Physik III, Optik

Der Winkel ϕ ist aber auch gegeben durch
Ableiten nach x liefert
tan ϕ = dy
dx ∼ ϕ.
dϕ
dx = d2 y
dx 2
dϕ = d2 y
dx · dx, 2
und Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt
und schließlich:
F · d2 y
dx 2 · dx = ρ · S · dx · d2 y
dt 2 .
d 2 y
dx = 1 d 2 y
2 v
s
2 dt
F
v :=
ρ · S
Für größere Spanungen wächst die Kraft F und damit die Schallgeschwindigkeit (z.B.
Gitarrensaite). Bei schweren Seilen mit großer Dichte oder großem Querschnitt sind
die Wellen langsamer (z.B. Kletterseil).
2.5 Dispersionsrelationen
• Variable Phasengeschwindigkeiten
Bei manchen Wellen ist die Phasengeschwindigkeit nicht konstant sondern hängt von
der Wellenzahl k ab. Wir betrachten als Beispiel Wasserwellen. Bei so genannten
Schwerewellen ist die rücktreibende Kraft die Schwerkraft. Für solche Wellen lautet
die Schallgeschwindigkeit
v = v(k) =r g
k ,
wobei g die Erdbeschleunigung ist und k der Wellenvektor. Die Geschwindigkeit hängt
hier von der Wellenzahl ab. Lange Wellen laufen schneller als kurze. Medien, in denen
harmonische Wellen eine wellenzahlabhängige Geschwindigkeit haben, heißen dispersiv.
Wasser ist offenbar so ein Medium. Dispersive Medien führen zu komplizierteren
Wellengleichungen als die einfache Wellengleichung,vonderwirbisherausgegangen
sind. Entsprechend sind die Lösungen nicht mehr beliebige Funktionen von (x − vt).
Eine wellenzahlabhängiger Geschwindigkeit v(k) macht nur Sinn, wenn die Wellenzahl
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