Physik III, Optik
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2. Wellen<br />
Seit Maxwell wissen wir, dass Licht auch als elektromagnetische Welle betrachtet werden<br />
kann. In diesem Kapitel besprechen wir zunächst Wellen als allgemeines Phänomen. Als<br />
Beispiele betrachten wir Seilwellen, Schallwellen, Wasserwellen und schließlich Wellen auf<br />
der Membran einer Trommel. Wellen sind eng verknüpft mit Differentialgleichungen, deren<br />
Lösung sie sind. Neben eindimensionalen ebenen Wellen, betrachten wir die 3D Wellengleichung<br />
und deren Lösung und schließlich die Rolle der Randbedingungen, die zu stehenden<br />
Wellen führen.<br />
2.1 Eindimensionale Wellengleichung<br />
• Wir betrachten zunächst nur eindimensionale skalare Wellen. Ein Beispiel wäre ein<br />
Seil, das vom Balkon hängt und das man am unteren Ende kurz in Bewegung versetzt.<br />
Eine Störung läuft dann mit einer konstanten Geschwindigkeit das Seil entlang.<br />
Diese wellenartige Störung kann man durch eine ”Wellenfunktion” ψ(x, t) fassen, die<br />
für jeden Ort und jede Zeit die Auslenkung des Seils aus der Ruhelage angibt. Die<br />
”Wellenfunktion” ψ(x, t) ist ein reelle skalare Funktion. Sie beschreibt die physikalische<br />
Größe, aus der die Welle besteht. Neben der Seilauslenkung kann dies z.B. auch<br />
der Luftdruck bei Schallwellen, der Wasserpegel bei Wasserwellen oder das elektrische<br />
Feld bei Radiowellen sein. Für eine große Klasse von Wellenphänomen gehorcht die<br />
Wellenfunktion einer linearen Wellengleichung der Form<br />
∂ 2 ψ(x, t)<br />
= 1 ∂ 2 ψ(x, t)<br />
.<br />
∂x 2 v 2 ∂t 2<br />
Die Konstante v wird sich als die Geschwindigkeit herausstellen mit der sich die Welle<br />
bewegt. Diese Gleichung ist linear, d.h. die Wellenfunktion und deren Ableitungen<br />
kommen nur linear vor und nicht etwa in Potenzen oder als Argument in anderen<br />
nichtlinearen Funktionen.<br />
• Allgemeine Lösung:<br />
Jede Funktion der Form<br />
ψ(t, x) =f(x − vt)<br />
ist eine Lösung. Das kann man explizit ausrechenen. Wir betrachten zunächst die<br />
Zeitableitung. Das Produkt der äußeren Ableitung mit der inneren Ableitung ergibt<br />
dψ<br />
dt = d d<br />
f(x − vt) =<br />
dt<br />
· f(x − vt) · (−v)<br />
d(x − vt)<br />
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