Linsengesetze
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OA<br />
OA<br />
Optische Abbildung mit Linsen<br />
1. Stichworte<br />
Brechungsgesetz, geometrische Optik, dünne Linsen, Sammellinsen, Zerstreuungslinsen, <strong>Linsengesetze</strong>,<br />
Linsensysteme, Abbildungsfehler, Auge, Besselverfahren, Autokollimation<br />
Bei nahezu allen optischen Anwendungen werden Linsen und Spiegel eingesetzt, es ist daher<br />
Ziel des Versuchs, einige grundlegende Eigenschaften von Linsen, insbesondere ihre Abbildungseigenschaften<br />
zu vermitteln. Dabei sollen neben experimentellen Techniken, wie der<br />
Bestimmung von Brennweiten, auch die einfachsten Abbildungsfehler gezeigt werden.<br />
2. Literatur<br />
Demtröder, Experimentalphysik 2, Kap. 9<br />
Hecht, Optik<br />
Harten, Physik, Kap. 7.2<br />
3. Grundlagen der geometrischen Optik<br />
Die Optik umfasst drei Theorien, namentlich Geometrische Optik, Wellenoptik und Quantenoptik.<br />
Die Annahmen der geometrischen Optik sind dann gut erfüllt, wenn die Wellenlänge<br />
des Lichts klein gegen die Durchmesser und Abstände der betrachteten Blenden,<br />
Spiegel und Linsen ist.<br />
Hier wird angenommen, dass sich in einem homogenen Medium<br />
Lichtstrahlen geradlinig und unabhängig voneinander ausbreiten.<br />
Der Weg des Lichtes ist umkehrbar. An Grenzflächen zwischen<br />
unterschiedlichen Medien gelten das Reflexions- und das<br />
Brechungsgesetz.<br />
ϕ ϕ<br />
1 1’<br />
n 1<br />
Reflexion<br />
Brechung<br />
ϕ 1 = ϕ ′ (OA.1)<br />
1 n 1 · sin ϕ 1 = n 2 · sin ϕ 2<br />
Dabei ist n der Brechungsindex eines Materials. Meist werden<br />
Übergänge Luft/Glas betrachtet, d.h. n 1 ≈ 1 und n 2 >1. Der Brechungsindex<br />
ändert sich mit der Wellenlänge des Lichts, was als<br />
Dispersion bezeichnet wird.<br />
Im Folgenden werden Lichtstrahlen immer als von links kommend<br />
angenommen. Abstände sind gerichtete Größen, wobei<br />
Abstände in Lichtrichtung positiv (entgegengesetze negativ) bzw.<br />
nach oben positiv (nach unten negativ) gerechnet werden.<br />
2<br />
n 2<br />
Abbildung OA.1:<br />
Brechungs- und Reflexionsgesetz<br />
1
OA<br />
Optische Abbildung mit Linsen<br />
3.1. Dünne Sammellinsen<br />
Ein Bündel paralleler Lichtstrahlen kann nun durch eine geeignet geformte Linse so abgelenkt<br />
werden, dass sie hinter der Linse alle durch den Brennpunkt laufen. Gerne idealisiert<br />
man die Linse so, dass die Brechung statt an den beiden Oberflächen in einer Ebene, der sogenannten<br />
Hauptebene stattfindet. Linsen sind rotationssymmetrisch, die Symmetrieachse<br />
heisst optische Achse. Der Abstand des Brennpunkts von der Hauptebene ist die Brennweite.<br />
Man kann nun untersuchen, wie sich Lichtstrahlen, die alle von einem beliebigen Punkt<br />
kommen, nach Durchlaufen der Linse, verhalten. Sie vereinigen sich in einem Bildpunkt.<br />
g<br />
b<br />
G<br />
F<br />
F’<br />
B<br />
f f’<br />
Abbildung OA.2: Konstruktion eines Bildes bei einer dünnen Linse, von oben nach unten<br />
sind hier Parallelstrahl, Zentralstrahl und Brennstrahl eingezeichnet. Die mit x und o markierten<br />
Ecken werden später für die Linsengleichungen OA.2 und OA.3 gebraucht.<br />
Bildet man die Spitze eines Gegenstands G ab, so erhält man die Spitze des Bildes B Zur<br />
Konstruktion des Bildpunktes sind drei spezielle Strahlen hilfreich, im Bild OA.2 von oben<br />
