Physik III, Optik

• Laufende Wellen und Stehende Wellen.
So wie sich laufende Wellen zu stehenden Wellen überlagern (siehe oben), so können
sich auch zwei stehende Wellen zu laufenden Wellen überlagern:
ψ(x, t) = A sin(kx)cos(ωt)+B cos(kx)sin(ωt)
= A 2 (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)) + B 2
(sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))
Mit A = B erhält man eine linkslaufende Welle
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx − ωt))
2
= A sin(kx + ωt)
und mit A = −B eine rechtslaufende Welle.
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt)+sin(kx + ωt) − sin(kx + ωt)+sin(kx − ωt))
2
= A sin(kx − ωt).
Bei einem Seil mit festen oder losen Ende erhält man Stehwellen mit entweder B =0
(Bauch am Ende bei x =0)oderA =0(Knoten am Ende bei x =0). Laufende
Wellen können daher als stationäre Lösung auf einem Seilstück nicht existieren. Bei
laufenden Pulsen muss man stationäre Lösungen mit verschiedenen Frequenzen überlagern.
Damit lassen sich dann beliebige laufende Wellen erzeugen. Sie haben dann
aber keine festgelegte Frequenz mehr (später dazu mehr). Wie sieht die Sache für eine
Seilschleife aus, also einen Ring bei dem Anfang und Ende verbunden sind? Hier gibt
es zwar auch nur eine abzählbare Menge von Lösungen mit äquidistantem Spektrum.
Sie können aber sowohl zu laufenden als auch zu stehenden Wellen kombiniert werden.
(als Übung).
• Separationsansatz.
Allgemeine Lösungen der Wellengleichung erhält man durch einen Separationsansatz
für die Wellenfunktion,
ψ(x, t) =u(x)χ(t).
mit den komplexwertigen Funktionen u(r) für den ortsabhänigen und κ(t) für den
zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion. Setzt man den Ansatz in die Wellengleichung
∂ 2 ψ(x, t)
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)
∂x 2 v 2 ∂t 2
ein und dividiert dann durch u(x)χ(t) erhält man
χ(t) ∂2 u(x)
= 1 χ(t)
∂x 2 v 2 u(x)∂2 ∂t 2
1 ∂ 2 u(x)
= 1 1 ∂ 2 χ(t)
.
u(x) ∂x 2 v 2 χ(t) ∂t 2
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