg/m 3<br />
Erdbeschleunigung: g = 9,81 m/s 2<br />
Konstante a: a = 7,89 · 10 −8 m<br />
Plattenabstand: d = 6 · 10 −3 m<br />
Elektrische Elementarladung: e Lit = 1,6022 · 10 −19 C<br />
16
Messanleitung<br />
<strong>EM</strong><br />
Messtabelle<br />
Nr s Sink [mm] t Sink [s] s Steig [mm] t Steig [s] U[V ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
12<br />
.<br />
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<strong>EM</strong><br />
Eigenschaften <strong>des</strong> <strong>Elektrons</strong><br />
Histogramm erstellen mit Excel bzw. OpenOfficeCalc<br />
Ein Histogramm zeigt eine Häufigkeitsverteilung von verschiedenen Werten, also wie oft ein<br />
Wert in einer bestimmten Klasse (=Intervall) vorkommt. Die Klassen werden auf die x-Achse<br />
aufgetragen, die Häufigkeit auf die y-Achse. Weder Excel noch OpenOfficeCalc haben eine<br />
eigene Histogramm-Funktion. Aber man kann manuell ein Histogramm erstellen, indem man<br />
ein Säulendiagramm für eine angelegte “Häufigkeits”-Funktion erstellt:<br />
Klassen definieren: Für diesen Versuch ist es sinnvoll, eine Klassenbreite von 0,1 oder 0,2<br />
(in Einheiten der x-Achse, hier 10 −19 C) zu wählen. Dazu muss man eine neue Spalte<br />
mit Werten von 0; 0,1; 0,2; 0,3 . . . bis zu dem größten gemessenen Wert von Q erstellen.<br />
Spalte mit Häufigkeiten erstellen: Feld in neuer Spalte wählen. Unter dem Funktionsassistenten<br />
(“fx”-Symbol links neben der Eingabezeile) die Funktion “Häufigkeit” wählen.<br />
Für die “Daten” die Werte in der Spalte mit den Messwerten für Q wählen, für die<br />
“Klassen” die Werte der eben neu erstellte Spalte zu den Klassen. Die neu erstellte<br />
Spalte sollte jetzt angeben, wie viele Messwerte in das jeweilige Intervall fallen.<br />
Säulendiagramm erstellen: “Häufigkeits”-Werte markieren, dann unter “Einfügen” unter<br />
“Diagramm” “Säulendiagramm” auswählen.<br />
Abstand der Säulen auf 0 setzen: In Histogrammen sind die Säulen immer direkt aneinander.<br />
Also: Doppelklick auf die Säulen um das “Datenreihe”-Menü zu öffnen, dann<br />
auf “Option” und Abstand auf Null setzen.<br />
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