Physik III, Optik

und dass die Ladungsträgerdichte homogen ist:
~∇ρ =0.
Dies gilt im Vakuum aber nicht zwangsläufig auch in Materie. Die Gleichungen vereinfachen
sich zu
∇ 2 ~ B = −µ0 σ · ~∇ × ~ E + µ 0 ε 0
d 2
dt 2 ~ B
und unter nochmaliger Verwendung der zweiten Maxwellgleichungerhält man
∇ 2 ~B = µ 0 σ d B
dt ~ d 2
+ µ 0 ε 0 B.
dt ~ 2
Für das elektrische Feld erhält man analog:
• Skalare Wellengleichung im Vakuum
∇ 2 E ~ = µ0 σ d E
dt ~ d 2
+ µ 0 ε 0 E.
dt ~ 2
Im Vakuum ist die Leitfähigkeit σ =0und man erhält für die 3 Komponenten von ~E
die drei Gleichungen:
d 2 E i
dx 2
+ d2 E i
dy 2
+ d2 E i
dz 2
= µ 0ε 0
d 2 E i
dt 2
mit i = x, y, z. Dieselben drei Gleichungen erhält man für die 3 Komponenten von * B.
Jede Komponente der beiden Felder erfüllt also eine Gleichung der Form:
∂ 2 ψ
∂x + ∂2 ψ
2 ∂y + ∂2 ψ
2 ∂z = µ ∂ 2
0ε 2 0
∂t ψ 2
Allerdings sind nicht alle Komponenten unabhängig von einander. Die Maxwellgleichungen
erzwingen eine bestimmte Vektorstruktur, die wir später besprechen. Zunächst
betrachten wir lediglich die skalare Wellennatur der Maxwelltheorie, also die Lösungen
ψ der skalaren Wellengleichung.
• Eindimensionale Wellengleichung
Die 3D-Wellengleichung reduziert sich zur 1D-Wellengleichung, wenn man den Spezialfall
ebener Wellen betrachtet. Für ebene Wellen, also Wellen mit unendlich ausgedehnten
planen Wellenfronten, ändert sich das Feld innerhalb einer Front nicht. Die Lösung
hängt also nur von einer Raumrichtung ab. Liegen die Wellenfromten in der y-z-Ebene
ist das Feld ψ unabhängig von y und z und die skalare Wellengleichung reduziert sich
zu.
∂ 2 ψ
∂x = 1 ∂ 2
2 v 2 ∂t ψ. 2
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