Linsengesetze

OA
OA
Optische Abbildung mit Linsen
1. Stichworte
Brechungsgesetz, geometrische Optik, dünne Linsen, Sammellinsen, Zerstreuungslinsen, Linsengesetze,
Linsensysteme, Abbildungsfehler, Auge, Besselverfahren, Autokollimation
Bei nahezu allen optischen Anwendungen werden Linsen und Spiegel eingesetzt, es ist daher
Ziel des Versuchs, einige grundlegende Eigenschaften von Linsen, insbesondere ihre Abbildungseigenschaften
zu vermitteln. Dabei sollen neben experimentellen Techniken, wie der
Bestimmung von Brennweiten, auch die einfachsten Abbildungsfehler gezeigt werden.
2. Literatur
Demtröder, Experimentalphysik 2, Kap. 9
Hecht, Optik
Harten, Physik, Kap. 7.2
3. Grundlagen der geometrischen Optik
Die Optik umfasst drei Theorien, namentlich Geometrische Optik, Wellenoptik und Quantenoptik.
Die Annahmen der geometrischen Optik sind dann gut erfüllt, wenn die Wellenlänge
des Lichts klein gegen die Durchmesser und Abstände der betrachteten Blenden,
Spiegel und Linsen ist.
Hier wird angenommen, dass sich in einem homogenen Medium
Lichtstrahlen geradlinig und unabhängig voneinander ausbreiten.
Der Weg des Lichtes ist umkehrbar. An Grenzflächen zwischen
unterschiedlichen Medien gelten das Reflexions- und das
Brechungsgesetz.
ϕ ϕ
1 1’
n 1
Reflexion
Brechung
ϕ 1 = ϕ ′ (OA.1)
1 n 1 · sin ϕ 1 = n 2 · sin ϕ 2
Dabei ist n der Brechungsindex eines Materials. Meist werden
Übergänge Luft/Glas betrachtet, d.h. n 1 ≈ 1 und n 2 >1. Der Brechungsindex
ändert sich mit der Wellenlänge des Lichts, was als
Dispersion bezeichnet wird.
Im Folgenden werden Lichtstrahlen immer als von links kommend
angenommen. Abstände sind gerichtete Größen, wobei
Abstände in Lichtrichtung positiv (entgegengesetze negativ) bzw.
nach oben positiv (nach unten negativ) gerechnet werden.
2
n 2
Abbildung OA.1:
Brechungs- und Reflexionsgesetz
1

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3.1. Dünne Sammellinsen
Ein Bündel paralleler Lichtstrahlen kann nun durch eine geeignet geformte Linse so abgelenkt
werden, dass sie hinter der Linse alle durch den Brennpunkt laufen. Gerne idealisiert
man die Linse so, dass die Brechung statt an den beiden Oberflächen in einer Ebene, der sogenannten
Hauptebene stattfindet. Linsen sind rotationssymmetrisch, die Symmetrieachse
heisst optische Achse. Der Abstand des Brennpunkts von der Hauptebene ist die Brennweite.
Man kann nun untersuchen, wie sich Lichtstrahlen, die alle von einem beliebigen Punkt
kommen, nach Durchlaufen der Linse, verhalten. Sie vereinigen sich in einem Bildpunkt.
g
b
G
F
F’
B
f f’
Abbildung OA.2: Konstruktion eines Bildes bei einer dünnen Linse, von oben nach unten
sind hier Parallelstrahl, Zentralstrahl und Brennstrahl eingezeichnet. Die mit x und o markierten
Ecken werden später für die Linsengleichungen OA.2 und OA.3 gebraucht.
Bildet man die Spitze eines Gegenstands G ab, so erhält man die Spitze des Bildes B Zur
Konstruktion des Bildpunktes sind drei spezielle Strahlen hilfreich, im Bild OA.2 von oben
nach unten: Der Parallelstrahl wird von der Linse in den Brennpunkt abgelenkt. Der Zentralstrahl
verlässt die Linse aus Symmetriegründen geradlinig. Der Brennstrahl verlässt die
Linse parallel zur optischen Achse. Er ist die Umkehrung des Parallelstrahls. Alle anderen
Strahlen von G, die die Linse treffen vereinigen sich auch in B.