nach unten: Der Parallelstrahl wird von der Linse in den Brennpunkt abgelenkt. Der Zentralstrahl<br />
verlässt die Linse aus Symmetriegründen geradlinig. Der Brennstrahl verlässt die<br />
Linse parallel zur optischen Achse. Er ist die Umkehrung des Parallelstrahls. Alle anderen<br />
Strahlen von G, die die Linse treffen vereinigen sich auch in B.<br />
Bei obigem (Abb.OA.2) Aufbau konvergieren die Lichtstrahlen nach der Linse und schneiden<br />
sich tatsächlich, man spricht von einem reellen Bild. Es ist durch eine Mattscheibe oder<br />
einen fotografischen Film nachweisbar. Bei anderen Ausgangspunkten (z.B.Abb. OA.3 divergieren<br />
die Strahlenbündel hinter der Linse, dadurch schneiden sich aber ihre rückwärtigen<br />
Verlängerungen. Sie scheinen also alle von einem Punkt zu kommen, das Auge nimmt<br />
ein virtuelles Bild wahr. Das bekannteste virtuelle Bild wird von einem ebenen Spiegel erzeugt.<br />
Es erscheint hinter dem Spiegel, ist dort aber nicht nachweisbar, sondern nur durch<br />
einen Blick in den Spiegel.<br />
Sammellinsen erzeugen virtuelle Bilder, wenn der Gegenstand innerhalb der einfachen Brennweite<br />
steht siehe Abb.OA.3. Hier sind die Konstruktionsstrahlen von oben nach unten: Brennstrahl,<br />
Parallelstrahl, Zentralstrahl. Bei dieser Verwendung wird die Sammellinse auch als<br />
Lupe bezeichnet. Das Bild ist virtuell, aufrecht und vergrößert.<br />
2
Grundlagen der geometrischen Optik<br />
OA<br />
F<br />
B<br />
G<br />
g<br />
b<br />
f f’<br />
F’<br />
Abbildung OA.3: Bildkonstruktion der Lupe, von oben nach unten sind Brennstrahl, Parallelstrahl<br />
und Zentralstrahl zu sehen.<br />
3.2. Dünne Streulinsen<br />
Streulinsen sind so gebaut, dass ein parallel einfallendes Lichtbündel sie divergent verlässt<br />
siehe Abb.OA.4. Dabei scheinen alle Strahlen aus einem Punkt, dem Brennpunkt zu kommen.<br />
Da er links von der Linse liegt, hat die Brennweite f einen negativen Wert. Die Form<br />
einer Streulinse wird als konkav bezeichnet, im Gegensatz zur konvexen Sammellinse.<br />
F’<br />
G<br />
g<br />
B<br />
f<br />
’<br />
b<br />
Abbildung OA.4: Bildkonstruktion der Streulinse, von oben nach unten sind Parallelstrahl,<br />
Brennstrahl und Zentralstrahl zu sehen.<br />
Bemerkenswert ist die Ähnlichkeit zu Abb.OA.3. Gegenstands- und Bildgrößen sind vertauscht.<br />
Das Bild der Streulinse ist immer virtuell, verkleinert und aufrecht.<br />
f<br />
F<br />
3
OA<br />
Optische Abbildung mit Linsen<br />
3.3. Die Linsengleichung<br />
Der Abbildungsmaßstab β gibt das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G<br />
wieder. Man findet mit Hilfe des Strahlensatzes an Zentralstrahl und optischer Achse:<br />
β = B G = b g .<br />
(OA.2)<br />
Dabei kann nach Belieben Abb.OA.2, Abb.OA.3 oder sogar Abb.OA.4 herangezogen werden.<br />
Strenggenommen ist β immer negativ, das Vorzeichen wird aber häufig unterschlagen.<br />
Die sogenannte Linsengleichung findet man durch den Strahlensatz an Brennstrahl und optischer<br />
Achse. Hierbei wird Gleichung OA.2 angewendet und durch f dividiert.<br />
g − f<br />
G<br />
g − f<br />
g<br />
1<br />
g + 1 b<br />
= f B<br />
= f b<br />
= 1 f<br />
(OA.3)<br />
Der Ausdruck D := 1/f wir als Brechkraft bezeichnet. Ihre Einheit ist die Dioptrie [D] =<br />
dpt = m −1 . Aus der Abbildungsgleichung OA.3 folgt für die Bildweite:<br />
b = g · f<br />
g − f .<br />
(OA.4)<br />
Das bedeutet für Sammellinsen, dass der Abbildungsmaßstab gerade -1 ist, wenn sich der<br />
