Physik III, Optik
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Die Koeffizienten a (ω) und b (ω) berechnensichnachdenGleichungen<br />
a (ω) = 2 ∞Z<br />
f (t)cos(ωt) dt<br />
π<br />
und<br />
0<br />
b (ω) = 2 ∞Z<br />
f (t)sin(ωt) dt.<br />
π<br />
0<br />
Diese Funktionen sind die Spektren der Funktion f (t). Oft verwendet man nicht das<br />
Sinus- und das Kosinus-Spektrum sondern das Amplitudenspektrum zusammen mit<br />
dem Phasenspektrum. Wir verwenden dazu den allgemeinen Zusammenhang für die<br />
Summe aus Sinus und Kosinus:<br />
mit dem Amplitudenspektrum<br />
a (ω)cos(ωt) +b (ω)sin(ωt) =A (ω)cos(ωt + ϕ (ω))<br />
A (ω) =<br />
q<br />
a (ω) 2 + b (ω) 2<br />
und dem Phasenspektrum<br />
ϕ (ω) = arctan<br />
µ b (ω)<br />
.<br />
a (ω)<br />
Als Leistungsspektrum bezeichnet man das Quadrat des Amplitudenspektrums.<br />
P (ω) =A (ω) 2 = a (ω) 2 + b (ω) 2<br />
• Exponentieller Zerfall und Lorentz-Spektrum<br />
Die Amplitude der Gitarrensaite klingt exponentiell ab, so dass die Schwingung der<br />
Frequenz ω 0 eine zeitabhängige Amplitude bekommt,<br />
f(t) =A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t).<br />
Wie sieht das Spektrum aus? Für einen zeitlichen Verlauf berechnet sich das Spektrum<br />
zu:<br />
∞Z<br />
2<br />
a (ω) = A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t)cos(ωt) dt<br />
π<br />
= A 0<br />
2<br />
π<br />
= A 0<br />
1<br />
π<br />
0<br />
∞Z<br />
0<br />
µ 1<br />
exp(−γ · t)<br />
2 cos (ω 0t + ωt)+ 1 <br />
2 cos (ω 0t − ωt) dt<br />
γ<br />
γ 2 +(ω 0 − ω) 2 + A 1<br />
0<br />
π<br />
123<br />
γ<br />
γ 2 +(ω 0 + ω) 2