Neutrino-Oszillationen und der MSW-Effekt - Physikalisches Institut ...

Eberhard Karls Universität Tübingen
Physikalisches Institut
Neutrino Seminar
Betreuung: Prof. Dr. Jochum
Neutrino-Oszillationen und der MSW-Effekt
Handout
Sebastian Bölzle
19.06.2006
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
1.1 Was sind Neutrino-Oszillationen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Gründe für Neutrino-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Theorie der Neutrino-Oszillationen im Vakuum 2
2.1 Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Formalisums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Oszillation für drei Flavorzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Neutrino-Oszillationen in Materie: der MSW-Effekt 8
3.1 Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Das solare Neutrino-Problem und der MSW-Effekt 11

1 Einleitung
1.1 Was sind Neutrino-Oszillationen?
Im Standard-Modell sind Neutrinos Elementarteilchen und gehören zur Gruppe der Leptonen.
Innerhalb des Modells besitzen sie keine Ladung und keine Masse, weshalb sie nur
an der schwachen Wechselwirkung teilnehmen. Zu jeder der drei Leptonfamilien existiert
ein Neutrino, d.h es gibt drei Neutrinosorten, nämlich das Elektron-, das Myon- und das
Tauon-Neutrino, kurz ν e , ν µ , und ν τ . Diese so genannten Flavors sind Eigenzustände der
schwachen Wechselwirkung, da sie allein über diese erzeugt und vernichtet werden. Im
Standard-Modell gilt die Leptonenzahlerhaltung, wonach Übergänge nur innerhalb der Leptonfamilien
möglich sind.
Unter Neutrino-Oszillationen versteht man nun die Umwandlung eines Neutrinos einer bestimmten
Sorte in ein Neutrino einer anderen Sorte. Das bedeutet, dass man z.B. bei einem
reinen ν µ -Strahl nach einer Flugstrecke x eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit dafür
findet, ein ν e nachzuweisen. Diese zeitlich oszillierenden Übergänge einer Teilchensorte
in eine andere sind typisch quantenmechanische Effekte und beispielsweise bei den Quarks
schon bekannt. Da Neutrino-Oszillationen innerhalb des Standard-Modells nicht möglich
sind, wäre ein Nachweis ein guter Hinweis auf eine Physik jenseits des Standard-Modells.
1.2 Gründe für Neutrino-Oszillationen
Die Existenz von Neutrino-Oszillationen könnte sowohl das solare als auch das atmosphärische
Neutrino-Problem erklären. Unter dem solaren Neutrino-Problem versteht man das im
Experiment gemessene Defizit an Elektron-Neutrinos, die in der Sonne bei thermonuklearen
Reaktionen entstehen und deren Fluß im Standard-Sonnen-Modell (SSM) vorhergesagt
wird. Hierbei sollte eine ν e → ν µ -Umwandlung stattfinden. Hervorzuheben ist hier vor allem
das Homestake-Experiment.
Auch bei Experimenten zum Nachweis der in der Atmosphäre durch kosmische Strahlung
erzeugten Myon-Neutrinos wurden Defizite beobachtet (vgl. Kamiokande-Experiment), wobei
hier ν µ → ν τ -Umwandlungen stattfinden sollten.
Darüber hinaus zeigen neueste Experimente, dass Neutrinos nicht masselos und damit
Oszillationen nahezu erwartbar sind (vgl. SNO-Experiment).
2 Theorie der Neutrino-Oszillationen im Vakuum
2.1 Annahmen
Im Folgenden werden nur stabile, ultrarelativistische Neutrinos, die sich im Vakuum befinden,
betrachtet. Bei instabilen Neutrinos müßte man noch die Zerfallsbreite mittels eines
Faktors e −Γt/2 berücksichtigen, was am Ergebnis jedoch nichts ändern würde. Darüber
hinaus werden entweder reine Dirac- oder reine Majorana-Charakter vorausgesetzt, d.h.
entweder existiert zu den jeweiligen Neutrinos je ein Antiteilchen oder sie sind identisch
2