Gegenstand im Abstand g = 2 · f befindet. Für g = f ist b nicht definiert.<br />
Zusammenfassend gilt also für das Bild einer Linse:<br />
f > 0 g < f virtuell vergrößert aufrecht<br />
g = f keins alle Strahlen sind parallel zum Zentralstrahl<br />
f < g < 2 · f reell vergrößert umgedreht<br />
g > 2f reell verkleinert umgedreht<br />
f < 0 virtuell verkleinert aufrecht<br />
Das Bild wird von der Gegenstandsweite bestimmt, sowie vom Vorzeichen der Brennweite<br />
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Grundlagen der geometrischen Optik<br />
OA<br />
3.4. Linsensysteme und dicke Linsen<br />
Für das einfachste zusammengesetzte Linsensystem, zwei dünne Linsen, deren Hauptebenen<br />
in einem kleinen Abstand d voneinander angeordnet sind, ergibt sich für die Gesamtbrennweite<br />
f ges :<br />
1<br />
f ges<br />
= 1 f 1<br />
+ 1 f 2<br />
−<br />
d<br />
f 1 · f 2<br />
,<br />
(OA.5)<br />
Aufgrund ihrer Form kann man sie nicht beliebig nahe aneinanderbringen. Für d = 0 würden<br />
sich die Brechkräfte addieren.<br />
Ab einer gewissen Dicke einer einzelnen Linse ist es nicht mehr opportun, die Brechung an<br />
den beiden Oberflächen der Linse mit einer Hauptebene zu beschreiben. Man definiert zwei<br />
Hauptebenen. Die Bildkonstruktion lässt alle Strahlen zwischen den Hauptebenen parallel<br />
zur optischen Achse verlaufen - in etwa so als ob man den Bereich zwischen den Ebenen<br />
herausschneidet.<br />
3.5. Bildfehler<br />
Nach (Gl. OA.1) hängt die Brechkraft einer Linse vom Brechungsindex des Glases ab. Der<br />
Brechungsindex ist jedoch von der Wellenlänge des Lichtes abhängig. Bei der normalen Dispersion<br />
wird rotes Licht schwächer gebrochen als blaues Licht, weshalb die Brennweite für<br />
rotes Licht grösser ist als die für blaues Licht 1 . Dieser Linsenfehler wird als chromatische<br />
Aberration bezeichnet. Man kann ihn durch Kombination mehrerer Linsen unterdrücken.<br />
Häufig werden als Linsenoberflächen zwei Kugelausschnitte gewählt. Die Aussage, dass sich<br />
parallele Strahlen im Brennpunkt kreuzen, gilt dann nur für Strahlen nahe der optischen Achse.<br />
Je weiter ein Strahl von der optischen Achse entfernt ist, desto näher rückt sein Schnittpunkt<br />
mit der optischen Achse an die Hauptebene, d.h. achsenferne Strahlen haben eine<br />
kleinere Brennweite als achsennahe Strahlen. Man spricht von sphärischer Aberration für<br />
diesen Abbildungsfehler, den man durch asphärische Linsenoberflächen eliminieren kann.<br />
Trifft ein paralleles Lichtbündel unter einem größeren Winkel auf die Linse, oder ist die<br />
Rotationssymmetrie der Linse gestört, so schneiden sich die Strahlen hinter der Linse nicht<br />
in einem Punkt, sondern in einem Bereich um den Brennpunkt. Dies wird als Astigmatismus<br />
bezeichnet.<br />
1 Eine einfache Merkregel hierzu bietet der Alkoholkonsum: ”<br />
Blau bricht stärker“.<br />
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Optische Abbildung mit Linsen<br />
3.6. Das menschliche Auge<br />
Abbildung OA.5: Zwei ins Auge fallende Strahlenbündel, die unter einem Winkel von kleiner<br />
als einer Bogenminute gegeneinander geneigt sind, werden auf zwei Punkte auf der<br />
Netzhaut abgebildet, die weniger als 4 µm, der durchschnittliche Abstand der lichtempfindlichen<br />
Zellen, voneinander entfernt sind. Sie erregen deshalb die gleichen Sinneszellen und<br />
