Physik III, Optik
Physik III, Optik
Physik III, Optik
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Wir setzen die Amplitudenverteilung und die Dispersionsrelation in das Wellenpaket<br />
ein:<br />
+∞ Z<br />
Ψ(x, t) = C 0 e ikx−i(ω 0+v g· (k−k 0 )+ 1 2 β(k−k 0) 2 )t dk<br />
−∞<br />
Z<br />
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·<br />
+∞<br />
−∞<br />
Z<br />
= Ψ 0 · e i(k 0x−ω 0 t) ·<br />
+∞<br />
−∞<br />
e i(k−k 0)(x−v g t) · e −(α+iβt)(k−k 0) 2 dk.<br />
e ik(x−vg t) · e −(α+iβt)k2 dk.<br />
Auch dieses Integral kann man lösen (etwas längliche Rechung als Tüftelaufgabe zur<br />
Übung). Das Betragsquadrat der Lösung beschreibt die räumliche Energieverteilung<br />
des Pakets:<br />
¯<br />
¯Ψ(x, t) 2¯¯ π<br />
= Ψ 0 · p · exp<br />
µ− (x − v <br />
g t) 2<br />
α/2 · x0<br />
wobei<br />
x 0 := √ 2α · 1+ β2<br />
α 2 t2 .<br />
Der Puls ist gaußförmig mit einer Breite x 0 (t), die mit der Zeit anwächst.<br />
s<br />
x 2 0<br />
Für große Zeiten zerfließt der Puls mit einer konstanten Geschwindigkeit:<br />
v ∆ := dx r r<br />
0 2 2<br />
dt = α · β = d 2 ω<br />
α dk | 2 k=k 0<br />
.<br />
Die Konstante α hängt mit der Startbreite des Pulses zusammen: x 0 (t =0)= √ 2α.<br />
Ein anfänglich schmales Paket läuft schneller auseinander. Die Steigung der Dispersionsrelation<br />
liefert also die Gruppengeschwindigkeit während die Krümmung der Dispersionsrelation<br />
die Geschwindigkeit angibt mit der der Puls auseinanderläuft (dispergiert).<br />
95