Physik III, Optik

Einsetzen in Wellengleichung:
∇ 2 ψ = 1 ∂ 2
v 2 ∂t ψ 2
−A · ~k 2 · e i(~ k·~r−ωt) = 1 v 2 (−ω2 )A · e i(~ k·~r−ωt)
~ k 2 = ω2
v 2
Die Geschwindigkeit der ebenen Wellen ist wie bei der eindimensionalen Welle
v = ω
¯
¯~k ¯
• Kugel und Zylinderwellen
Schreibt man die Wellengleichung in Kugelkoordinaten, kann man zeigen, dass es auch
kugelförmige Lösungen gibt. Die allgemeine Form lautet:
ψ(r, t) = A f(r ± vt),
r
wobei r = |~r|. Im Abstand r vom Ursprung ist die Wellenfunktion für alle Orte gleich,
d. h. die Wellenfronten bilden Kugelschalen um den Ursprung. Die Amplitude nimmt
mit r −1 also umgekehrt proportional zum Abstand vom Ursprung ab. Entsprechendes
gilt für Zylinderkoordinaten. Die allgemeine Lösung lautet dann:
ψ(r, t) = A √ r
f(r ± vt),
wobei r = √ x 2 + y 2 . Die Wellenfronten liegen auf Zylindern um die z-Achse.
2.4 Beipiele mechanischer Wellen
• Schallwelle
Eine Druckstörung breitet sich im Raum aus. Damit verbunden ist eine Störung der
lokalen Geschwindigkeit der Luftmoleküle. Eine erhöhte Geschwindigkeit führt in der
Nachbarschaft zu einem ”Stau”, der dort wiederum den Druck erhöht etc.
Als Modell einer ebenen Druckwelle betrachten wir ein kleines rechteckiges Volumen
innerhalb der Schallwelle mit der Querschnittfläche S und der Dicke ∆x. Die
Schallwelle breitet sich als ebene Welle in horizontaler Richtung (x-Richtung) aus.Wir
leiten zunächst zwei verschiedene Zusammenhänge für den Druckgradient und die
Geschwindigkeitänderung der Moleküle ab.
46