so können die Punkte, von denen sie ausgehen, nicht voneinander unterschieden werden.<br />
Abbildung OA.6: Sollen nähere Gegenstände fokussiert werden, so passt das Auge die Linsenbrennweite<br />
an. Das ist anders als bei einer Kamera, in der der Abstand der Linse zum<br />
Film verändert wird. Je mehr man einen Gegenstand dem Auge nähert, desto größer wird<br />
das Netzhautbild, und desto feinere Details können deshalb aufgelöst werden.<br />
Wesentliche Bestandteile des menschlichen Auges sind eine Linse variabler Brennweite und<br />
die Netzhaut. Die Linse projiziert ein reelles Bild auf die Netzhaut. In der Netzhaut sitzen<br />
lichtempfindliche Zellen, die Zapfen und die Stäbchen, deren Signale zuerst von den Nervenzellen<br />
der Netzhaut verarbeitet werden und dann über den Sehnerv ans Sehzentrum im<br />
Gehirn weitergeleitet werden.<br />
Das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges ist begrenzt. Zwei Details, die dem Auge<br />
unter einem Winkel von kleiner als 1’ (einer Bogenminute, das ist der sechzigste Teil eines<br />
Grades) erscheinen, können nicht mehr als getrennte Punkte wahrgenommen werden. Die<br />
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Grundlagen der geometrischen Optik<br />
OA<br />
Erklärung dafür ist einfach. Am dichtesten stehen die Zapfen, die für das Scharfsehen verantwortlichen<br />
lichtempfindlichen Zellen, in der Netzhautgrube, der Stelle größter Bildschärfe.<br />
Dort beträgt ihr wechselseitiger Abstand etwa 4 µm. Werden zwei Strahlenbündel von der<br />
Augenlinse auf Punkte der Netzhaut fokussiert, deren Abstand weniger als diese 4 µm beträgt,<br />
so treffen beide Strahlenbündel dieselben Sinneszellen auf der Netzhaut und können<br />
also vom Auge nicht mehr unterschieden werden. Das ist der Grund, weshalb wir in einem<br />
gewissen Bereich um die Bildweite herum den Eindruck eines scharfen Bildes haben. Wir<br />
sehen es nicht besser.<br />
Wie kleine Details wir noch an einem Gegenstand erkennen können, hängt also von der<br />
Größe des auf der Netzhaut entworfenen Bildes ab, bzw. davon welche Details uns gerade<br />
noch unter einem Winkel von etwa einer Bogenminute erscheinen. Wird der Gegenstand<br />
näher ans Auge gerückt, erscheinen kleinere Details als zuvor unter diesem Winkel und wir<br />
erkennen die Struktur des Gegenstandes deutlicher.<br />
Bis herunter zu einer Gegenstandsentfernung von etwa 25 cm, der Bezugssehweite, vermag<br />
das Auge noch ohne Akkommodation, d.h. ohne die Anpassung der Linsenbrennweite, scharf<br />
zu sehen. Zwischen 25 cm und 10 cm, dem Nahpunkt muss zur Scharfstellung des Bildes die<br />
Brennweite der Linse angepasst werden (Abb. OA.6). Die Ziliarmuskeln, die die Linse umgeben<br />
werden angspannt, wodurch die Wölbung vergrößert wird und die Brechkraft steigt.<br />
Auf Gegenstände, die sich näher als 10 cm am Auge befinden, kann nicht fokussiert werden.<br />
Die feinsten Details erkennen wir also, wenn wir einen Gegenstand in einem Abstand von<br />
höchstens 10 cm vor das Auge halten. Alle Abstandsangaben sind Mittelwerte.<br />
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Optische Abbildung mit Linsen<br />
3.7. Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse<br />
Die einfachste Methode, eine grobe Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse zu erhalten,<br />
ist die Abbildung eines weit entfernten Gegenstand auf einen Schirm. Da in diesem<br />
