Physik III, Optik

Die zweite Ableitung bilden wir analog.
d 2 ψ
dt = d µ
df (x − vt)
· (−v)
2 dt d(x − vt)
µ
d df (x − vt)
=
· (−v) · (−v)
d(x − vt) d(x − vt)
= v 2 d 2
f(x − vt).
d(x − vt)
2
Als Zweites benötigen wir die Ortsableitung:
dψ df (x − vt)
= =
dx dx
d 2 ψ
dx = d
2 dx
df (x − vt)
d(x − vt)
df (x − vt)
d(x − vt) = d 2
· f(x − vt)
d(x − vt)
2
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt
d 2 ψ
dx = 1 d 2 ψ
2 v 2 dt , 2
was zu zeigen war. Lösungen erhält man also dadurch, dass man eine beliebige (vernünftige)
reelwertige Funktion f(x) mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Da v in
der Wellengleichung quadratisch auftaucht, ist auch f(x + vt) eine Lösung. Die Welle
kann sich auch nach links d.h. in negative x-Richtung bewegen.
• Superpositionsprinzip:
Aus der Linearität der Wellengleichung folgt, dass Linearkombinationen von Lösungen
wiederum Lösungen sind. Das ist sofort klar, denn die Linearkombination der Lösungen
g und f
h(x ± vt) :=α · g(x ± vt)+β · f(x ± vt)
ist auch eine Funktion mit dem Argument x ± vt und damit eine Lösung. Ableitungen
sind eben lineare Operationen so dass h die Wellengleichung erfüllt:
h 00 = αg 00 + βf 00 = 1 v 2 α¨g + 1 v 2 β ¨f = 1 v 2 (α¨g + β ¨f) = 1 v 2 ḧ.
Wellen überlagern sich also, ohne sich zu beeinflussen
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