Physik III, Optik

oder differenziell
dp = − 1 dV
κ V .
Die Volumenänderung kann man durch eine einfache geometrische Überlegung auf
einen Geschwindigleitsgradient dv zurückführen: Bewegen sich die beiden Begrenzungsflächen
verschieden schnell, ist damit folgende Volumenänderung
dx
verbunden
dV = S · dv · ∆x · dt.
dx
Teilt man diese Gleichung durch das Volumen erhält man
dV
V
= 1 V · S · dv · ∆x · dt
dx
= S∆x
V
= dv
dx · dt.
· dv
dx · dt
Zusammen mit der Definition der Kompressbilität bekommt man
dp = − 1 dV
κ V
dp = − 1 dv
κ dx · dt
dp
= − 1 dv
dt κ dx
Dies ist die zweite Gleichung. Beide Gleichungen werden kombiniert, indem man die
erste Gleichung nach dem Ort ableitet,
und die zweite Gleichung nach der Zeit,
d dv
dx dt = −1 ρ
d 2 p
dx , 2
d dp
dt dt = − 1 d dv
κ dt dx .
Eliminiert man die Geschwindigkeitsableitungen erhält man
− 1 d 2
ρ dx = −κ d2 p
2 dt 2
oder
d 2 p
dx = 1 2 v · d2 p
2 dt 2
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