Fall die Strahlen, die vom Gegenstand auf die Linse fallen, nahezu parallel sind, muss das<br />
Bild in der Nähe der Brennebene der Linse liegen, d.h. die Brennweite entspricht in etwa<br />
dem Abstand zwischen Schirm und Linse.<br />
Die Autokollimation (siehe Abb. OA.7) entspricht im Prinzip der oben erwähnten Methode,<br />
liefert aber wesentlich genauere Ergebnisse. Dabei wird eine Lochblende in den Brennpunkt<br />
der Linse gebracht. Hinter der Linse wird ein Spiegel aufgestellt, der das Bild der<br />
Lochblende auf eine Mattscheibe in der Brennebene zurückwirft. Damit das Bild nicht genau<br />
in die Lochblende fällt, muss der Spiegel etwas gedreht werden. Befindet sich die Lochblende<br />
genau in der Brennebene, so sind die Strahlen hinter der Linse parallel und eine<br />
Verschiebung des Spiegels kann das Bild nicht ändern.<br />
f<br />
h<br />
f<br />
Spiegel<br />
f<br />
h<br />
f<br />
Spiegel<br />
Blende<br />
Blende<br />
F F’<br />
F’ F<br />
s 1<br />
s 2<br />
Abbildung OA.7: Brennweitebestimmung durch Autokollimation, hier ist eine dicke Linse<br />
gezeichnet.<br />
Gemessen wird bei dieser Methode der Abstand s 1 der Reitermarke von der Lochblende.<br />
Dreht man Reiter und Linse um 180 ◦ , so erhält man als Messergebnis einen Wert s 2 . Der<br />
Abb. OA.7 entnimmt man, dass die Summe der beiden Messungen<br />
s = s 1 + s 2 = 2f + h<br />
(OA.6)<br />
im Falle einer dünnen Linse (h = 0) eine direkte Bestimmung der Brennweite erlaubt.<br />
Das Besselverfahren ist eine weitere Möglichkeit der Brennweitenbestimmung (Abb. OA.8).<br />
Bei diesem Verfahren wählt man einen festen Abstand d zwischen Gegenstands- und Bildebene.<br />
Wird dieser Abstand grösser als 4f gewählt, so sind zwei Linsenstellungen möglich,<br />
die beide zu einem scharfen Bild führen. Die Differenz der beiden Linsenpositionen soll<br />
e genannt werden. Der Aufbau ist symmetrisch, die Bildweite der einen Linsenstellung ist<br />
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Grundlagen der geometrischen Optik<br />
OA<br />
g 1 b 1<br />
G<br />
g 2 b 2<br />
B 2<br />
d<br />
B 1<br />
Abbildung OA.8: Brennweitebestimmung durch Besselverfahren (durchgezogene Linien:<br />
Stellung 1, strichliert: Stellung 2)<br />
gleich der Gegenstandsweite der anderen, und umgekehrt. Ursache ist die Vertauschbarkeit<br />
von b und g in Gleichung OA.3. Für beide Linsenstellungen gilt:<br />
d = b + g<br />
e = |g − b|<br />
d 2 − e 2 = 4 · b · g (OA.7)<br />
Weiterhin muss die Abbildungsgleichung OA.3 gelten. Löst man sie nach f auf, so erhält<br />
man mithilfe von Gl. OA.7 die Brennweite der Linse:<br />
f = b · g<br />
b + g<br />
f = d2 − e 2<br />
4 · d<br />
(OA.8)<br />
Da e als Differenz gemessen wird, benötigt man wie beim Autokollimationsverfahren nicht<br />
die Kenntnis über den Abstand der Reitermarke von der Hauptebene der Linse.<br />
Zunächst könnte man annehmen, dass es für Zerstreuungslinsen unmöglich ist, mit den beiden<br />
Verfahren die Brennweite zu bestimmen, da jeweils ein reelles Bild betrachtet wird.<br />
Man kann jedoch durch Hinzufügen einer stärkeren Sammellinse das virtuelle Bild auf einen<br />
Schirm abbilden. Aus den Ergebnissen für das Linsensystem und den Daten der Sammellinse<br />
kann die gesuchte Brennweite bestimmt werden.<br />
Für dicke Sammellinsen gibt es Verfahren durch Autokollimation und Bessel die Brennweite<br />
