Physik III, Optik

Der linke Teil hängt nur vom Ort und der rechte Teil nur von der Zeit ab. Die Gleichung
lässt sich für alle Orte und alle Zeiten nur erfüllen, wenn beide Teile konstant sind.
Wir nennen die Konstante E und erhalten die beiden Gleichungen:
1 ∂ 2 u(x)
= E
u(x) ∂x 2 = E.
1 1 ∂ 2 χ(t)
v 2 χ(t) ∂t 2
Die erste Gleichung
∂ 2 u(x)
= Eu(x)
∂x 2
nennt man stationäre Wellengleichung. Die Lösungen heißen stationäre Lösungen und
haben die allgemeine Form
wobei
u(x) =Ae ikx + Be −ikx ,
k 2 := −E.
Die zweite Gleichung beschreibt die Zeitabhängigkeit und hat die allgemeine Lösung
mit
oder:
χ(t) =αe iωt + βe −iωt .
ω 2 : = −Ev 2 = k 2 v 2
|ω| : = |v||k| ,
|ω| := |v||k| .
Frequenz und Wellenzahl hängen also wie gehabt über die Schallgeschwindigkeit v
zusammen, können aber beliebige Vorzeichen haben. Je nach Wahl der Koeffizienten
A,B, α und β kann die Lösung
eine Stehwelle sein (z.B. A = B = α = β)
ψ(x, t) = ¡ Ae ikx + Be −ikx¢¡ αe iωt + βe −iωt¢ ,
ψ(x, t) =A ¡ e ikx + e −ikx¢¡ e iωt + e −iωt¢ =4A cos(kx)cos(ωt),
oder eine laufende Welle (z.B. B =0und β =0)
ψ(x, t) =Ae ikx αe iωt = Ae ikx+ωt .
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