Physik III, Optik
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Die zweite Ableitung bilden wir analog.<br />
d 2 ψ<br />
dt = d µ <br />
df (x − vt)<br />
· (−v)<br />
2 dt d(x − vt)<br />
µ <br />
d df (x − vt)<br />
=<br />
· (−v) · (−v)<br />
d(x − vt) d(x − vt)<br />
= v 2 d 2<br />
f(x − vt).<br />
d(x − vt)<br />
2<br />
Als Zweites benötigen wir die Ortsableitung:<br />
dψ df (x − vt)<br />
= =<br />
dx dx<br />
d 2 ψ<br />
dx = d<br />
2 dx<br />
df (x − vt)<br />
d(x − vt)<br />
df (x − vt)<br />
d(x − vt) = d 2<br />
· f(x − vt)<br />
d(x − vt)<br />
2<br />
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt<br />
d 2 ψ<br />
dx = 1 d 2 ψ<br />
2 v 2 dt , 2<br />
was zu zeigen war. Lösungen erhält man also dadurch, dass man eine beliebige (vernünftige)<br />
reelwertige Funktion f(x) mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Da v in<br />
der Wellengleichung quadratisch auftaucht, ist auch f(x + vt) eine Lösung. Die Welle<br />
kann sich auch nach links d.h. in negative x-Richtung bewegen.<br />
• Superpositionsprinzip:<br />
Aus der Linearität der Wellengleichung folgt, dass Linearkombinationen von Lösungen<br />
wiederum Lösungen sind. Das ist sofort klar, denn die Linearkombination der Lösungen<br />
g und f<br />
h(x ± vt) :=α · g(x ± vt)+β · f(x ± vt)<br />
ist auch eine Funktion mit dem Argument x ± vt und damit eine Lösung. Ableitungen<br />
sind eben lineare Operationen so dass h die Wellengleichung erfüllt:<br />
h 00 = αg 00 + βf 00 = 1 v 2 α¨g + 1 v 2 β ¨f = 1 v 2 (α¨g + β ¨f) = 1 v 2 ḧ.<br />
Wellen überlagern sich also, ohne sich zu beeinflussen<br />
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