mit ihren Antiteilchen. Für die Oszillationen würde dies keinen messbaren Unterschied ergeben.
Weiterhin wird angenommen, dass mindestens ein Neutrino eine von Null verschiedene
Ruhemasse besitzt. Damit bekommt der Hamilton-Operator der Neutrinos zusätzlich zum
Term der schwachen Wechselwirkung einen Massenterm, der die freie Bewegung beschreibt.
Dies hat zur Folge, dass Flavor- und Masseneigenzustände existieren, die im Allgemeinen
nicht identisch sind.
Darüber hinaus soll eine Mischung der Flavorzustände möglich sein, womit die Leptonenzahlerhaltung
verletzt ist. Das bedeutet, dass z.B. ein Übergang ν µ → ν e stattfinden kann.
Zuletzt soll außerdem die CP -Erhaltung gelten.
2.2 Formalisums
Um das Grundprinzip der Neutrino-Oszillationen zu verdeutlichen, wird hier nur eine Zweizustands-Mischung,
die ν µ ν e -Mischung, betrachtet. Im Folgenden wird zu Gunsten der
Übersichtlichkeit der Gleichungen nicht das SI-Einheitensystem verwendet, sondern wie in
der Fachliteratur meist üblich = c = 1 gesetzt. Zur Beschreibung der Oszillationen geht
man von zwei verschiedenen Basissystemen für den zweidimensionalen Hilbertraum aus:
Flavoreigenzustände: |ν α 〉 mit α = e, µ
Masseneigenzustände: |ν j 〉 mit j = 1, 2,
wobei |ν α 〉 Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung sind und |ν j 〉 Eigenzustände des
Massenoperators M mit M|ν j 〉 = m j |ν j 〉, j = 1, 2 sind. Es muss außerdem m 1 ≠ m 2
gelten. Diese Eigenzustände bilden jeweils eine Orthonormalbasis, da die Operatoren hermitesch
sind. Nun gibt es eine unitäre Transformation, die die eine Basis in die andere
überführt. In diesem zweidimensionalen Fall ist das gerade die Drehung in der Ebene um
einen Winkel θ :
( )
cos θ sin θ
U =
(1)
− sin θ cos θ
Damit kann man jetzt die Flavoreigenzustände in der Basis der Masseneigenzustände darstellen:
( ) ( ) ( )
νe cos θ sin θ ν1
=
(2)
ν µ − sin θ cos θ ν 2
also
|ν e 〉 = cos θ|ν 1 〉 + sin θ|ν 2 〉
|ν µ 〉 = − sin θ|ν 1 〉 + cos θ|ν 2 〉 (3)
Man nennt θ den Mischungswinkel, der mit dem so genannten Cabibbo-Mischungswinkel
für Quarks zu vergleichen ist. Wäre θ sehr klein, so wäre cos θ nahezu 1 und der Elektron-
Neutrino Zustand würde fast ausschließlich aus dem Zustand zu m 1 bestehen, ebenso der
3

Myon-Neutrino-Zustand ausschließlich aus dem zu m 2 zugehörigen. Wäre der Mischungswinkel
maximal (θ = π/4), so würde jeder Neutrino-Zustand gleichermaßen aus den Masseneigenzuständen
bestehen (vgl. Abb. 1).
Abbildung 1: Flavor- und Masseneigenzustände [1]
Die Zeitentwicklung √
der Masseneigenzustände hängt von deren relativistischer Energie
E j = p 2 j + m2 j ab, wobei p j der zugehörige Impuls ist. Sie läßt sich mit Hilfe des Zeitentwicklungsoperators
e −iE jt darstellen:
|ν j (t)〉 = e −iE jt |ν j 〉
Betrachtet man jetzt z.B. zur Zeit t = 0 = ein über die schwache Wechselwirkung erzeugtes
Myon-Neutrino |ν µ 〉 und drückt seine Entwicklung in der Zeit in der Basis der
Masseneigenzustände aus, so ergibt sich:
|ν µ (t)〉 = − sin θ e −iE 1t |ν 1 〉 + cos θ e −iE 2t |ν 2 〉
Abbildung 2: Zeitentwicklung der Myon-Neutrinos [1]
4

