Physik III, Optik
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• Laufende Wellen und Stehende Wellen.<br />
So wie sich laufende Wellen zu stehenden Wellen überlagern (siehe oben), so können<br />
sich auch zwei stehende Wellen zu laufenden Wellen überlagern:<br />
ψ(x, t) = A sin(kx)cos(ωt)+B cos(kx)sin(ωt)<br />
= A 2 (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)) + B 2<br />
(sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))<br />
Mit A = B erhält man eine linkslaufende Welle<br />
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))<br />
2<br />
= A sin(kx + ωt)<br />
und mit A = −B eine rechtslaufende Welle.<br />
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx + ωt)+sin(kx − ωt))<br />
2<br />
= A sin(kx − ωt).<br />
Bei einem Seil mit festen oder losen Ende erhält man Stehwellen mit entweder B =0<br />
(Bauch am Ende bei x =0)oderA =0(Knoten am Ende bei x =0). Laufende<br />
Wellen können daher als stationäre Lösung auf einem Seilstück nicht existieren. Bei<br />
laufenden Pulsen muss man stationäre Lösungen mit verschiedenen Frequenzen überlagern.<br />
Damit lassen sich dann beliebige laufende Wellen erzeugen. Sie haben dann<br />
aber keine festgelegte Frequenz mehr (später dazu mehr). Wie sieht die Sache für eine<br />
Seilschleife aus, also einen Ring bei dem Anfang und Ende verbunden sind? Hier gibt<br />
es zwar auch nur eine abzählbare Menge von Lösungen mit äquidistantem Spektrum.<br />
Sie können aber sowohl zu laufenden als auch zu stehenden Wellen kombiniert werden.<br />
(als Übung).<br />
• Separationsansatz.<br />
Allgemeine Lösungen der Wellengleichung erhält man durch einen Separationsansatz<br />
für die Wellenfunktion,<br />
ψ(x, t) =u(x)χ(t).<br />
mit den komplexwertigen Funktionen u(r) für den ortsabhänigen und κ(t) für den<br />
zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion. Setzt man den Ansatz in die Wellengleichung<br />
∂ 2 ψ(x, t)<br />
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)<br />
∂x 2 v 2 ∂t 2<br />
ein und dividiert dann durch u(x)χ(t) erhält man<br />
χ(t) ∂2 u(x)<br />
= 1 χ(t)<br />
∂x 2 v 2 u(x)∂2 ∂t 2<br />
1 ∂ 2 u(x)<br />
= 1 1 ∂ 2 χ(t)<br />
.<br />
u(x) ∂x 2 v 2 χ(t) ∂t 2<br />
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