Physik III, Optik

Der Betrag der komplexen Amplitude ist die Amplitude der Welle und ihre komplexe
Phase ist eine Phasenverschiebung der Welle.
ψ(x, t) =Re(A · e ikx−ωt )=|A|·cos(kx − ωt + ϕ A )
DiekomplexeAmplitudeA = i|A| = |A|e i(π/2) macht z.B. aus einer Kosinuswelle eine
Sinuswelle:
ψ(x, t) = Re(A · e i(k·x±ωt) )
= Re(i|A|·e i(k·x±ωt) )
= Re(|A|e i(π/2) · e i(k·x±ωt) )
= Re(|A|·e i(k·x±ωt+π/2) )
= |A|·cos(kx − ωt + π/2)
= −|A|·sin(kx − ωt)
Durch die Einführung der komplexen Amplitude hat man sowohl Sinus als auch Kosinuswellen
erfasst.
Oft betrachtet man Summen von Wellen. Man macht dabei keinen Fehler, wenn man
zuerst die Summe und dann den Realteil bildet:
2.3 Dreidimensionale Wellen
ψ(x, t) =Re(Ae ia )+Re(Be ib )
= 1 2 (Aeia + Ae −ia )+ 1 2 (Beib + Be −ib )
= 1 2 (Aeia + Be ib + Ae −ia + Be −ib )
=Re(Ae ia + Be ib ).
• Ebene Wellen
Betrachten wir z.B. Schallwellen, so können sich die damit verbundenen Druckstörungen
in alle Richtungen ausbreiten. Man muss also für alle drei Raumkoordinaten x, y, z
angeben, wie hoch der Druck zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Die Ortsvariable wird
eine Vektor. Um Begriffe wie Frequenz und Wellenzahl auch in 3D verwenden zu können
betrachten wir wieder einen bestimmten idealisierten Typ Wellen. Dies sind die
ebenen Wellen.
ψ(~r, t) =A · e i(~ k·~r−ωt) = A · e i(k xx+k y y+k i z−ωt)
Die Wellenzahl wird hier zum ”Wellenvektor”
⎛ ⎞
k x
~ k := ⎝ k y
⎠ .
k z
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