Physik III, Optik
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• Wellengleichung<br />
Die Differentialgleichung für dreidimensionale skalare Wellen lautet<br />
∇ 2 ψ(~r, t) = 1 ∂ 2<br />
ψ(~r, t)<br />
v 2 ∂t2 Der Laplace Operator ist definiert als<br />
µ <br />
∇ 2 ψ(~r, t) :=( ∇ ~ · ~∇)ψ(~r, ∂<br />
2<br />
t) =<br />
∂x + ∂2<br />
2 ∂y + ∂2<br />
ψ(~r, t).<br />
2 ∂z 2<br />
Als Test setzen wir die ebene Wellen in die Wellengleichung ein.<br />
Ableitungen erhält man:<br />
d 2 ψ<br />
dx = 2 −k2 xA · e i(~ k·~r−ωt)<br />
d 2 ψ<br />
dy = 2 −k2 yA · e i(~ k·~r−ωt)<br />
Also<br />
d 2 ψ<br />
dz 2 = −k2 zA · e i(~ k·~r−ωt) .<br />
Für die zweiten<br />
∇ 2 ψ(~r, t) = −kxA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kzA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kyA 2 · e i(~ k·~r−ωt)<br />
= −A ¡ ¢<br />
kx 2 + ky 2 + kz<br />
2 · e<br />
i( ~ k·~r−ωt)<br />
= −A · ~k 2 · e i(~ k·~r−ωt) .<br />
Die zweite Zeitableitung liefert<br />
d 2 ψ<br />
dt 2<br />
= −ω2 A · e i(~ k·~r−ωt)<br />
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