Die Zeitentwicklung stellt also eine zusätzliche Phase in der Mischung der Massenzustände
dar. Zur Zeit t = 0 addieren sich die Masseneigenzustände gerade zu einem reinen |ν µ 〉-
Zustand und die relative Phase beträgt π. In der fortschreitenden Bewegung in der Zeit
ändert sich aufgrund der unterschiedlichen Massen die relative Phase und es entsteht ein
Überlagerungszustand aus Myon-Neutrino |ν µ 〉 und Elektron-Neutrino |ν e 〉. Bei 2π entsteht
dabei gerade wieder ein reiner |ν µ 〉-Zustand (vgl. Abb. 2).
Noch deutlicher sieht man diese Oszillations-Verhalten, wenn man die Übergangswahrscheinlichkeit
P(ν µ → ν e ) = |〈ν e |ν µ (t)〉| 2 eines Myon-Neutrino |ν µ 〉 in ein Elektron-Neutrino
|ν e 〉 berechnet:
P(ν µ → ν e ) = |〈ν e |ν µ (t)〉| 2 (4)
∣
= ∣(cos θ〈ν 1 | + sin θ〈ν 2 |)(− sin θe −iE1t |ν 1 〉 + cos θe −iE2t |ν 2 〉) ∣ 2
〈ν j |ν k 〉=δ jk
=
∣ ∣sin θ cos θ(−e
−iE 1 t + e −iE 2t ) ∣ ∣ 2
= sin 2 θ cos 2 θ(−e −iE 1t + e −iE 2t )(−e iE 1t + e iE 2t )
= sin 2 θ cos 2 θ(2 − e i(E 1−E 2 )t − e −i(E 1−E 2 )t )
= sin 2 θ cos 2 θ(2 − (e i(E 1−E 2 )t + e −i(E 1−E 2 )t
} {{ }
))
=2 cos((E 1 −E 2 )t)
= 2 sin 2 θ cos 2 θ(1 − cos(E 1 − E 2 )t) (5)
Die Übergangswahrscheinlichkeit P(ν µ → ν e ) (4) variiert also periodisch in der Zeit in
Abhängigkeit der Energiedifferenz. Nun kann man die letzte Zeile (5) noch mit Hilfe
der trigonometrischer Beziehungen cos α = cos 2 α − 2 sin2 α, 2 cos2 α = 1 − sin 2 α und
2 2
2 sin α cos α = sin 2α vereinfachen:
P(ν µ → ν e ) = 2 sin 2 θ cos 2 θ(1 − cos(E 1 − E 2 )t)
= 2 sin 2 θ cos 2 θ(1 − (cos 2 (E 1 − E 2 )
2
= 2 sin 2 θ cos 2 θ 2 sin 2 (E 1 − E 2 )
t
2
t − sin 2 (E 1 − E 2 )
t))
2
= sin 2 2θ sin 2 (E 1 − E 2 )
t (6)
2
Um nun die Abhängigkeit von den Massen zu verdeutlichen, nutzt man die Tatsache aus,
dass die Neutrinos sich nahezu mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen. Dabei gilt folgende
Näherung für die Energie der Masseneigenzustände, wobei man davon ausgeht, dass sie
den gleichen Impuls besitzen:
√
E j = p 2 j + m2 j ≈ p + m2 j/2p mit p j = p (7)
Setzt man dies in P(ν µ → ν e ) (6) ein und benutzt, dass für ultrarelativistische Teilchen
t = x/c = x und p ≃ E ν gilt, so bekommt man die Wahrscheinlichkeit ein bei x = 0 im
5

