Physik III, Optik

Jede Welle dieser Überlagerung wird durch seine Wellenzahl k und seine Amplitude
C(k) charakterisiert. Die Frequenzen der einzelnen Wellen ergeben sich aus der Wellenzahl
mittels der Dispersionsrelation ω(k). Für Medien mit linearer Dispersionsrelation,
ω = vk, gilt
Ψ(x, t) =
Z ∞
−∞
C(k) · e ik(x−vt) · dk = Ψ(x − vt).
Das Wellenpaket breitet sich also mit der Phasengeschwindigkeit v = ω/k aus, ohne
seine Form zu verändern. Anders sieht die Sache aus, wenn die Phasengeschwindigkeit
von k abhängt. In Medien mit Dispersion hat jede Welle der Linearkombination eine
andere Ausbreitungsgeschwindigkeit. Damit verändert sich die Zusammensetzung der
harmonischen Funktionen und damit auch die Form des Wellenpakets. (Animation,
Springer).
• Gruppengeschwindigkeit.
In dispersiven Medien treten vor allem zwei wichtige Effekte auf. Zum einen kann
sich die Breite eines Pakets ändern. Zum anderen kann sich das Maximum des Wellenpakets
mit einer Geschwindigkeit bewegen, die drastisch von der Phasengeschwindigkeit
abweicht. Letzteres betrachten wir am Beispiel eines Rechteckpulses genauer. Die Linearkombination
enthält nur Wellen mit k-Vektoren in einem bestimmten Bereich. All
diese Wellen tragen zu gleichen Teilen bei. Die Funktion C(k) soll also folgende Form
haben.
Außerdem entwickeln wir die Dispersionsrelation bis zur ersten Ordnung:
ω(k) =ω 0 + dω
dk | k 0
· (k − k 0 )+...
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