Physik III, Optik

• Wellengleichung
Die Differentialgleichung für dreidimensionale skalare Wellen lautet
∇ 2 ψ(~r, t) = 1 ∂ 2
ψ(~r, t)
v 2 ∂t2 Der Laplace Operator ist definiert als
µ
∇ 2 ψ(~r, t) :=( ∇ ~ · ~∇)ψ(~r, ∂
2
t) =
∂x + ∂2
2 ∂y + ∂2
ψ(~r, t).
2 ∂z 2
Als Test setzen wir die ebene Wellen in die Wellengleichung ein.
Ableitungen erhält man:
d 2 ψ
dx = 2 −k2 xA · e i(~ k·~r−ωt)
d 2 ψ
dy = 2 −k2 yA · e i(~ k·~r−ωt)
Also
d 2 ψ
dz 2 = −k2 zA · e i(~ k·~r−ωt) .
Für die zweiten
∇ 2 ψ(~r, t) = −kxA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kzA 2 · e i(~ k·~r−ωt) − kyA 2 · e i(~ k·~r−ωt)
= −A ¡ ¢
kx 2 + ky 2 + kz
2 · e
i( ~ k·~r−ωt)
= −A · ~k 2 · e i(~ k·~r−ωt) .
Die zweite Zeitableitung liefert
d 2 ψ
dt 2
= −ω2 A · e i(~ k·~r−ωt)
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