Myon-Zustand |ν µ 〉 emittiertes Neutrino mit der Energie E ν im Abstand x als ein Elektron-
Neutrino |ν e 〉 zu detektieren:
P(ν µ → ν e ) = sin 2 2θ sin 2 m2 1 − m 2 2
x
4E ν
= sin 2 2θ sin 2 ∆m2
4E ν
x (8)
mit ∆m 2 = m 2 1 − m 2 2. Im Gegenzug ist die Wahrscheinlichkeit kein Elektron-Neutrino |ν e 〉
zu detektieren gerade die Gegenwahrscheinlichkeit:
P(ν µ → ν µ ) = 1 − sin 2 2θ sin 2 ∆m2
4E ν
x (9)
Oft ist es nützlich eine so genannte Oszillationslänge λ osc einzuführen, die wie folgt definiert
wird:
∆m 2 !
λ osc = π ⇒ λ osc = 4πE ν ·c
≈ 2.5 E ν/ MeV
4E ν ∆m 2 ∆m 2 / eV 2 m (10)
Sie drückt gerade den Abstand zweier Wahrscheinlichkeitsmaxima (bzw. -minima) aus,
wobei zu beachten ist, dass die räumliche Periode von sin 2 x genau die Hälfte der von
sin x ist. Setzt man λ osc (13) in (8) und (9) ein, so bekommen die Gleichungen für die
Wahrscheinlichkeit von Neutrino-Oszillationen die nützliche Form:
P(ν µ → ν e ) = sin 2 2θ sin 2 πx
λ osc
P(ν µ → ν µ ) = 1 − sin 2 2θ sin 2 πx
λ osc
. (11)
Die Wahrscheinlichkeiten oszillieren mit der Oszillationslänge λ osc und die Amplitude
sin 2 2θ der Oszillationen hängt vom Mischungswinkel θ ab, die für θ = π/4 am größten
wird (maximale Mischung, vgl. Abb. 3).
Hier zeigt sich auch, dass Neutrino-Oszillationen nur auftreten können, falls mindestens
ein Neutrino eine von Null verschiedene Ruhemasse besitzt und Flavormischungen möglich
sind. Wären alle Massen identisch oder gleich Null, so gäbe es keine Oszillationen, da
λ osc → ∞. Das ist ebenso der Fall, wenn sich das Neutrino bei x = 0 bzw. t = 0 schon in
einem Masseneigenzustand befände (|ν α 〉 = |ν j 〉).
Mittels Experimenten zum Nachweis von Neutrino-Oszillationen kann also den Neutrinos
Masse zugewiesen werden. Wobei beachtet werden muss, dass eigentlich nur Massendifferenzen
bestimmt werden können, da nur ∆m 2 als Parameter eingeht. Außerdem kann
der Mischungswinkel θ bestimmt werden, der angibt wie stark die Mischung ist. Ist dieser
recht groß, so kann man nicht mehr von einer Masse des ν e oder des ν µ sprechen, da die
Flavoreigenzustände dann keine definierte Masse mehr besitzen, sondern Überlagerungen
von verschiedenen Massenzuständen sind.
Für z.B. E ν = 7 MeV und ∆m 2 ≈ 8·10 −5 eV 2 , was realistischen Werten für solare Neutrinos
entspricht, bekommt man ein Oszillationslänge von λ osc ≈ 220 km. Der Mischungswinkel
6

eträgt dabei θ ≈ 34 ◦ (Daten: SNO-Experiment [4]). Das heißt, dass solare Neutrinos ein
Vielfaches ihrer Oszillationslänge zurücklegen und die Chance ihr Flavor zu ändern damit
sehr groß ist.
Abbildung 3: Neutrino-Oszillation [1]
2.3 Oszillation für drei Flavorzustände
Die vollständige Beschreibung der Neutrino-Oszillationen berücksichtigt alle drei Neutrino-
Flavors und Massenzustände sowie die Möglichkeit des Majorana-Charakters. Man erhält
nun eine unitäre 3 × 3-Mischungsmatrix U, die in vier Teile getrennt werden kann:
⎛ ⎞ ⎛{ ⎞ ⎛
}} ⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞{
⎛ ⎞
ν e 1 0 0 c 13 0 s 13 e −iδ c 12 s 12 0 1 0 0 ν 1
⎝ν µ
⎠ = ⎝0 c 23 c 23
⎠ ⎝ 0 1 0 ⎠ ⎝−s 12 c 12 0⎠
⎝0 e iφ 1
0 ⎠ ⎝ν 2
⎠
ν τ 0 −s 23 c 23 −s 13 e −iδ 0 c 13 0 0 1 0 0 e iφ 2
ν 3
} {{ } } {{ } } {{ } } {{ }
atm. θ 23
cross-link θ 13
solar θ 12
Majorana
mit s ij = sin θ ij und c ij = cos θ ij , i = 1, 2; j = 2, 3. Hier bekommt man 9 verschiedene
Parameter:
• 3 Massenparameter m 1 , ∆m 2 21, ∆m 2 32,
• 3 Mischungswinkel θ 12 , θ 13 , θ 23 ,
• 1 CP -verletzende Dirac-Phase δ
U
• und evtl. 2 Majorana-Phasen φ 1 , φ 2
7

