Physik III, Optik

wobei E I bzw E II die tangentialen Komponenten ~ E an der Grenzfläche in Region I
bzw. II sind. Ganz analog folgt aus der Maxwellgleichung
~∇ × ~H = − d dt ~ D,
dass auch auch die Tangentialkomponenten des Magnetfeldes ~H stetig sind
H I = H II .
Da optische Materialien nicht diamagnetisch sind, ist die Permeabilität in beiden Regionen
gleich µ = 1 wodurch auch die Tangentialkomponenten der B-Felder stetig
sind,
B I = B II .
Für ebene Wellen
~E i = ~E 0i cos( ~ k i ~r − ω i t),
~E r = ~E 0r cos( ~ k r ~r − ω r t + ε r ),
~E t = E ~ 0t cos( ~ k t ~r − ω t t + ε t ),
kann man die Stetigkeitsbedingung für die Tangentialkomponente unter Verwendung
des Einheitsvektor Û senkrecht zur Grenzfläche formulieren. Man bildet den Vektor
Û × ~E, der in der Grenzfläche liegt, senkrecht zum Feld steht und dessen Länge dem
Betrag der Tangentialkomponente entspricht. Die Stetigkeitsbedingung lautet dann
oder
Û × ~E i + Û × ~E r = Û × ~E t
Û × ~E 0i cos( ~ k i ~r − ω i t)+Û × ~E 0r cos( ~ k r ~r − ω r t + ε r )=Û × ~E 0t cos( ~ k t ~r − ω t t + ε t ).
Diese Bedingung muss für alle Orte ~r an der Oberfläche und alle Zeiten t gelten.
• Bedingung für die Phasen, Snelliusgesetz
Um die Grenzbedingung zu erfüllen, müssen zunächst die Argumente der Kosinus-
Funktionen gleich sein. Für beliebige Zeiten klappt das nur, wenn die Frequenzen alle
gleich sind, also:
ω i = ω r = ω t .
Alle drei Wellen haben also dieselbe Frequenz. Außerdem müssen die Ortphasen in
der Grenzschicht gleich sein. Insbesondere gilt für die einfallende und die reflektierte
Welle
~ ki ~r = ~ k r ~r + ε r
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