Physik III, Optik

wobei m 2 eine Konstante ist. Für den Winkel erhält man die DGL
mit der Lösung
∂ 2
∂ϕ 2 Ψ(ϕ) =−m2 Ψ(ϕ)
Ψ(ϕ) =Ψ 0 e imϕ .
Da die Lösung periodisch bezüglich eines Umlaufs sein muss gilt
Ψ(ϕ +2π) = Ψ(ϕ)
Ψ 0 e im(ϕ+2π) = Ψ 0 e imϕ
e im·2π = 1
m · 2π = q · 2π
wobei q eine ganze Zahl ist. Damit ist auch m eine ganze Zahl. Es bleibt noch die
Radialgleichung
1
µr 2 ∂2
R(r) ∂r R(r)+r ∂
2 ∂r R(r) − Er 2 = m 2
µ
∂ 2
∂r R(r)+1 ∂
2 r ∂r R(r)+ −E − m2
R(r) = 0
r 2
Mit der Substitution
und
k 2 := −E,
z := kr
R(r) =R(z/k) =:Z(z)
erhält man die Besselsche Differentialgleichung
∙ ∂
2
∂z + 1 µ ¸
∂
2 z ∂z + 1 − m2
Z
z 2 m (z) =0
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Besselfunktionen.
Z m (z) =J |m| (kr)
Man kann sie nicht als geschlossenen Ausdruck hinschreiben, sie sind aber tabelliert
und man kann sie plotten.
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