Bei obigem (Abb.OA.2) Aufbau konvergieren die Lichtstrahlen nach der Linse und schneiden
sich tatsächlich, man spricht von einem reellen Bild. Es ist durch eine Mattscheibe oder
einen fotografischen Film nachweisbar. Bei anderen Ausgangspunkten (z.B.Abb. OA.3 divergieren
die Strahlenbündel hinter der Linse, dadurch schneiden sich aber ihre rückwärtigen
Verlängerungen. Sie scheinen also alle von einem Punkt zu kommen, das Auge nimmt
ein virtuelles Bild wahr. Das bekannteste virtuelle Bild wird von einem ebenen Spiegel erzeugt.
Es erscheint hinter dem Spiegel, ist dort aber nicht nachweisbar, sondern nur durch
einen Blick in den Spiegel.
Sammellinsen erzeugen virtuelle Bilder, wenn der Gegenstand innerhalb der einfachen Brennweite
steht siehe Abb.OA.3. Hier sind die Konstruktionsstrahlen von oben nach unten: Brennstrahl,
Parallelstrahl, Zentralstrahl. Bei dieser Verwendung wird die Sammellinse auch als
Lupe bezeichnet. Das Bild ist virtuell, aufrecht und vergrößert.
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Grundlagen der geometrischen Optik
OA
F
B
G
g
b
f f’
F’
Abbildung OA.3: Bildkonstruktion der Lupe, von oben nach unten sind Brennstrahl, Parallelstrahl
und Zentralstrahl zu sehen.
3.2. Dünne Streulinsen
Streulinsen sind so gebaut, dass ein parallel einfallendes Lichtbündel sie divergent verlässt
siehe Abb.OA.4. Dabei scheinen alle Strahlen aus einem Punkt, dem Brennpunkt zu kommen.
Da er links von der Linse liegt, hat die Brennweite f einen negativen Wert. Die Form
einer Streulinse wird als konkav bezeichnet, im Gegensatz zur konvexen Sammellinse.
F’
G
g
B
f
’
b
Abbildung OA.4: Bildkonstruktion der Streulinse, von oben nach unten sind Parallelstrahl,
Brennstrahl und Zentralstrahl zu sehen.
Bemerkenswert ist die Ähnlichkeit zu Abb.OA.3. Gegenstands- und Bildgrößen sind vertauscht.
Das Bild der Streulinse ist immer virtuell, verkleinert und aufrecht.
f
F
3

OA
Optische Abbildung mit Linsen
3.3. Die Linsengleichung
Der Abbildungsmaßstab β gibt das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G
wieder. Man findet mit Hilfe des Strahlensatzes an Zentralstrahl und optischer Achse:
β = B G = b g .
(OA.2)
Dabei kann nach Belieben Abb.OA.2, Abb.OA.3 oder sogar Abb.OA.4 herangezogen werden.
Strenggenommen ist β immer negativ, das Vorzeichen wird aber häufig unterschlagen.
Die sogenannte Linsengleichung findet man durch den Strahlensatz an Brennstrahl und optischer
Achse. Hierbei wird Gleichung OA.2 angewendet und durch f dividiert.
g − f
G
g − f
g
1
g + 1 b
= f B
= f b
= 1 f
(OA.3)
Der Ausdruck D := 1/f wir als Brechkraft bezeichnet. Ihre Einheit ist die Dioptrie [D] =
dpt = m −1 . Aus der Abbildungsgleichung OA.3 folgt für die Bildweite:
b = g · f
g − f .
(OA.4)
Das bedeutet für Sammellinsen, dass der Abbildungsmaßstab gerade -1 ist, wenn sich der
Gegenstand im Abstand g = 2 · f befindet. Für g = f ist b nicht definiert.
Zusammenfassend gilt also für das Bild einer Linse:
f > 0 g < f virtuell vergrößert aufrecht
g = f keins alle Strahlen sind parallel zum Zentralstrahl
f < g < 2 · f reell vergrößert umgedreht
g > 2f reell verkleinert umgedreht
f < 0 virtuell verkleinert aufrecht
Das Bild wird von der Gegenstandsweite bestimmt, sowie vom Vorzeichen der Brennweite
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Grundlagen der geometrischen Optik
OA
3.4. Linsensysteme und dicke Linsen
Für das einfachste zusammengesetzte Linsensystem, zwei dünne Linsen, deren Hauptebenen
in einem kleinen Abstand d voneinander angeordnet sind, ergibt sich für die Gesamtbrennweite
f ges :
1
f ges
= 1 f 1
+ 1 f 2
−
d
f 1 · f 2
,
(OA.5)
Aufgrund ihrer Form kann man sie nicht beliebig nahe aneinanderbringen. Für d = 0 würden
sich die Brechkräfte addieren.
