Physik III, Optik
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und dass die Ladungsträgerdichte homogen ist:<br />
~∇ρ =0.<br />
Dies gilt im Vakuum aber nicht zwangsläufig auch in Materie. Die Gleichungen vereinfachen<br />
sich zu<br />
∇ 2 ~ B = −µ0 σ · ~∇ × ~ E + µ 0 ε 0<br />
d 2<br />
dt 2 ~ B<br />
und unter nochmaliger Verwendung der zweiten Maxwellgleichungerhält man<br />
∇ 2 ~B = µ 0 σ d B<br />
dt ~ d 2<br />
+ µ 0 ε 0 B.<br />
dt ~ 2<br />
Für das elektrische Feld erhält man analog:<br />
• Skalare Wellengleichung im Vakuum<br />
∇ 2 E ~ = µ0 σ d E<br />
dt ~ d 2<br />
+ µ 0 ε 0 E.<br />
dt ~ 2<br />
Im Vakuum ist die Leitfähigkeit σ =0und man erhält für die 3 Komponenten von ~E<br />
die drei Gleichungen:<br />
d 2 E i<br />
dx 2<br />
+ d2 E i<br />
dy 2<br />
+ d2 E i<br />
dz 2<br />
= µ 0ε 0<br />
d 2 E i<br />
dt 2<br />
mit i = x, y, z. Dieselben drei Gleichungen erhält man für die 3 Komponenten von * B.<br />
Jede Komponente der beiden Felder erfüllt also eine Gleichung der Form:<br />
∂ 2 ψ<br />
∂x + ∂2 ψ<br />
2 ∂y + ∂2 ψ<br />
2 ∂z = µ ∂ 2<br />
0ε 2 0<br />
∂t ψ 2<br />
Allerdings sind nicht alle Komponenten unabhängig von einander. Die Maxwellgleichungen<br />
erzwingen eine bestimmte Vektorstruktur, die wir später besprechen. Zunächst<br />
betrachten wir lediglich die skalare Wellennatur der Maxwelltheorie, also die Lösungen<br />
ψ der skalaren Wellengleichung.<br />
• Eindimensionale Wellengleichung<br />
Die 3D-Wellengleichung reduziert sich zur 1D-Wellengleichung, wenn man den Spezialfall<br />
ebener Wellen betrachtet. Für ebene Wellen, also Wellen mit unendlich ausgedehnten<br />
planen Wellenfronten, ändert sich das Feld innerhalb einer Front nicht. Die Lösung<br />
hängt also nur von einer Raumrichtung ab. Liegen die Wellenfromten in der y-z-Ebene<br />
ist das Feld ψ unabhängig von y und z und die skalare Wellengleichung reduziert sich<br />
zu.<br />
∂ 2 ψ<br />
∂x = 1 ∂ 2<br />
2 v 2 ∂t ψ. 2<br />
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