Physik III, Optik

Die Koeffizienten a (ω) und b (ω) berechnensichnachdenGleichungen
a (ω) = 2 ∞Z
f (t)cos(ωt) dt
π
und
0
b (ω) = 2 ∞Z
f (t)sin(ωt) dt.
π
0
Diese Funktionen sind die Spektren der Funktion f (t). Oft verwendet man nicht das
Sinus- und das Kosinus-Spektrum sondern das Amplitudenspektrum zusammen mit
dem Phasenspektrum. Wir verwenden dazu den allgemeinen Zusammenhang für die
Summe aus Sinus und Kosinus:
mit dem Amplitudenspektrum
a (ω)cos(ωt) +b (ω)sin(ωt) =A (ω)cos(ωt + ϕ (ω))
A (ω) =
q
a (ω) 2 + b (ω) 2
und dem Phasenspektrum
ϕ (ω) = arctan
µ b (ω)
.
a (ω)
Als Leistungsspektrum bezeichnet man das Quadrat des Amplitudenspektrums.
P (ω) =A (ω) 2 = a (ω) 2 + b (ω) 2
• Exponentieller Zerfall und Lorentz-Spektrum
Die Amplitude der Gitarrensaite klingt exponentiell ab, so dass die Schwingung der
Frequenz ω 0 eine zeitabhängige Amplitude bekommt,
f(t) =A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t).
Wie sieht das Spektrum aus? Für einen zeitlichen Verlauf berechnet sich das Spektrum
zu:
∞Z
2
a (ω) = A 0 exp(−γ · t)cos(ω 0 t)cos(ωt) dt
π
= A 0
2
π
= A 0
1
π
0
∞Z
0
µ 1
exp(−γ · t)
2 cos (ω 0t + ωt)+ 1
2 cos (ω 0t − ωt) dt
γ
γ 2 +(ω 0 − ω) 2 + A 1
0
π
123
γ
γ 2 +(ω 0 + ω) 2