Ab einer gewissen Dicke einer einzelnen Linse ist es nicht mehr opportun, die Brechung an
den beiden Oberflächen der Linse mit einer Hauptebene zu beschreiben. Man definiert zwei
Hauptebenen. Die Bildkonstruktion lässt alle Strahlen zwischen den Hauptebenen parallel
zur optischen Achse verlaufen - in etwa so als ob man den Bereich zwischen den Ebenen
herausschneidet.
3.5. Bildfehler
Nach (Gl. OA.1) hängt die Brechkraft einer Linse vom Brechungsindex des Glases ab. Der
Brechungsindex ist jedoch von der Wellenlänge des Lichtes abhängig. Bei der normalen Dispersion
wird rotes Licht schwächer gebrochen als blaues Licht, weshalb die Brennweite für
rotes Licht grösser ist als die für blaues Licht 1 . Dieser Linsenfehler wird als chromatische
Aberration bezeichnet. Man kann ihn durch Kombination mehrerer Linsen unterdrücken.
Häufig werden als Linsenoberflächen zwei Kugelausschnitte gewählt. Die Aussage, dass sich
parallele Strahlen im Brennpunkt kreuzen, gilt dann nur für Strahlen nahe der optischen Achse.
Je weiter ein Strahl von der optischen Achse entfernt ist, desto näher rückt sein Schnittpunkt
mit der optischen Achse an die Hauptebene, d.h. achsenferne Strahlen haben eine
kleinere Brennweite als achsennahe Strahlen. Man spricht von sphärischer Aberration für
diesen Abbildungsfehler, den man durch asphärische Linsenoberflächen eliminieren kann.
Trifft ein paralleles Lichtbündel unter einem größeren Winkel auf die Linse, oder ist die
Rotationssymmetrie der Linse gestört, so schneiden sich die Strahlen hinter der Linse nicht
in einem Punkt, sondern in einem Bereich um den Brennpunkt. Dies wird als Astigmatismus
bezeichnet.
1 Eine einfache Merkregel hierzu bietet der Alkoholkonsum: ”
Blau bricht stärker“.
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OA
Optische Abbildung mit Linsen
3.6. Das menschliche Auge
Abbildung OA.5: Zwei ins Auge fallende Strahlenbündel, die unter einem Winkel von kleiner
als einer Bogenminute gegeneinander geneigt sind, werden auf zwei Punkte auf der
Netzhaut abgebildet, die weniger als 4 µm, der durchschnittliche Abstand der lichtempfindlichen
Zellen, voneinander entfernt sind. Sie erregen deshalb die gleichen Sinneszellen und
so können die Punkte, von denen sie ausgehen, nicht voneinander unterschieden werden.
Abbildung OA.6: Sollen nähere Gegenstände fokussiert werden, so passt das Auge die Linsenbrennweite
an. Das ist anders als bei einer Kamera, in der der Abstand der Linse zum
Film verändert wird. Je mehr man einen Gegenstand dem Auge nähert, desto größer wird
das Netzhautbild, und desto feinere Details können deshalb aufgelöst werden.
Wesentliche Bestandteile des menschlichen Auges sind eine Linse variabler Brennweite und
die Netzhaut. Die Linse projiziert ein reelles Bild auf die Netzhaut. In der Netzhaut sitzen
lichtempfindliche Zellen, die Zapfen und die Stäbchen, deren Signale zuerst von den Nervenzellen
der Netzhaut verarbeitet werden und dann über den Sehnerv ans Sehzentrum im
Gehirn weitergeleitet werden.
Das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges ist begrenzt. Zwei Details, die dem Auge
unter einem Winkel von kleiner als 1’ (einer Bogenminute, das ist der sechzigste Teil eines
Grades) erscheinen, können nicht mehr als getrennte Punkte wahrgenommen werden. Die
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Grundlagen der geometrischen Optik
OA
Erklärung dafür ist einfach. Am dichtesten stehen die Zapfen, die für das Scharfsehen verantwortlichen
lichtempfindlichen Zellen, in der Netzhautgrube, der Stelle größter Bildschärfe.
Dort beträgt ihr wechselseitiger Abstand etwa 4 µm. Werden zwei Strahlenbündel von der
Augenlinse auf Punkte der Netzhaut fokussiert, deren Abstand weniger als diese 4 µm beträgt,
so treffen beide Strahlenbündel dieselben Sinneszellen auf der Netzhaut und können
also vom Auge nicht mehr unterschieden werden. Das ist der Grund, weshalb wir in einem
gewissen Bereich um die Bildweite herum den Eindruck eines scharfen Bildes haben. Wir
sehen es nicht besser.
