Physik III, Optik

Die Gitarrensaite verliert seine Energie exponentiell und strahlt dabei ein Lorentzspektrum
ab. Die Halbwertsbreite ∆ω des Spektrums ist gerade die doppelte Zerfallsrate,
∆ω =2γ
Mit der Zerfallsrate ist die Lebensdauer verbunden. In der Zeit 1/γ fällt die Amplitude
der Saite auf e −1 seiner Anfangsamplitude ab. Die Energie geht quadratisch mit der
Amplitude und zerfällt daher doppelt so schnell. Die Energiezerfallszeit τ ist daher
1/ (2γ) und man erhält
τ · ∆ω =1.
Dies ist die Frequenz Zeit-Ünschärfe eines exponentiell gedämpften Oszillators.
Wenn man den Kammerton a (440Hz) mit einer Frequenzgenauigkeit von 1% erzeugen
will, muss der Ton mindestens ein viertel Sekunde lang klingen (unabhängig vom
Instrument). Notenpartituren, bei denen Dauer und Höhe des Tons exakt angegeben
werden, bergen einen prinzipiellen Widerspruch. Um einen Ton mit einer Halbtongenauigkeit
spielen zu können, muss er eine Mindestlänge haben. Gerade für tiefe Töne
darf die Tonfolge nicht zu schnell sein (Beispiel als Übung).
• Frequenz-Zeit-Unschärfe
Mit der, für den betreffenden Vorgang charakteristischen Zeitspanne ∆t (in unserem
Beispiel ist das die Lebensdauer τ der Saitenschwingung) ist eine Frequenzunschärfe
∆ω verbunden, die sich aus der Tasache ergibt, dass eine zeitlich begrenzte Funktion
aus mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenzen zusammensetzt. Allgemein gilt
die Unschärferelation
∆ω · ∆t > 1 2 .
Wenn wir daran festhalten, dass die Energie eines Photons
E = ~ω
wird damit auch die Energie eines Photons zu einer in endlichen Zeiten nicht exakt
bestimmbaren Größe.
• Orts-Impuls-Unschärfe
Analog zur Frequenz-Zeit-Unschärfe gibt es auch die Orts- und Wellenvektor-Unschärfe:
∆x · ∆k ' 1.
Mit der de Broglie-Beziehung für den Impuls des Photons
~p = ~ ~ k
125