Physik III, Optik

Wir setzen die Amplitudenverteilung und die Dispersionsrelation in das Wellenpaket
ein:
+∞ Z
Ψ(x, t) = C 0 e ikx−i(ω 0+v g· (k−k 0 )+ 1 2 β(k−k 0) 2 )t dk
−∞
Z
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·
+∞
−∞
Z
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·
+∞
−∞
e i(k−k 0)(x−v g t) · e −(α+iβt)(k−k 0) 2 dk.
e ik(x−vg t) · e −(α+iβt)k2 dk.
Auch dieses Integral kann man lösen (etwas längliche Rechung als Tüftelaufgabe zur
Übung). Das Betragsquadrat der Lösung beschreibt die räumliche Energieverteilung
des Pakets:
¯
¯Ψ(x, t) 2¯¯ π
= Ψ 0 · p · exp
µ− (x − v
g t) 2
α/2 · x0
wobei
x 0 := √ 2α · 1+ β2
α 2 t2 .
Der Puls ist gaußförmig mit einer Breite x 0 (t), die mit der Zeit anwächst.
s
x 2 0
Für große Zeiten zerfließt der Puls mit einer konstanten Geschwindigkeit:
v ∆ := dx r r
0 2 2
dt = α · β = d 2 ω
α dk | 2 k=k 0
.
Die Konstante α hängt mit der Startbreite des Pulses zusammen: x 0 (t =0)= √ 2α.
Ein anfänglich schmales Paket läuft schneller auseinander. Die Steigung der Dispersionsrelation
liefert also die Gruppengeschwindigkeit während die Krümmung der Dispersionsrelation
die Geschwindigkeit angibt mit der der Puls auseinanderläuft (dispergiert).
95