Wie kleine Details wir noch an einem Gegenstand erkennen können, hängt also von der
Größe des auf der Netzhaut entworfenen Bildes ab, bzw. davon welche Details uns gerade
noch unter einem Winkel von etwa einer Bogenminute erscheinen. Wird der Gegenstand
näher ans Auge gerückt, erscheinen kleinere Details als zuvor unter diesem Winkel und wir
erkennen die Struktur des Gegenstandes deutlicher.
Bis herunter zu einer Gegenstandsentfernung von etwa 25 cm, der Bezugssehweite, vermag
das Auge noch ohne Akkommodation, d.h. ohne die Anpassung der Linsenbrennweite, scharf
zu sehen. Zwischen 25 cm und 10 cm, dem Nahpunkt muss zur Scharfstellung des Bildes die
Brennweite der Linse angepasst werden (Abb. OA.6). Die Ziliarmuskeln, die die Linse umgeben
werden angspannt, wodurch die Wölbung vergrößert wird und die Brechkraft steigt.
Auf Gegenstände, die sich näher als 10 cm am Auge befinden, kann nicht fokussiert werden.
Die feinsten Details erkennen wir also, wenn wir einen Gegenstand in einem Abstand von
höchstens 10 cm vor das Auge halten. Alle Abstandsangaben sind Mittelwerte.
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OA
Optische Abbildung mit Linsen
3.7. Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse
Die einfachste Methode, eine grobe Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse zu erhalten,
ist die Abbildung eines weit entfernten Gegenstand auf einen Schirm. Da in diesem
Fall die Strahlen, die vom Gegenstand auf die Linse fallen, nahezu parallel sind, muss das
Bild in der Nähe der Brennebene der Linse liegen, d.h. die Brennweite entspricht in etwa
dem Abstand zwischen Schirm und Linse.
Die Autokollimation (siehe Abb. OA.7) entspricht im Prinzip der oben erwähnten Methode,
liefert aber wesentlich genauere Ergebnisse. Dabei wird eine Lochblende in den Brennpunkt
der Linse gebracht. Hinter der Linse wird ein Spiegel aufgestellt, der das Bild der
Lochblende auf eine Mattscheibe in der Brennebene zurückwirft. Damit das Bild nicht genau
in die Lochblende fällt, muss der Spiegel etwas gedreht werden. Befindet sich die Lochblende
genau in der Brennebene, so sind die Strahlen hinter der Linse parallel und eine
Verschiebung des Spiegels kann das Bild nicht ändern.
f
h
f
Spiegel
f
h
f
Spiegel
Blende
Blende
F F’
F’ F
s 1
s 2
Abbildung OA.7: Brennweitebestimmung durch Autokollimation, hier ist eine dicke Linse
gezeichnet.
Gemessen wird bei dieser Methode der Abstand s 1 der Reitermarke von der Lochblende.
Dreht man Reiter und Linse um 180 ◦ , so erhält man als Messergebnis einen Wert s 2 . Der
Abb. OA.7 entnimmt man, dass die Summe der beiden Messungen
s = s 1 + s 2 = 2f + h
(OA.6)
im Falle einer dünnen Linse (h = 0) eine direkte Bestimmung der Brennweite erlaubt.
Das Besselverfahren ist eine weitere Möglichkeit der Brennweitenbestimmung (Abb. OA.8).
Bei diesem Verfahren wählt man einen festen Abstand d zwischen Gegenstands- und Bildebene.
Wird dieser Abstand grösser als 4f gewählt, so sind zwei Linsenstellungen möglich,
die beide zu einem scharfen Bild führen. Die Differenz der beiden Linsenpositionen soll
e genannt werden. Der Aufbau ist symmetrisch, die Bildweite der einen Linsenstellung ist
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Grundlagen der geometrischen Optik
OA
g 1 b 1
G
g 2 b 2
B 2
d
B 1
Abbildung OA.8: Brennweitebestimmung durch Besselverfahren (durchgezogene Linien:
Stellung 1, strichliert: Stellung 2)
gleich der Gegenstandsweite der anderen, und umgekehrt. Ursache ist die Vertauschbarkeit
von b und g in Gleichung OA.3. Für beide Linsenstellungen gilt:
d = b + g
e = |g − b|
d 2 − e 2 = 4 · b · g (OA.7)
Weiterhin muss die Abbildungsgleichung OA.3 gelten. Löst man sie nach f auf, so erhält
man mithilfe von Gl. OA.7 die Brennweite der Linse:
f = b · g
b + g
f = d2 − e 2
4 · d
(OA.8)
Da e als Differenz gemessen wird, benötigt man wie beim Autokollimationsverfahren nicht
die Kenntnis über den Abstand der Reitermarke von der Hauptebene der Linse.