Hierauf soll aber im Weiteren nicht eingegangen werden, da die Rechnungen etwas aufwändig
sind, jedoch zum grundsätzlichen Verständnis der Neutrino-Oszillationen nichts weiter
beitragen. Erwähnt sei nur, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die Oszillation
eines ν µ -Neutrinos nun sowohl den Übergang in ein ν e - als auch in ein ν τ -Neutrino
berücksichtigt und hierbei Schwebungen entstehen (vgl. Abb. 4).
Abbildung 4: Neutrino-Oszillation für drei Zustände
3 Neutrino-Oszillationen in Materie: der MSW-Effekt
3.1 Formalismus
Die Anwesenheit von Materie beeinflusst entscheidend die Neutrino-Oszillationen, wie M ikheyev
und Smirnow auf Grundlage theoretischer Vorarbeit von W olfenstein herausfanden. Aufgrund
der kohärenten, elastischen Vorwärtsstreuung von Neutrinos in Materie ist das Ergebnis
für den Mischungswinkel und die Oszillationslänge abhängig von der Elektronendichte
und damit unterschiedlich zu den Vakuum-Oszillationen.
Im Folgenden werden dieselben Annahmen wie in Kapitel 2 gemacht sowie wieder die ν µ ν e -
Mischung untersucht. Betrachtet man zunächst noch einmal die Massenmatrix M 0 fürs
Vakuum, die in der Basis der Masseneigenzustände diagonal ist mit den Eigenwerten m 1
und m 2 . Auch die für den Hamilton-Operator entscheidende Matrix der Massenquadrate
M 2 0 ist in dieser Basis diagonal und es gilt für die Darstellung in der Basis der Flavoreigenzustände
mit Hilfe der unitären Transformation U (1):
( ) ( )
( ) ( )
(ν 1, † ν 2)
† m
2
1 0 ν1
m
0 m 2 = (ν †
2 ν 2
e, ν µ) † 2
U 1 0
0 m 2 U † νe
. (12)
2 ν µ
8

Dies kann man nun noch weiter umformen:
( ) m
2
U 1 0
0 m 2 U † = 1 ( ) 1 0
2 2 (m2 1 + m 2 2) U U †
0 1
+ 1 ( ) 1 0
2 (m2 1 − m 2 2) U U †
0 −1
= 1 ( ) 1 0
2 (m2 1 + m 2 2)
0 1
+ 1 (
)
2 (m2 1 − m 2 cos
2)
2 θ −2 sin θ cos θ
−2 sin θ cos θ − cos 2 θ + sin 2 θ
= 1 ( ) 1 0
2 (m2 1 + m 2 2)
0 1
+ 1 ( )
− cos 2θ sin 2θ
2 (m2 1 − m 2 2)
.
sin 2θ cos 2θ
Also erhält man im Vakuum:
M 2 0 = 1 ( ) 1 0
2 (m2 1 + m 2 2)
0 1
+ 1 ( )
− cos 2θ sin 2θ
2 (m2 1 − m 2 2)
. (13)
sin 2θ cos 2θ
Bei der Bewegung der Neutrinos durch Materie wechselwirken diese jedoch mit den enthaltenen
Quarks und Elektronen und werden dadurch gestreut. Die Streuung der Neutrinos
an Quarks ist für alle Sorten dieselbe und aus diesem Grund nicht von Belang. Mit
der Neutrino-Elektron-Streuung sieht das aber ein wenig anders aus. Hier tauschen alle
Neutrino-Flavors mit den Elektronen die Z 0 -Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung
aus. Die Elektron-Neutrinos ν e können aber mit den Elektronen auch über einen
W ± -Austausch wechselwirken (vgl. Abb. 5).
Abbildung 5: Feynmangraphen für die ν e e − -Streuung und die ν µ e − -Streuung [2]
9