und den Abstand der Hauptebenen zu bestimmen.<br />
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OA<br />
Optische Abbildung mit Linsen<br />
4. Aufgaben<br />
4.1. Messung<br />
Stellen Sie die Experimentierleuchte so weit links wie möglich auf, damit Sie für die folgenden<br />
Versuche ausreichend Platz haben. Das Objekt sind mehrere Lochblenden, die zu<br />
einem L angeordnet sind. Es empfiehlt sich, den horizontalen Abstand des Objekts zur Reitermarkierungen<br />
der Lampe zu notieren. Bevor Sie weitere Elemente auf der optischen Bank<br />
positionieren, bilden Sie die Glühwendel der Experimentierleuchte auf eine möglichst weit<br />
(warum?) entfernte Wand ab. Die Entfernung der Glühwendel vom Kondensorobjektiv kann<br />
an der Leuchte eingestellt werden.<br />
1. Wenden Sie für beide Sammellinsen separat das Autokollimationsverfahren an. Das<br />
Objekt liegt dann in der Brennebene, wenn eine Verschiebung des Spiegels keine<br />
Änderung des Bildes hervorruft. Man muss jeweils die Linse um 180 ◦ drehen, da die<br />
Reitermarkierung nicht notwendig mit der Hauptebene der Linse übereinstimmt.<br />
2. Wenden Sie für beide Sammellinsen separat das Besselsche Verfahren an. Bedenken<br />
Sie, dass der Abstand d zwischen Objekt und Schirm größer sein muss, als das Vierfache<br />
der Brennweite.<br />
3. Realisieren Sie folgende Abbildungen für eine der beiden Sammellinsen:<br />
a) |g| > 2|f| und b) |f| < |g| < 2|f|.<br />
Dabei sind jeweils drei verschiedene Einstellungen vorzunehmen. Bestimmen Sie für<br />
jede Einstellung die Beträge von g, b, β und f. Aus den daraus folgenden Werten für<br />
die Brennweite der Linse bilde man den Mittelwert.<br />
4. Man bilde aus den beiden Sammellinsen ein Linsensystem und bestimme mit dem<br />
Autokollimationsverfahren die Brennweite des Systems. Um einen reproduzierbaren<br />
Abstand zwischen den Linsen zu haben, wählen Sie den Abstand so, dass sich die<br />
Reiter der Linsenhalter berühren.<br />
5. Bestimmen Sie für ein beliebiges optisches Instrument, das Sie selbst mitbringen (Brille,<br />
Photoobjektiv...), die Brennweite und vergleichen das Ergebnis mit der Herstellerangabe.<br />
6. Bestimmen Sie ihren Nahpunkt, also die geringste Entfernung in der Sie einen Gegenstand,<br />
etwa Ihren Stift, scharf sehen können, gegebenenfalls mit und ohne Brille 2 .<br />
Verwenden Sie beide Sammellinsen als Lupe und betrachten Sie den Gegenstand auch<br />
durch die Zerstreuungslinse. Halten Sie dabei die Linsen dicht vors Auge.<br />
2 Falls es Ihre Persönlichkeitsrechte erfordern, muss der Wert nicht im Protokoll auftauchen.<br />
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Auswertung<br />
OA<br />
5. Auswertung<br />
• Aufgaben 1 bis 3: Stellen Sie alle gemessenen Brennweiten in einer Tabelle dar und<br />
vergleichen Sie sie mit der Herstellerangabe. Begründen Sie welcher Wert Ihnen am<br />
genauesten erscheint. Bilden Sie für jede Linse einen Mittelwert.<br />
• Aufgabe 4: Berechnen Sie für die Linsenkombination mit Gl.OA.5 die Brennweite f<br />
des Systems aus den gemessenen Einzelbrennweiten der beiden Sammellinsen. Nehmen<br />
Sie dabei an, dass die Hauptebenen über der Reitermarkierung sitzen. Vergleichen<br />
Sie das Ergebnis mit der Messung<br />
• Aufgabe 6: Vergleichen Sie qualitativ die Ergebnisse die sich beim direkten Blick<br />
durch die drei Linsen zeigen.<br />
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