Physik III, Optik

2. Wellen
Seit Maxwell wissen wir, dass Licht auch als elektromagnetische Welle betrachtet werden
kann. In diesem Kapitel besprechen wir zunächst Wellen als allgemeines Phänomen. Als
Beispiele betrachten wir Seilwellen, Schallwellen, Wasserwellen und schließlich Wellen auf
der Membran einer Trommel. Wellen sind eng verknüpft mit Differentialgleichungen, deren
Lösung sie sind. Neben eindimensionalen ebenen Wellen, betrachten wir die 3D Wellengleichung
und deren Lösung und schließlich die Rolle der Randbedingungen, die zu stehenden
Wellen führen.
2.1 Eindimensionale Wellengleichung
• Wir betrachten zunächst nur eindimensionale skalare Wellen. Ein Beispiel wäre ein
Seil, das vom Balkon hängt und das man am unteren Ende kurz in Bewegung versetzt.
Eine Störung läuft dann mit einer konstanten Geschwindigkeit das Seil entlang.
Diese wellenartige Störung kann man durch eine ”Wellenfunktion” ψ(x, t) fassen, die
für jeden Ort und jede Zeit die Auslenkung des Seils aus der Ruhelage angibt. Die
”Wellenfunktion” ψ(x, t) ist ein reelle skalare Funktion. Sie beschreibt die physikalische
Größe, aus der die Welle besteht. Neben der Seilauslenkung kann dies z.B. auch
der Luftdruck bei Schallwellen, der Wasserpegel bei Wasserwellen oder das elektrische
Feld bei Radiowellen sein. Für eine große Klasse von Wellenphänomen gehorcht die
Wellenfunktion einer linearen Wellengleichung der Form
∂ 2 ψ(x, t)
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)
.
∂x 2 v 2 ∂t 2
Die Konstante v wird sich als die Geschwindigkeit herausstellen mit der sich die Welle
bewegt. Diese Gleichung ist linear, d.h. die Wellenfunktion und deren Ableitungen
kommen nur linear vor und nicht etwa in Potenzen oder als Argument in anderen
nichtlinearen Funktionen.
• Allgemeine Lösung:
Jede Funktion der Form
ψ(t, x) =f(x − vt)
ist eine Lösung. Das kann man explizit ausrechenen. Wir betrachten zunächst die
Zeitableitung. Das Produkt der äußeren Ableitung mit der inneren Ableitung ergibt
dψ
dt = d d
f(x − vt) =
dt
· f(x − vt) · (−v)
d(x − vt)
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