Dabei liefern die Elektronen für die Elektron-Neutrinos ein zusätzliches Potential V =
√
2GF N e , worin G F die Fermikonstante und N e die Elektronendichte ist. Dies hat direkte
Auswirkungen auf die Energie E der Neutrinos in Materie, die sich nun wie folgt ändert:
p 2 + m 2 = E 2
→ p 2 + m 2 = (E − V ) 2 ≈ E 2 − 2EV,
wobei der quadratische Term V 2 vernachlässigt wurde. Das Potential ist somit gleichbedeutend
mit einer Änderung des Massenquadrates m 2 zu
mit
m 2 → m 2 + A
A = 2EV = 2 √ 2G F N e E. (14)
Die muss in der quadratischen Massenmatrix M 2 für die Bewegung von ν e und ν µ in
Materie berücksichtigt werden, die einen zusätzliche Term bekommt:
mit ∆ = m 2 2 − m 2 1.
3.2 Ergebnis
M 2 = M 2 0 + M 2 mat
( ) A 0
= M 2 0 +
0 0
= 1 ( ) 1 0
2 (m2 1 + m 2 2 + A)
0 1
+ 1 ( )
A − ∆ cos 2θ ∆ sin 2θ
, (15)
2 ∆ sin 2θ −A + ∆ cos 2θ
Benutzt man nun diese neue quadratische Massenmatrix (15), um den Hamilton-Operator
für die Bewegung der Neutrinos in Materie aufzustellen und diagonalisiert diesen dann,
so bekommt man neue Masseneigenzustände |ν 1,mat 〉 und |ν 2,mat 〉. Die Eigenwerte von M 2
lauten
m 2 ν 1,2
= 1 2 (m2 1 + m 2 2 + A) ± 1 √
(∆ cos 2θ − A)
2
2 + ∆ 2 sin 2 2θ. (16)
Dies sind die neuen Massen zu den nun bei der Oszillation zu berücksichtigenden Masseneigenzustände
|ν 1,mat 〉 und |ν 2,mat 〉. Sie hängen explizit von A (14), also der Elektronendichte
N e ab. Setzt man für den Fall der Bewegung im Vakuum hier die Elektronendichte N e = 0,
also A = 0, so nehmen diese neuen Masseneigenwerte (16) wieder die Werte m 1 bzw. m 2 an.
Aufgrund der neuen Masseneigenzustände bekommt man auch einen neuen Mischungswinkel
θ mat , da die Transformationsmatrix U (1) sich durch die Ersetzung m 2 → m 2 +A in (12)
auch ändert. Der neue Mischungswinkel hängt wie folgt vom Vakuumsmischungswinkel θ
ab:
sin 2θ
tan 2θ mat =
(17)
cos 2θ + λosc
λ e
10

mit der Vakuumsoszillationslänge λ osc (13). Die Neutrino-Elektron-Wechselwirkungslänge
λ e ist gegeben durch
2π
λ e = √ . (18)
2GF N e
Damit erhält man eine effektive Oszillationslänge in Materie:
λ mat = λ osc
sin 2θ mat
sin 2θ , (19)
die nun zusammen mit θ mat anstatt den Größen fürs Vakuum in den Wahrscheinlichkeiten
der Neutrino-Oszillationen vorkommen. Unter der Annahme konstanter Elektronendichte
N e sehen diese so aus:
P(ν µ → ν e ) = sin 2 2θ mat sin 2 πx
λ mat
P(ν µ → ν µ ) = 1 − sin 2 2θ mat sin 2 πx
λ mat
. (20)
Hierbei gibt es für m 2 > m 1 ein Resonanzphänomen, welches von Mikheyev und Smirnow
festgestellt wurde. Hierbei sind drei Spezialfälle zu unterscheiden, vgl. (17):
|λ osc|
λ e
≪ cos 2θ
Dies entspricht einer kleinen Elektronendichte N e und die Materie hat nur einen
geringen Einfluss auf die Oszillationen. Geht die Elektronendichte gegen Null
so erhält man die Ergebnisse für die Vakuumsoszillationen (11).
|λ osc|
λ e
∣
∣ λosc
λ e
≫ cos 2θ
In diesem Fall liegt eine sehr hohen Elektronendichte N e vor und θ mat ≈ π/2.
Die ursprüngliche Massenhierarchie ist vertauscht und das im Vakuum leichtere
Elektron-Neutrino entspricht nun dem schwereren Masseneigenzustand. Die
Oszillations-Amplitude und -Länge werden gedämpft. Geht die Elektronendichte
gegen unendlich, so finden keine Oszillationen mehr statt.
∣ ∣∣ ≈ cos 2θ
Hier liegt ein Resonanzfall vor, d.h. die Oszillationen werden verstärkt und der
Mischungswinkel hat unabhängig vom ursprünglichen Wert den Maximalwert
θ mat = π/4.
4 Das solare Neutrino-Problem und der MSW-Effekt
Das solare Neutrino-Defizit läßt sich mit Hilfe der Neutrino-Oszillationen und des MSW
Effekts erklären. Dies soll im Folgenden in einem kurzen Überblick dargestellt werden. Hierbei
bedient man sich des Adiabatentheorems aus der Quantenmechanik, wonach sich bei
11

