Physik III, Optik

und setzten die Ableitung für x =0Null:
kA cos(−ωt)+kB cos(ωt + ϕ) = 0
A cos(ωt)+B cos(ωt + ϕ) = 0
was mit A = −B und ϕ =0erfüllt wird. Damit lautet die Gesamtwellenfunktion
ψ(x, t) = A (sin(kx − ωt) − sin(kx + ωt))
= A (sin(kx)cos(ωt) − sin(ωt)cos(kx) − (sin(kx)cos(ωt)+sin(ωt)cos(kx)))
= −2A cos(kx)sin(ωt).
Die Lösung faktorisiert ebenfalls.
• Endliche Seillänge und Spektrum
Bei endlichen Seillängen muss man beide Enden behandeln. Bei zwei festen Enden
müssen dort Knoten sein. Man nimmt also die Lösung für ein Seil mit einem festen
Ende
ψ(x, t) =2A sin(kx)cos(ωt)
und fordert, dass auch am anderen Ende des Seils bei x = L ein Knoten sitzt:
ψ(x = L, t) =0=2A sin(kL)cos(ωt)
sin(kL) = 0
kL = nπ
wobei n eine natürliche Zahl ist. Diesmal kann es nur bestimmte Werte für k geben
k n = n · π
L .
Mit Hilfe der Schallgeschwindigkeit v = ω/k erhält man die Frequenz, mit der das Seil
oderdieSaiteeinesMusikinstrumentsschwingt.
ω n = n · ω 0
55