Physik III, Optik

Die Besselfunktionen sind oszillierende Funktionen mit jeweils unendlich vielen Nullstellen.
(siehe auch http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html)
DiemöglichenWertefürk ergeben sich aus der Randbedingung, wonach die Wellenfunktion
am Trommelrand verschwinden muss.
J |m| (kR) =0
Die Nullstellen der m-ten Besselfunktion kann man abzählen und mit n indizieren. Die
möglichen Werte von k und damit die möglichen Frequenzen der Trommeltöne sind
also mit zwei Indizes, n und m, gekennzeichnet
Die Gesamtlösung lautet jetzt
k = k n,m
ω n,m = v · k n,m .
ψ n,m (r, ϕ,t)=A · J |m| (k n,m r) · e imϕ · e iω n,mt .
Dies sind die stationären Lösungen der Trommel. Das Auslenkungsmuster der Membran
ist der Realteil der Wellenfunktion
Re(ψ n,m (r, ϕ,t)) = A · J |m| (k n,m r) · cos mϕ · cos ω n,m t
Je nach dem, wo der Trommler das Fell auslenkt, entstehen nur Töne, die dort keinen
Knoten haben. (Simulation)
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