einer langsamen Variation des Hamiltonoperators die Eigenzustände zwar ändern, jedoch
keine Übergänge zwischen den Zuständen stattfinden. Innerhalb der Sonne gilt, dass sich
die Elektronendichte N e nicht sprunghaft sondern langsam stetig ändert. Damit sind die
Vorraussetzungen für das Adiabatentheorem erfüllt. Im Kern der Sonne, bei hoher Elektronendichte
N e , wird ein Elektron-Neutrino ν e erzeugt und entspricht nahezu dem größeren
Massenzustand |ν 2,mat 〉. Nun bewegt es sich nach außen. Dabei nimmt die Elektronendichte
ab und der Mischungswinkel θ mat zwischen den Flavor- und Masseneigenzuständen ändert
sich. Dies bedeutet aber, dass sich die Transformationsmatrix ändert und die Basis der
Massenzustände und die Basis der Flavorzustände relativ zueinander gedreht werden. In
diesem Fall dreht sich der Neutrinozustand in Richtung |ν µ 〉. Aufgrund der langsamen Dichteänderung
bleibt das Neutrino aber im Zustand der größeren Masse und verläßt die Sonne
als Myon-Neutrino ν µ . Da sich das Neutrino nach dem Verlassen der Sonne ins Vakuum
in einem Masseneigenzustand befindet, gibt es keine weiteren Oszillationen. Die Wahrscheinlichkeit,
es als Myon-Neutrino im Detektor nachzuweisen ist durch die Projektion
von |ν 2,mat 〉 auf |ν µ 〉 gegeben. Man erhält:
P(ν µ ) = cos 2 θ
P(ν e ) = sin 2 θ
In Abbildung 6 sieht man die MSW-Überlebenswahrscheinlichkeit eines Elektron-Neutrinos
Abbildung 6: Überlebenswahrscheinlichkeit eines solaren ν e -Neutrinos
ν e in Abhängigkeit von λ osc ∝ E ν /∆m 2 aufgetragen. Im Bereich zwischen 10 5 −10 6 MeV / eV 2
12

ist diese sehr gering und das Elektron-Neutrino wird innerhalb der Sonne zu einem Myon-
Neutrino. Der MSW-Effekt für das solare Neutrino-Problem kann im Parameterbereich
∆m 2 = 10 −4 −10 −8 eV 2 und sin 2 θ > 10 −4 herangezogen werden. Die aktuellen SNO-Daten
ergeben ∆m 2 ≈ 8 · 10 −5 eV 2 und θ ≈ 34 ◦ und wären demnach innerhalb des gültigen Bereiches,
auch wenn der tatsächliche Mischungswinkel sehr groß ist. Voraussichtlich finden
deshalb sowohl Vakuum-Oszillationen als auch der MSW-Effekt bei solaren Neutrinos statt.
Literatur
[1] Los Alamos Science: Celebrating the Neutrino, Number 25, 1997
[2] Klapdor-Kleingrothaus, H.V und Staudt,A.: Teilchenphysik ohne Beschleuniger, Teubner
Studienbücher 1995
[3] Schmitz, N.: Neutrinophysik, Vorlesungen auf der Herbstschule für Hochenergiephysik,
Maria Laach, 2002
[4] SNO-Collaboration, arXiv:nucl-ex/0502021 v1 25 Feb 2005
[5] Deh, Benjamin: Neutrino Oszillationen, Astroteilchenseminar, Universität Tübingen,
2003
[6] Marchica, C.: Neutrino Oszillationen und die NSM Neutrino Mischungsmatrix, Proseminar
Theoretische Physik, ETH Zürich, 2003/04
[7] webpage: http://www.neutrinooscillation.org
13