Zunächst könnte man annehmen, dass es für Zerstreuungslinsen unmöglich ist, mit den beiden
Verfahren die Brennweite zu bestimmen, da jeweils ein reelles Bild betrachtet wird.
Man kann jedoch durch Hinzufügen einer stärkeren Sammellinse das virtuelle Bild auf einen
Schirm abbilden. Aus den Ergebnissen für das Linsensystem und den Daten der Sammellinse
kann die gesuchte Brennweite bestimmt werden.
Für dicke Sammellinsen gibt es Verfahren durch Autokollimation und Bessel die Brennweite
und den Abstand der Hauptebenen zu bestimmen.
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OA
Optische Abbildung mit Linsen
4. Aufgaben
4.1. Messung
Stellen Sie die Experimentierleuchte so weit links wie möglich auf, damit Sie für die folgenden
Versuche ausreichend Platz haben. Das Objekt sind mehrere Lochblenden, die zu
einem L angeordnet sind. Es empfiehlt sich, den horizontalen Abstand des Objekts zur Reitermarkierungen
der Lampe zu notieren. Bevor Sie weitere Elemente auf der optischen Bank
positionieren, bilden Sie die Glühwendel der Experimentierleuchte auf eine möglichst weit
(warum?) entfernte Wand ab. Die Entfernung der Glühwendel vom Kondensorobjektiv kann
an der Leuchte eingestellt werden.
1. Wenden Sie für beide Sammellinsen separat das Autokollimationsverfahren an. Das
Objekt liegt dann in der Brennebene, wenn eine Verschiebung des Spiegels keine
Änderung des Bildes hervorruft. Man muss jeweils die Linse um 180 ◦ drehen, da die
Reitermarkierung nicht notwendig mit der Hauptebene der Linse übereinstimmt.
2. Wenden Sie für beide Sammellinsen separat das Besselsche Verfahren an. Bedenken
Sie, dass der Abstand d zwischen Objekt und Schirm größer sein muss, als das Vierfache
der Brennweite.
3. Realisieren Sie folgende Abbildungen für eine der beiden Sammellinsen:
a) |g| > 2|f| und b) |f| < |g| < 2|f|.
Dabei sind jeweils drei verschiedene Einstellungen vorzunehmen. Bestimmen Sie für
jede Einstellung die Beträge von g, b, β und f. Aus den daraus folgenden Werten für
die Brennweite der Linse bilde man den Mittelwert.
4. Man bilde aus den beiden Sammellinsen ein Linsensystem und bestimme mit dem
Autokollimationsverfahren die Brennweite des Systems. Um einen reproduzierbaren
Abstand zwischen den Linsen zu haben, wählen Sie den Abstand so, dass sich die
Reiter der Linsenhalter berühren.
5. Bestimmen Sie für ein beliebiges optisches Instrument, das Sie selbst mitbringen (Brille,
Photoobjektiv...), die Brennweite und vergleichen das Ergebnis mit der Herstellerangabe.
6. Bestimmen Sie ihren Nahpunkt, also die geringste Entfernung in der Sie einen Gegenstand,
etwa Ihren Stift, scharf sehen können, gegebenenfalls mit und ohne Brille 2 .
Verwenden Sie beide Sammellinsen als Lupe und betrachten Sie den Gegenstand auch
durch die Zerstreuungslinse. Halten Sie dabei die Linsen dicht vors Auge.
2 Falls es Ihre Persönlichkeitsrechte erfordern, muss der Wert nicht im Protokoll auftauchen.
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Auswertung
OA
5. Auswertung
• Aufgaben 1 bis 3: Stellen Sie alle gemessenen Brennweiten in einer Tabelle dar und
vergleichen Sie sie mit der Herstellerangabe. Begründen Sie welcher Wert Ihnen am
genauesten erscheint. Bilden Sie für jede Linse einen Mittelwert.
• Aufgabe 4: Berechnen Sie für die Linsenkombination mit Gl.OA.5 die Brennweite f
des Systems aus den gemessenen Einzelbrennweiten der beiden Sammellinsen. Nehmen
Sie dabei an, dass die Hauptebenen über der Reitermarkierung sitzen. Vergleichen
Sie das Ergebnis mit der Messung
• Aufgabe 6: Vergleichen Sie qualitativ die Ergebnisse die sich beim direkten Blick
durch die drei Linsen zeigen.
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